Противопоставление

В логике и математике противопоставление логически или транспозиция относится к выводу о переходе от условного утверждения к его эквивалентному контрапозитиву и связанному с ним методу доказательства, известному как § Доказательство контрапозитивом . У контрапозитивного высказывания антецедент и консеквент перевернуты и перевернуты .

Условное утверждение $P\rightarrow Q$. В формулах : противоположность $P\rightarrow Q$ является $\neg Q\rightarrow \neg P$.

Если Р , Q. то Если не Q , то не P. — « Если идет дождь, то я ношу пальто» — «Если я не ношу пальто, то дождя не идет».

Закон противопоставления гласит, что условное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинно его противоположное утверждение.

Контрапозитив ( $\neg Q\rightarrow \neg P$) можно сравнить с тремя другими утверждениями:

Инверсия ( обратная ), $\neg P\rightarrow \neg Q$

«Если не идет дождь, то я не ношу пальто ». В отличие от контрапозитивного, истинностное значение обратного предложения вообще не зависит от того, было ли исходное предложение истинным, как показано здесь.

Конверсия ( обратная ), $Q\rightarrow P$

«Если я надену пальто, значит, идет дождь ». Обратное на самом деле является противоположностью обратного и поэтому всегда имеет то же истинностное значение, что и обратное (которое, как утверждалось ранее, не всегда имеет то же истинностное значение, что и исходное предложение).

Отрицание ( логическое дополнение ), $\neg (P\rightarrow Q)$

« Это не тот случай, когда идет дождь , я ношу пальто ». Или, что то же самое: « Иногда, когда идет дождь, я не ношу пальто ». Если отрицание истинно, то исходное предложение ( и, соответственно, контрапозитив) ложен.

Обратите внимание, что если $P\rightarrow Q$ верно, и дано, что $Q$ ложно (т.е. $\neg Q$), то логически можно заключить, что $P$ также должно быть ложным (т.е. $\neg P$). Это часто называют законом противопоставления или modus tollens правилом вывода .

Интуитивное объяснение

На показанной диаграмме Эйлера , если что-то находится в A, оно должно быть и в B. Таким образом, мы можем интерпретировать фразу «все А находится в Б» как:

$A\to B$

Также ясно, что все, что не находится внутри B (синяя область), не может быть и внутри A. Это утверждение, которое можно выразить так:

$\neg B\to \neg A$

является противоположностью приведенному выше утверждению. Поэтому можно сказать, что

$(A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).$

На практике эту эквивалентность можно использовать для облегчения доказательства утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что каждая девушка в Соединенных Штатах (А) имеет каштановые волосы (Б), можно либо попытаться напрямую доказать $A\to B$ проверив, что все девушки в США действительно каштановые волосы, или попытаться доказать $\neg B\to \neg A$ проверив, что все девушки без каштановых волос действительно находятся за пределами США. В частности, если бы в США можно было найти хотя бы одну девушку без каштановых волос, то это было бы опровергнуто. $\neg B\to \neg A$, и эквивалентно $A\to B$.

В общем, для любого утверждения, где A подразумевает B , not B всегда подразумевает not A. В результате доказательство или опровержение одного из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает другое, поскольку они логически эквивалентны друг другу.

Формальное определение

Предложение Q подразумевается предложением P, когда имеет место следующее соотношение:

$(P\to Q)$

Здесь говорится, что «если $P$, затем $Q$«или: «Если Сократ — человек , то Сократ — человек ». $P$ является антецедентом , и $Q$ является следствием . Одно утверждение является противоположным другому только тогда, когда его антецедент является отрицательным консеквентом другого, и наоборот. Таким образом, контрапозитив обычно принимает форму:

$(\neg Q\to \neg P).$

То есть: «Если нет- $Q$, тогда нет- $P$или, более ясно: «Если $Q$ это не так, то Р не так». На нашем примере это можно выразить так: «Если Сократ не человек , то Сократ не человек ». Говорят, что это утверждение противопоставлено оригиналу и логически эквивалентно Из-за их логической эквивалентности утверждение одного фактически утверждает другое, когда одно истинно , другое также истинно, а когда одно ложно, другое также ложно;

Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых кондиционалах. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных, универсальных кондиционалах, если они схожи. Таким образом, $\forall {x}(P{x}\to Q{x})$или «Все $P$это $Q$s» противопоставляется $\forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})$или «Все не- $Q$это не- $P$с."

