Поднимая настроение

Поднимая настроение

Тип	Дедуктивная форма аргументации Правило вывода
Поле	Классическая логика Пропозициональное исчисление
Заявление	$P$ подразумевает $Q$. $Q$является ложным. Поэтому, $P$ также должно быть ложным.
Символическое заявление	$P\rightarrow Q,\neg Q$ $\therefore \neg P$

В логике высказываний modus tollens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ), также известный как modus tollendo tollens ( на латыни «метод удаления путем отнятия») и отрицая следствие , Это дедуктивная форма аргументации и правило вывода . Modus tollens — это смешанный гипотетический силлогизм , принимающий форму «Если P , то Q. Не Q. Следовательно, не P ». Это применение общей истины, согласно которой, если утверждение истинно, то и его противоположность является истинной . Форма показывает, что вывод из P подразумевает Q , а отрицание Q подразумевает, что отрицание P является действительным аргументом.

История правила вывода modus tollens уходит корнями в глубокую древность . Первым, кто явно описал форму аргумента modus tollens, был Теофраст .

Modus tollens тесно связан с modus ponens . Есть две схожие, но недействительные формы аргументации : утверждение последующего и отрицание антецедента . См. также противопоставление и доказательство контрапозитивом .

Объяснение

Форма аргументации modus tollens представляет собой смешанный гипотетический силлогизм с двумя посылками и заключением:

Если П , Q. то

Не Кью .

Следовательно, П. не

Первая посылка представляет собой условное утверждение («если-то»), например, P подразумевает Q . Вторая посылка — это утверждение, что Q , следствие условного утверждения, не соответствует действительности. Из этих двух предпосылок можно логически заключить, что Р , антецедент условного утверждения, также не имеет места.

Например:

Если собака обнаружит злоумышленника, она начнет лаять.

Собака не лаяла.

Таким образом, злоумышленника собака не обнаружила.

Если предположить, что обе предпосылки верны (собака будет лаять, если обнаружит злоумышленника, и на самом деле не лает), из этого следует, что злоумышленник не был обнаружен. Это веский аргумент, поскольку вывод не может быть ложным, если посылки истинны. (Вполне возможно, что мог существовать злоумышленник, которого собака не обнаружила, но это не делает аргумент недействительным; первая посылка такова: «если собака обнаружит злоумышленника». Важно то, что собака обнаружит или сделает это). не обнаружить злоумышленника, даже если он есть.)

Пример 1:

Если я грабитель, то я могу взломать сейф.

Я не могу взломать сейф.

Следовательно, я не грабитель.

Пример 2:

Если Рекс — курица, то он — птица.

Рекс не птица.

Следовательно, Рекс не курица.

Связь с настройкой режима

Каждое использование modus tollens может быть преобразовано в использование modus ponens и одно использование транспозиции в посылку, которая является материальной импликацией. Например:

Если П , Q. то (предпосылка – существенное значение)

Если не Q , то и P. не (получено транспонированием)

Не Кью . (помещение)

Следовательно, П. не (получено путем настройки режима )

Аналогично, любое использование modus ponens может быть преобразовано в использование modus tollens и транспозиции.

Формальные обозначения

Формально правило modus tollens можно сформулировать так:

${\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}$

где $P\to Q$ означает утверждение «P подразумевает Q». $\neg Q$означает «это не тот случай, что Q» (или кратко «не Q»). Тогда, когда бы " $P\to Q$" и " $\neg Q$"каждый из них появляется сам по себе как строка доказательства , тогда" $\neg P$" может быть размещено на следующей строке.

Правило modus tollens можно записать в последовательных обозначениях:

$P\to Q,\neg Q\vdash \neg P$

где $\vdash$ металогический символ , означающий, что $\neg P$ является следствием синтаксическим $P\to Q$ и $\neg Q$ в некоторой логической системе ;

или как утверждение функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний:

$((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P$

где $P$ и $Q$ являются предложениями, выраженными в некоторой формальной системе ;

или включая предположения:

${\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}$

хотя, поскольку правило не меняет набор предположений, в этом нет строгой необходимости.

Более сложные переписывания, включающие modus tollens, часто встречаются, например, в теории множеств :

$P\subseteq Q$

$x\notin Q$

$\therefore x\notin P$

(«P — подмножество Q. x нет в Q. Следовательно, x нет в P».)

первого порядка Также в логике предикатов :

$\forall x:~P(x)\to Q(x)$

$\neg Q(y)$

$\therefore ~\neg P(y)$

(«Для всех x, если x есть P, то x есть Q. y не есть Q. Следовательно, y не есть P.»)

Строго говоря, это не примеры modus tollens , но они могут быть получены из modus tollens с помощью нескольких дополнительных шагов.

Обоснование с помощью таблицы истинности

Валидность modus tollens может быть наглядно продемонстрирована с помощью таблицы истинности .

