Прямое доказательство

В математике и логике прямое доказательство — это способ показать истинность или ложность данного утверждения путем простой комбинации установленные факты, обычно аксиомы , существующие леммы и теоремы , без каких-либо дальнейших предположений. Чтобы непосредственно доказать условное утверждение вида «Если p , то q », достаточно рассмотреть ситуации, в которых утверждение p истинно. Логическая дедукция используется для рассуждения от предположений к выводам. Тип используемой логики почти всегда — это логика первого порядка , использующая кванторы для всех и существует . Распространенными правилами доказательства являются modus ponens и универсальное создание экземпляров .

Напротив, косвенное доказательство может начаться с определенных гипотетических сценариев, а затем перейти к устранению неопределенностей в каждом из этих сценариев, пока не будет сделан неизбежный вывод. Например, вместо того, чтобы напрямую показывать p ⇒ q , доказывают противоположность ~ q ⇒ ~ p (предполагают ~ q и показывают, что это приводит к ~ p ). Поскольку p ⇒ q и ~ q ⇒ ~ p эквивалентны по принципу транспонирования (см. закон исключенного третьего ), то p ⇒ q доказано косвенно. Непрямые методы доказательства включают доказательство от противного , включая доказательство бесконечным спуском . К методам прямого доказательства относятся доказательство исчерпывающим методом и доказательство индукцией .

История и этимология

Прямое доказательство — это самая простая форма доказательства. Слово «доказательство» происходит от латинского слова «probare». что означает «испытать». Самое раннее использование доказательств было заметно в судебных разбирательствах. Считалось, что человек, обладающий властью, например дворянин, обладает честностью, а это означает, что доказательства основывались на его относительном авторитете, который перевешивал эмпирические свидетельства. В былые времена математика и доказательства часто переплетались с практическими вопросами – такие народы, как египтяне и греки, проявляли интерес к геодезии земли. Это привело к естественному интересу к геометрии и тригонометрии , особенно к треугольникам и прямоугольникам . Это были формы, которые вызывали больше всего вопросов с точки зрения практических вещей, поэтому ранние геометрические концепции были сосредоточены на этих формах, например, в зданиях и пирамидах эти формы использовались в изобилии. Другая форма, имеющая решающее значение в истории прямых доказательств, — это круг , который сыграл решающую роль при проектировании арен и резервуаров для воды. Это означало, что древняя геометрия (и евклидова геометрия ) обсуждала круги.

Самая ранняя форма математики была феноменологической . Например, если кто-то мог нарисовать разумную картину или дать убедительное описание, то это соответствовало всем критериям, позволяющим описывать что-то как математический «факт». Иногда имели место аналогичные аргументы или даже «вызывание богов». Идея о том, что математические утверждения могут быть доказаны, еще не была развита, поэтому это были самые ранние формы концепции доказательства, хотя они вообще не были фактическим доказательством.

Доказательство в том виде, в каком мы его знаем, возникло после одного конкретного вопроса: «Что такое доказательство?» Традиционно доказательство — это платформа, которая убеждает кого-либо вне разумных сомнений в том, что утверждение математически верно. Естественно, можно было бы предположить, что лучший способ доказать истинность чего-то вроде этого (Б) — это провести сравнение с чем-то старым (А), истинность которого уже доказана. Так была создана концепция получения нового результата из старого результата.

Примеры

Сумма двух четных целых чисел равна четному целому числу

Рассмотрим два четных целых числа x и y . Поскольку они четные, их можно записать как

$x=2a$

$y=2b$

соответственно для целых чисел a и b . Тогда сумму можно записать как

$x+y=2a+2b=2(a+b)=2p$ где $p=a+b$, a и b — целые числа.

Отсюда следует, что x + y имеет множитель 2 и, следовательно, является четным, поэтому сумма любых двух четных целых чисел является четной.

Теорема Пифагора

Diagram of Pythagoras Theorem

Обратите внимание, что у нас есть четыре прямоугольных треугольника и квадрат, упакованные в больший квадрат. Каждый из треугольников имеет стороны a и b и гипотенузу c . Площадь квадрата определяется как квадрат длин его сторон. В этом случае площадь большого квадрата равна (a + b) ² . Однако площадь большого квадрата можно выразить и как сумму площадей его составляющих. В данном случае это будет сумма площадей четырех треугольников и маленького квадрата в середине.

Мы знаем, что площадь большого квадрата равна (a + b) ² .

Площадь прямоугольного треугольника равна ${\frac {1}{2}}ab.$

Мы знаем, что площадь большого квадрата также равна сумме площадей треугольников плюс площадь маленького квадрата, и, следовательно, площадь большого квадрата равна $4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}.$

Они равны, и поэтому

$(a+b)^{2}=4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}.$

После некоторого упрощения,

$a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}.$

Удаление 2ab, которое появляется с обеих сторон, дает

$a^{2}+b^{2}=c^{2},$

что доказывает теорему Пифагора. ∎

Квадрат нечетного числа тоже нечетен

По определению, если n — нечетное целое число, его можно выразить как

$n=2k+1$

для некоторого целого числа k . Таким образом

${\begin{aligned}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=(2k+1)(2k+1)\\&=4k^{2}+2k+2k+1\\&=4k^{2}+4k+1\\&=2(2k^{2}+2k)+1.\end{aligned}}$

С 2 тыс. ² + 2 k — целое число, n ² тоже странно. ∎

Источники

• Франклин, Дж .; А. Дауд (2011). Доказательство по математике: Введение . Сидней: Книги Кью. ISBN  978-0-646-54509-7 . (Гл. 1.)

Внешние ссылки

• Прямое доказательство из книги Ларри В. Кьюсика « Как писать доказательства» .
• Прямые доказательства Патрика Кифа и Дэвида Гишара из «Введения в высшую математику» .
• Раздел «Прямое доказательство» Ричарда Хамака «Книги доказательств» .