Последовательное обозначение

Правило транспонирования можно выразить в виде секвенции :

$(P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),$

где $\vdash$ металогический символ, означающий, что $(\neg Q\to \neg P)$ является синтаксическим следствием $(P\to Q)$ в некоторой логической системе; или как правило вывода:

${\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},$

где правило заключается в том, что везде, где экземпляр " $P\to Q$" появляется в строке доказательства, его можно заменить на " $\neg Q\to \neg P$«; или как утверждение истинностной тавтологии или теоремы логики высказываний. Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica как

$(P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),$

где $P$ и $Q$ Это предложения, выраженные в некоторой формальной системе .

Доказательства

Простое доказательство по определению условного

В логике первого порядка условное выражение определяется как:

$A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B$

которое можно сделать эквивалентным своему контрапозитиву следующим образом:

${\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}$

Простое доказательство от противного

Позволять:

$(A\to B)\land \neg B$

Дано, что если A истинно, то B истинно, а также дано, что B неверно. Затем мы можем показать, что A не должно быть истинным, от противного. Ведь если бы А было истиной, то и Б тоже должно было бы быть истинным (согласно Modus Ponens ). Однако учитывая, что B неверно, мы получаем противоречие. Следовательно, A не истинно (при условии, что мы имеем дело с бивалентными утверждениями , которые либо истинны, либо ложны):

$(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)$

Мы можем применить тот же процесс наоборот, начиная с предположений, что:

$(\neg B\to \neg A)\land A$

Здесь мы также знаем, что утверждение B либо истинно, либо неверно. Если Б неверно, то А также неверно. Однако дано, что A истинно, поэтому предположение о том, что B неверно, приводит к противоречию, а это означает, что это не тот случай, когда B неверно. Следовательно, B должно быть истинным:

$(\neg B\to \neg A)\to (A\to B)$

Объединив два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между кондиционалом и его контрапозитивом:

$(A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)$

Более строгое доказательство эквивалентности контрапозитивов

Логическая эквивалентность двух предложений означает, что они вместе истинны или вместе ложны. Чтобы доказать, что контрапозитивы логически эквивалентны , нам нужно понять, когда материальная импликация истинна или ложна.

$P\to Q$

Это неверно только тогда, когда $P$ это правда и $Q$ является ложным. Следовательно, мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда $P$ и не- $Q$» (т.е. «Верно, когда это не так, что $P$ и не- $Q$"):

$\neg (P\land \neg Q)$

Элементы союза можно поменять местами без всякого эффекта (благодаря коммутативности ):

$\neg (\neg Q\land P)$

Мы определяем $R$ как равный " $\neg Q$", и $S$ как равный $\neg P$ (из этого $\neg S$ равно $\neg \neg P$, что равно просто $P$):

$\neg (R\land \neg S)$

Это гласит: «Это не тот случай, когда ( R истинно, а S ложно)», что является определением материального условного выражения. Затем мы можем сделать такую ​​замену:

$R\to S$

Возвращая R и S обратно в $P$ и $Q$, то получим искомый контрапозитив:

$\neg Q\to \neg P$

В классической системе исчисления высказываний

В дедуктивных системах логики высказываний в стиле Гильберта только одна сторона транспозиции считается аксиомой, а другая — теоремой. Опишем доказательство этой теоремы в системе трёх аксиом, предложенной Яном Лукасевичем :

А1. $\phi \to \left(\psi \to \phi \right)$

А2. $\left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)$

А3. $\left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)$

(А3) уже дает одно из направлений транспонирования. Другая сторона, $(\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )$, доказывается ниже с использованием следующих доказанных здесь лемм :

(DN1) $\neg \neg p\to p$ - Двойное отрицание (в одном направлении)

(ДН2) $p\to \neg \neg p$ - Двойное отрицание (другое направление)

(HS1) $(q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))$ - одна из форм гипотетического силлогизма

(HS2) $(p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))$ - еще одна форма гипотетического силлогизма.