п	д	п → д
Т	Т	Т
Т	Ф	Ф
Ф	Т	Т
Ф	Ф	Т

В случаях modus tollens мы предполагаем в качестве предпосылок, что p → q истинно, а q ложно. Существует только одна строка таблицы истинности — четвертая строка — которая удовлетворяет этим двум условиям. В этой строке p ложно. Следовательно, в каждом случае, когда p → q истинно, а q ложно, p также должно быть ложным.

Официальное доказательство

Через дизъюнктивный силлогизм

Шаг	Предложение	Вывод
1	$P\rightarrow Q$	Данный
2	$\neg Q$	Данный
3	$\neg P\lor Q$	Существенный смысл (1)
4	$\neg P$	Дизъюнктивный силлогизм (3,2)

Дорога к абсурду

Шаг	Предложение	Вывод
1	$P\rightarrow Q$	Данный
2	$\neg Q$	Данный
3	$P$	Предположение
4	$Q$	Режим настройки (1,3)
5	$Q\land \neg Q$	Введение союза (2,4)
6	$\neg P$	Доведение до абсурда (3,5)
7	$\neg Q\rightarrow \neg P$	Условное введение (2,6)

Через противопоставление

Шаг	Предложение	Вывод
1	$P\rightarrow Q$	Данный
2	$\neg Q$	Данный
3	$\neg Q\rightarrow \neg P$	Противопоставление (1)
4	$\neg P$	Режим настройки (2,3)

другим

Вероятностное исчисление

Modus tollens представляет собой пример закона полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса, выраженной как:

$$\Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,,$$

где условные обозначения $\Pr(P\mid Q)$ и $\Pr(P\mid \lnot Q)$ получаются с помощью (расширенной формы) теоремы Байеса, выраженной как:

$$\Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;$$

и

$$\Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}.$$

В приведенных выше уравнениях $\Pr(Q)$ обозначает вероятность $Q$, и $a(P)$ обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) $P$. Условная вероятность $\Pr(Q\mid P)$ обобщает логическое утверждение $P\to Q$, т. е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить утверждению любую вероятность. Предположим, что $\Pr(Q)=1$ эквивалентно $Q$ быть ИСТИНОЙ, и это $\Pr(Q)=0$ эквивалентно $Q$быть ЛОЖЬЮ. Тогда легко это увидеть $\Pr(P)=0$ когда $\Pr(Q\mid P)=1$ и $\Pr(Q)=0$. Это потому что $\Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0$ так что $\Pr(P\mid \lnot Q)=0$в последнем уравнении. Следовательно, члены произведения в первом уравнении всегда имеют нулевой множитель, так что $\Pr(P)=0$ что эквивалентно $P$быть ЛОЖЬЮ. Следовательно, закон полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса представляет собой обобщение modus tollens .

Субъективная логика

Modus tollens представляет собой экземпляр оператора абдукции в субъективной логике, выраженный как:

$$\omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A}){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,,$$

где $\omega _{Q}^{A}$ обозначает субъективное мнение о $Q$, и $(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})$ обозначает пару биномиальных условных мнений, выраженных источником $A$. Параметр $a_{P}$ обозначает базовую ставку (она же априорную вероятность ) $P$. Похищенное маргинальное мнение о $P$ обозначается $\omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}$. Условное мнение $\omega _{Q|P}^{A}$ обобщает логическое утверждение $P\to Q$, т.е. помимо присвоения ИСТИНА или ЛОЖЬ источнику $A$может приписать высказыванию любое субъективное мнение. Случай, когда $\omega _{Q}^{A}$ является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентным источнику $A$ говоря это $Q$ истинно, и случай, когда $\omega _{Q}^{A}$ является абсолютным ЛОЖНЫМ мнением, эквивалентным источнику $A$ говоря это $Q$НЕВЕРНО. Оператор похищения ${\widetilde {\circledcirc }}$ субъективной логики порождает абсолютно ЛОЖНОЕ искаженное мнение $\omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}$ когда условное мнение $\omega _{Q|P}^{A}$ абсолютно ПРАВДА и вытекающее из этого мнение $\omega _{Q}^{A}$является абсолютной ЛОЖЬЮ. Следовательно, абдукция субъективной логики представляет собой обобщение как modus tollens , так и закона полной вероятности в сочетании с теоремой Байеса .

См. также

• Доказательства отсутствия – Ошибка релевантности
• Латинские фразы
• Modus Operandi – Привычки работы
• Modus ponens - Правило логического вывода.
• Modus vivendi – Соглашение, позволяющее конфликтующим сторонам мирно сосуществовать.
• Non sequitur – ошибочные дедуктивные рассуждения из-за логической ошибки. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Доказательство от противного - Доказательство, показывающее, что отрицание невозможно.
• Доказательство контрапозитивом - концепция математической логики. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Стоическая логика - система логики высказываний, разработанная философами-стоиками.

Источники

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN   978-3-319-42337-1

Внешние ссылки

• Модус Толленс в Wolfram MathWorld