Тавтология (правило вывода)

Эта статья о правиле вывода. О формуле абсолютной истины см. Тавтология (логика) . Чтобы узнать о других значениях, см. Тавтология (значения) .

В пропозициональной логике тавтология представляет собой одно из двух часто используемых правил замены . Правила используются для устранения избыточности в дизъюнкциях и союзах , когда они встречаются в логических доказательствах . Они есть:

Принцип идемпотентности дизъюнкции :

$P\lor P\Leftrightarrow P$

и принцип идемпотентности конъюнкции :

$P\land P\Leftrightarrow P$

Где " $\Leftrightarrow$«является металогическим символом, обозначающим «может быть заменено в логическом доказательстве на».

Формальные обозначения

Теоремы – это логические формулы $\phi$ где $\vdash \phi$ является выводом действительного доказательства, в то время как эквивалентное семантическое следствие $\models \phi$ указывает на тавтологию.

Правило тавтологии можно выразить в виде секвенции :

$P\lor P\vdash P$

и

$P\land P\vdash P$

где $\vdash$ металогический символ, означающий, что $P$ является синтаксическим следствием $P\lor P$, в одном случае, $P\land P$ в другом — в некоторой логической системе ;

или как правило вывода :

${\frac {P\lor P}{\therefore P}}$

и

${\frac {P\land P}{\therefore P}}$

где правило заключается в том, что везде, где экземпляр " $P\lor P$" или " $P\land P$" появляется в строке доказательства, его можно заменить на " $P$";

или как утверждение истинностно-функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний. Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica как:

$(P\lor P)\to P$

и

$(P\land P)\to P$

где $P$ — это предложение, выраженное в некоторой формальной системе .