Мы также используем метод метатеоремы гипотетического силлогизма как сокращение для нескольких шагов доказательства.

Доказательство следующее:

1. $q\to \neg \neg q$ (пример (DN2))
2. $(q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))$ (экземпляр (HS1)
3. $(p\to q)\to (p\to \neg \neg q)$ (из (1) и (2) по modus ponens)
4. $\neg \neg p\to p$ (экземпляр (DN1))
5. $(\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))$ (экземпляр (HS2))
6. $(p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)$ (из (4) и (5) по modus ponens)
7. $(p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)$ (из (3) и (6) с использованием метатеоремы гипотетического силлогизма)
8. $(\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)$ (пример (A3))
9. $(p\to q)\to (\neg q\to \neg p)$ (из (7) и (8) с использованием метатеоремы гипотетического силлогизма)

Сравнения

имя	форма	описание
импликация	если P , то Q	первое утверждение подразумевает истинность второго
обратный	если не P, то не Q	отрицание обоих утверждений
беседовать	если Q, то P	изменение обоих утверждений
контрапозитивный	если не Q, то не P	обращение и отрицание обоих утверждений
отрицание	P , а не Q	противоречит импликации

Примеры

Возьмем утверждение « Все красные объекты имеют цвет ». Это эквивалентно можно выразить так: « Если объект красный, то он имеет цвет » .

• Противоположность Если такова: « предмет не имеет цвета, то он не красный ». Это логически следует из нашего первоначального утверждения и, как и оно, очевидно, верно.
• Обратное утверждение : « Если объект не красный, то он не имеет цвета ». Синий объект не является красным и все же имеет цвет. Следовательно, в данном случае обратное неверно.
• Обратное утверждение : « Если объект имеет цвет, то он красный ». Объекты могут иметь другие цвета, поэтому обратное утверждение неверно.
• Отрицание таково : « Существует красный объект, не имеющий цвета ». Это утверждение ложно, поскольку исходное утверждение, которое оно отрицает, истинно.

Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен данному условному утверждению, хотя и недостаточен для двуусловного утверждения .

Аналогичным образом возьмем утверждение « Все четырехугольники имеют четыре стороны » или эквивалентное ему выражение « Если многоугольник является четырехугольником, то у него четыре стороны » .

• Противоположение Если таково: « у многоугольника нет четырех сторон, то он не является четырехугольником ». Это следует логически, и, как правило, контрапозитивы разделяют истинностное значение своего условного выражения.
• Обратное утверждение : « Если многоугольник не является четырехугольником, то у него нет четырех сторон ». В этом случае, в отличие от последнего примера, верно обратное утверждение.
• Обратное утверждение : « Если у многоугольника четыре стороны, то он четырехугольник ». Опять же, в этом случае, в отличие от последнего примера, верно обратное утверждение.
• Отрицание Существует таково: « по крайней мере один четырехугольник, не имеющий четырех сторон ». Это утверждение явно неверно.

Поскольку и утверждение, и обратное оба верны, оно называется двуусловным и может быть выражено как « Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда он имеет четыре стороны». (Фраза «если и только если » иногда сокращается как если только .) То есть наличие четырех сторон одновременно необходимо для того, чтобы быть четырехугольником, и само по себе достаточно, чтобы считать его четырехугольником.

Правда

• Если утверждение истинно, то истинно и его противоположное утверждение (и наоборот).
• Если высказывание ложно, то ложно и его контрапозитивное утверждение (и наоборот).
• Если обратное утверждение истинно, то верно и обратное утверждение (и наоборот).
• Если обратное утверждение ложно, то и обратное утверждение ложно (и наоборот).
• Если отрицание утверждения ложно, то это утверждение истинно (и наоборот).
• Если утверждение (или его противоположность) и обратное (или обратное) оба истинны или оба ложны, то это называется логическим бикондиционалом .

Традиционная логика

Смотрите также: Категорическое суждение § Противопоставление

В традиционной логике противопоставление — это форма непосредственного вывода , при которой одно предложение выводится из другого и где первое имеет своим предиката исходного предметом противоречие предложения логического . В некоторых случаях противопоставление предполагает изменение качества первого (т.е. утверждение или отрицание). Его символическое выражение в современной логике см. в правиле транспозиции . Противопоставление также имеет философское применение, отличное от других традиционных вывода процессов , преобразования и отклонения , где двусмысленность варьируется в зависимости от типа предложений.

В традиционной логике процесс противопоставления представляет собой схему, состоящую из нескольких шагов вывода, включающих категориальные суждения и классы . Категорическое предложение содержит подлежащее и предикат , где экзистенциальное воздействие связки подразумевает , что предложение относится к классу, по крайней мере, с одним членом , в отличие от условной формы гипотетических или материально импликативных предложений, которые являются соединениями других предложений, например «Если P, то Q» (P и Q — оба предложения), и их экзистенциальное воздействие зависит от дальнейших предложений, в которых реализуется квантификация существования (экзистенциальная реализация), а не от самих гипотетических или материально импликативных предложений.

Полное противопоставление представляет собой одновременную замену и отрицание подлежащего и предиката и справедливо только для высказываний типа «А» и типа «О» аристотелевской логики , в то время как оно условно справедливо для высказываний типа «Е» при изменении количества от всеобщего к частному осуществляется ( частичное противопоставление ). Поскольку действительная лицевая сторона получается для всех четырех типов (типы A, E, I и O) традиционных предложений, что дает предложения с противоречием исходного предиката, (полное) противопоставление получается путем преобразования обратной стороны исходного предложения. . Для утверждений «Е» частичное противопоставление можно получить, дополнительно внося изменение количества. Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано относительно предиката выведенного предложения , оно может быть либо исходным субъектом, либо его противоречием, в результате чего возникают два контрапозитива, которые являются обратными сторонами друг друга в «А», «О». ", и предложения типа "Е".

Например: из исходного категорического суждения типа «А»

Все жители - избиратели ,

который предполагает, что все классы имеют члены и что экзистенциальный смысл предполагается в форме категорических суждений, можно сначала путем отклонения вывести суждение типа «Е»,

Ни один житель не является неизбирателем .

Затем контрапозитив исходного предложения получается путем преобразования в другое предложение типа «Е»,

Ни один неизбиратель не является резидентом .

Процесс завершается дальнейшим обращением, приводящим к пропозиции типа «А», которая является обращенной противоположностью исходной пропозиции.

Все неизбиратели являются нерезидентами .

Схема противопоставления:

Оригинальное предложение	Обверсия		(Полное) Противопоставление	Обратное (полное) противопоставление
(А) Все S есть P	(E) Никакое S не является P	↔	(E) Никакой не-P не является S	(A) Все, что не-P, не является S
(E) Нет S — это P	(A) Все S не являются P		Никто	Никто
(I) Некоторое S есть P	(O) Некоторое S не является не-P		Никто	Никто
(O) Некоторое S не есть P	(I) Некоторое S не является P	↔	(I) Некоторым не-P является S	(O) Некоторый не-P не является не-S

Обратите внимание, что противопоставление является допустимой формой непосредственного вывода только тогда, когда оно применяется к предложениям «А» и «О». Это недействительно для предложений «I», где лицевой стороной является предложение «О», не имеющее действительного обратного . Противопоставление суждения «Е» действительно только с ограничениями ( per Accidens ). Это потому, что лицевой стороной предложения «Е» является предложение «А», которое не может быть правильно преобразовано, кроме как путем ограничения, то есть противопоставления плюс изменение количества предложения от всеобщего к частному .

Также обратите внимание, что противопоставление — это метод вывода, который может потребовать использования других правил вывода. Контрапозитив — это продукт метода противопоставления, имеющий разные результаты в зависимости от того, является ли противопоставление полным или частичным. Последовательные применения конверсии и извращения в процессе противопоставления могут иметь разные названия.

Процесс логической эквивалентности высказывания и его противоположности, определенный в традиционной логике классов, не является одной из аксиом логики высказываний . В традиционной логике из каждого исходного утверждения выводится более одного контрапозитивного утверждения. Что касается предложения «А», то в символизме современной логики его обходят правилом транспозиции или законом противопоставления. В своем техническом использовании в области философской логики термин «противоположность» может быть ограничен логиками (например, Ирвингом Копи , Сьюзен Стеббинг ) традиционной логикой и категоричными суждениями. В этом смысле использование термина «контрапозиция» обычно обозначается как «транспозиция», когда оно применяется к гипотетическим суждениям или материальным импликациям.

Форма транспозиции

В выведенном предложении консеквент противоречит антецеденту в исходном предложении, а антецедент выведенного предложения противоречит консеквенту исходного предложения. Символ материальной импликации обозначает предложение как гипотетическое или в форме «если-то», например, «если P , то Q ».

Двуусловное утверждение правила транспозиции (↔) относится к отношению между гипотетическими (→) предложениями , при этом каждое предложение включает в себя предшествующий и последовательный термин. С точки зрения логического вывода, транспонирование или преобразование членов одного предложения требует преобразования членов предложений по обе стороны двуусловного отношения, а это означает, что транспонирование или преобразование ( P → Q ) в ( Q → P ) требует что другое предложение (¬ Q → ¬ P ) должно быть транспонировано или преобразовано в (¬ P → ¬ Q ). В противном случае преобразование членов одного предложения, а не другого, делает правило недействительным, нарушая достаточное и необходимое условие членов предложений, причем нарушение состоит в том, что измененное предложение совершает ошибку отрицания антецедента или подтверждения последующего. путем незаконного преобразования .

Истинность правила транспозиции зависит от отношений достаточного и необходимого условий в логике.

Достаточное условие

В предложении «Если P то Q » появление P является достаточным основанием для появления Q. , P как индивидуум или класс материально имплицирует Q , но отношение Q к P таково, что обратное предложение «Если Q , то P » не обязательно имеет достаточное условие. Правило вывода для достаточного условия — это modus ponens , которое является аргументом в пользу условной импликации:

1. Посылка (1): Если P , то Q
2. Посылка (2): П
3. Вывод: Следовательно, Q

Необходимое условие

Поскольку обратная посылка (1) неверна, все, что можно сказать об отношении P и Q , это то, что в отсутствие Q Q P не возникает, а это означает, что является необходимым условием для P . Правило вывода необходимого условия — это modus tollens :

1. Посылка (1): Если P , то Q
2. Посылка (2): не Q
3. Вывод: Следовательно, не P

Пример необходимости и достаточности

Традиционно используемым логиками примером противопоставления достаточных и необходимых условий является утверждение «Если есть огонь, то есть кислород». Для возникновения пожара или горения необходима кислородная среда, но наличие кислородной среды не обязательно означает, что происходит пожар или горение. Хотя можно сделать вывод, что огонь обусловлен наличием кислорода, из наличия кислорода нельзя сделать обратный вывод: «Если есть кислород, то есть огонь». Все, что можно вывести из исходного положения, это то, что «Если нет кислорода, то не может быть огня».

Связь предложений

Символ бикондиционала («↔») означает, что связь между предложениями является одновременно необходимой и достаточной, и вербализуется как « тогда и только тогда, когда » или, согласно примеру, «Если P , то Q 'тогда и только тогда, когда 'если не Q , то и не P ".

Необходимые и достаточные условия можно объяснить по аналогии, используя понятия и правила непосредственного вывода традиционной логики. В категориальном высказывании «Все S есть P » субъектный термин S называется распределенным, то есть все члены его класса исчерпываются в его выражении. И наоборот, нельзя сказать, что термин-предикат P распределен или исчерпан в своем выражении, поскольку неясно, является ли каждый экземпляр члена P как класса также членом S как класса. Все, что можно обоснованно сделать, это то, что «Некоторые P суть S ». Таким образом, суждение типа «А» «Все P есть S » не может быть выведено путем преобразования из исходного суждения типа «А» «Все S есть P ». Все, что можно вывести, это предложение типа «A» «Все не- P есть не- S » (обратите внимание, что ( P → Q ) и ( ¬Q → ¬P ) оба являются предложениями типа «A»). Грамматически из «Все люди смертны» нельзя сделать вывод: «Все смертные — люди». Предложение типа «А» может быть немедленно выведено путем конверсии только тогда, когда распределены и подлежащее, и сказуемое, как в выводе «Все холостяки - неженатые мужчины» из «Все неженатые мужчины - холостяки».

В отличие от транспозиции

См. Также: Транспозиция (математика) и теория множеств.

Хотя большинство авторов используют эти термины для обозначения одного и того же, некоторые авторы различают транспозицию и контрапозицию. В традиционной логике процесс рассуждения транспозиции как правило вывода применяется к категорическим суждениям посредством противопоставления и возражения . серия непосредственных умозаключений, в которых правило возражения сначала применяется к исходному категорическому суждению «Все S есть P »; что дает аверс: «Нет S — это не P ». При преобразовании исходного предложения в предложение типа «Е» оба термина становятся распределенными. Затем аверс преобразуется, в результате чего получается «Нет не- P есть S », сохраняя распределение обоих терминов. Фраза «Ни одно не- P не является S » снова переворачивается, что приводит к [контрапозитивному] «Все не- P есть не- S ». Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано относительно предиката выведенного суждения, то допустимо, что им может быть исходное подлежащее или ему противоречащее, и предикатный терм результирующего суждения типа «А» снова оказывается нераспределенным. В результате образуются два контрапозитива: в одном терм-предикат распределен, а в другом — терм-предикат нераспределен.

Противопоставление — это тип непосредственного вывода , при котором из данного категорического суждения выводится другое категорическое суждение, имеющее своим предметом противоречие исходного предиката. Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано о предикате выводимого предложения, то допустимо, чтобы оно могло быть исходным субъектом или ему противоречивым. Это противоречит форме предложений транспозиции, которая может быть материальной импликацией или гипотетическим утверждением. Разница в том, что в применении к категориальным суждениям результатом противопоставления являются два контрапозитива, каждый из которых является обратным лицом другого. т.е. «Ни одно не- P не является S » и «Все не- P не является S ». Различие между двумя контрапозитивами поглощается и устраняется принципом транспозиции, предполагающим «опосредованные выводы». Противопоставления и его еще называют «законом противопоставления».

Доказательство контрапозитивом

Поскольку противоположность утверждения всегда имеет то же истинностное значение (истинность или ложность), что и само утверждение, оно может быть мощным инструментом для доказательства математических теорем (особенно если истинность противоположного утверждения легче установить, чем истинность утверждения). сам). Доказательство контрапозитивом — это прямое доказательство контрапозитивности утверждения. Однако с противопоставлением можно использовать и косвенные методы, такие как доказательство от противного , как, например, при доказательстве иррациональности квадратного корня из 2 . По определению рационального числа можно сделать утверждение, что « Если ${\sqrt {2}}$ рационально, то его можно выразить в виде неприводимой дроби ». Это утверждение верно, поскольку оно является повторением определения. Противоположностью этого утверждения является « Если ${\sqrt {2}}$ не может быть выражена в виде неприводимой дроби, то она нерациональна ». Это противоположение, как и исходное утверждение, также верно. Следовательно, если можно доказать, что ${\sqrt {2}}$ не может быть выражено в виде неприводимой дроби, то должно быть так, что ${\sqrt {2}}$ не является рациональным числом. Последнее можно доказать от противного.

В предыдущем примере для доказательства теоремы использовалась противоположность определения. Можно также доказать теорему, доказав обратное утверждение теоремы. Чтобы доказать, что если положительное целое число N является неквадратным числом , его квадратный корень иррационален , мы можем эквивалентно доказать его контрпозитивность: если положительное целое число N имеет рациональный квадратный корень, то N является квадратным числом. Это можно показать, установив √ N равным рациональному выражению a/b , где a и b являются целыми положительными числами без общего простого делителя, и возведя в квадрат, чтобы получить N = a. ² / б ² и отметив, что поскольку N является положительным целым числом b = 1, то N = a ² , квадратное число.

В математике используемое доказательство с помощью контрапозиции или доказательство с помощью противоположности — это правило вывода, в доказательствах , когда условное утверждение выводится из его противоположности. Другими словами, вывод «если A , то B » делается путем построения доказательства утверждения «если не B , то не A ». Чаще всего этот подход предпочтителен, если контрапозитив легче доказать, чем само исходное условное утверждение.

Логично, что достоверность доказательства методом контрапозиции может быть продемонстрирована с помощью следующей таблицы истинности , где показано, что p → q и $\lnot$д → $\lnot$p имеют одни и те же значения истинности во всех сценариях:

п	д	$\lnot$п	$\lnot$д	п → д	$\lnot$д → $\lnot$п
Т	Т	Ф	Ф	Т	Т
Т	Ф	Ф	Т	Ф	Ф
Ф	Т	Т	Ф	Т	Т
Ф	Ф	Т	Т	Т	Т

Разница с доказательством от противного

Доказательство от противного : предположим (от противного), что $\neg A$ это правда. Используйте это предположение, чтобы доказать противоречие . Отсюда следует, что $\neg A$ это ложь, вот так $A$ это правда.

Доказательство контрапозитивом : Доказать $A\to B$, докажите свое противоположное утверждение, которое $\neg B\to \neg A$.

Пример

Позволять $x$ быть целым числом.

Доказать: если $x^{2}$ четно, тогда $x$ четный.

Хотя можно дать прямое доказательство , мы предпочитаем доказывать это утверждение методом противопоставления. Противоположностью приведенному выше утверждению является:

Если $x$ не четно, тогда $x^{2}$ это не даже.

Последнее утверждение можно доказать следующим образом: предположим, что x нечетное, тогда x нечетное. Произведение двух нечетных чисел нечетно, следовательно $x^{2}=x\cdot x$ странно. Таким образом $x^{2}$ это не даже.

Доказав обратное, мы можем затем сделать вывод, что исходное утверждение истинно.

В неклассической логике

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике утверждение $P\to Q$ невозможно доказать, что он эквивалентен $\lnot Q\to \lnot P$. Мы можем доказать это $P\to Q$ подразумевает $\lnot Q\to \lnot P$, но обратное следствие, из $\lnot Q\to \lnot P$ к $P\to Q$, требует закона исключенного третьего или эквивалентной аксиомы.

Субъективная логика

Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективной логике, выраженной как:

$(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,$

где $(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})$ обозначает пару биномиальных условных мнений, данных источником $A$. Параметр $a_{P}$ обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) $P$. Пара производных перевернутых условных суждений обозначается $(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})$. Условное мнение $\omega _{Q|P}^{A}$ обобщает логическое утверждение $P\to Q$, т.е. помимо присвоения ИСТИНА или ЛОЖЬ источнику $A$ может приписать высказыванию любое субъективное мнение. Случай, когда $\omega _{Q\mid P}^{A}$ является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентным источнику $A$ говоря это $P\to Q$ истинно, и случай, когда $\omega _{Q\mid P}^{A}$ является абсолютным ЛОЖНЫМ мнением, эквивалентным источнику $A$ говоря это $P\to Q$ НЕВЕРНО. В случае, когда условное мнение $\omega _{Q|P}^{A}$ абсолютно ИСТИНА, оператор субъективной теоремы Байеса ${\widetilde {\phi \,}}$ субъективной логики порождает абсолютно ЛОЖНОЕ производное условное мнение $\omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ и тем самым абсолютное ИСТИННОЕ производное условное мнение $\omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ что эквивалентно $\lnot Q\to \lnot P$ быть ВЕРНЫМ. Следовательно, субъективная теорема Байеса представляет собой обобщение как противопоставления , так и теоремы Байеса .

В теории вероятностей

Противопоставление представляет собой пример теоремы Байеса , который в определенной форме может быть выражен как:

$\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.$

В уравнении выше условная вероятность $\Pr(\lnot Q\mid P)$ обобщает логическое утверждение $P\to \lnot Q$, т. е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить утверждению любую вероятность. Термин $a(P)$ обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) $P$. Предположим, что $\Pr(\lnot Q\mid P)=1$ эквивалентно $P\to \lnot Q$ быть ИСТИНОЙ, и это $\Pr(\lnot Q\mid P)=0$ эквивалентно $P\to \lnot Q$ быть ЛОЖЬЮ. Тогда легко это увидеть $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ когда $\Pr(Q\mid P)=1$ то есть когда $P\to Q$ это ПРАВДА. Это потому, что $\Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0$ так что дробь в правой части приведенного выше уравнения равна 1, и, следовательно, $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ что эквивалентно $\lnot Q\to \lnot P$ быть ВЕРНЫМ. Следовательно, теорема Байеса представляет собой обобщение противопоставления .

См. также

• Доведение до абсурда
• Логическая эквивалентность

Ссылки

• Броуди, Бобуч А. (1973). «Словарь логических терминов». Энциклопедия философии . Том. 5–6. Макмиллан. п. 61 и след.
• Копи, Ирвинг М. (1953). Введение в логику . Макмиллан.
• Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл (2005). Введение в логику . Прентис Холл.
• Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл; Родыч, Виктор (2016). Введение в логику . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-1-315-51087-3 .
• Копи, Ирвинг М. (1979). Символическая логика (5-е изд.). Макмиллан.
• Херли, Патрик Дж. (2011). Краткое введение в логику (11-е изд.). Cengage Обучение. ISBN  9780840034175 .
• Мур, Брук Ноэль; Паркер, Ричард Берл (2020) [1986]. Критическое мышление (13-е изд.). Нью-Йорк: Образование Макгроу-Хилл. ISBN  978-1-260-80787-5 . OCLC   1122695276 .
• Прайор, Артур Норман (1973). «Логика традиционная». Энциклопедия философии . Том. 5. Макмиллан.
• Стеббинг, Л. Сьюзен (1961). Современное введение в логику (7-е изд.). Харпер.

Источники

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN   978-3-319-42337-1
• Блумберг, Альберт Э. «Логика, модерн». Энциклопедия философии , том 5, Macmillan, 1973.
• Броуди, Бобух А. «Словарь логических терминов». Энциклопедия философии. Том. 5-6, с. 61. Макмиллан, 1973.
• Копи, Ирвинг. Введение в логику . Макмиллан, 1953 год.
• Копи, Ирвинг. Символическая логика . Макмиллан, 1979, пятое издание.
• Прайор АН «Логика традиционная». Энциклопедия философии , том 5, Macmillan, 1973.
• Стеббинг, Сьюзен. Современное введение в логику . Рота Кромвеля, 1931 год.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с противопоставлением, на Викискладе?
• Неправильная транспозиция (файлы ошибок)