Прямое доказательство
В математике и логике прямое доказательство — это способ показать истинность или ложность данного утверждения путем простой комбинацииустановленные факты, обычно аксиомы , существующие леммы и теоремы , без каких-либо дальнейших предположений. [1] Чтобы непосредственно доказать условное высказывание вида «Если p , то q », достаточно рассмотреть ситуации, в которых утверждение p истинно. Логическая дедукция используется для рассуждения от предположений к выводам. Тип используемой логики почти всегда — это логика первого порядка , использующая кванторы для всех и существует . Распространенными правилами доказательства являются modus ponens и универсальное создание экземпляров . [2]
Напротив, косвенное доказательство может начаться с определенных гипотетических сценариев, а затем перейти к устранению неопределенностей в каждом из этих сценариев, пока не будет сделан неизбежный вывод. Например, вместо того, чтобы напрямую показывать p ⇒ q , доказывают противоположность ~ q ⇒ ~ p (предполагают ~ q и показывают, что это приводит к ~ p ). Поскольку p ⇒ q и ~ q ⇒ ~ p эквивалентны по принципу транспонирования (см. закон исключенного третьего ), то p ⇒ q доказано косвенно. Непрямые методы доказательства включают доказательство от противного , включая доказательство бесконечным спуском . К методам прямого доказательства относятся доказательство исчерпывающим методом и доказательство индукцией .
История и этимология [ править ]
Прямое доказательство — это самая простая форма доказательства. Слово «доказательство» происходит от латинского слова «probare». [3] что означает «испытать». Самое раннее использование доказательств было заметно в судебных разбирательствах. Считалось, что человек, обладающий властью, например дворянин, обладает честностью, а это означает, что доказательства были основаны на его относительном авторитете, который перевешивал эмпирические свидетельства. В былые времена математика и доказательства часто переплетались с практическими вопросами – такие народы, как египтяне и греки, проявляли интерес к геодезии земли. [4] Это привело к естественному интересу к геометрии и тригонометрии , особенно к треугольникам и прямоугольникам . Это были формы, которые вызывали больше всего вопросов с точки зрения практических вещей, поэтому ранние геометрические концепции были сосредоточены на этих формах, например, в зданиях и пирамидах эти формы использовались в изобилии. Другая форма, имеющая решающее значение в истории прямых доказательств, — это круг , который сыграл решающую роль при проектировании арен и резервуаров для воды. Это означало, что древняя геометрия (и евклидова геометрия ) обсуждала круги.
Самая ранняя форма математики была феноменологической . Например, если кто-то мог нарисовать разумную картину или дать убедительное описание, то это соответствовало всем критериям, позволяющим описывать что-то как математический «факт». Иногда имели место аналогичные аргументы или даже «вызывание богов». Идея о том, что математические утверждения могут быть доказаны, еще не была развита, поэтому это были самые ранние формы концепции доказательства, хотя они вообще не были фактическим доказательством.
Доказательство в том виде, в каком мы его знаем, возникло после одного конкретного вопроса: «Что такое доказательство?» Традиционно доказательство — это платформа, которая убеждает кого-либо вне разумных сомнений в том, что утверждение математически верно. Естественно, можно было бы предположить, что лучший способ доказать истинность чего-то вроде этого (Б) — это провести сравнение с чем-то старым (А), истинность которого уже доказана. Так была создана концепция получения нового результата из старого результата.
Примеры [ править ]
Сумма двух четных целых чисел равна четному целому числу [ править ]
Рассмотрим два четных целых числа x и y . Поскольку они четные, их можно записать как
соответственно для целых чисел a и b . Тогда сумму можно записать как
- где , a и b — целые числа.
Отсюда следует, что x + y имеет множитель 2 и, следовательно, является четным, поэтому сумма любых двух четных целых чисел является четной.
Теорема Пифагора [ править ]
Обратите внимание, что у нас есть четыре прямоугольных треугольника и квадрат, упакованные в больший квадрат. Каждый из треугольников имеет стороны a и b и гипотенузу c . Площадь квадрата определяется как квадрат длин его сторон. В этом случае площадь большого квадрата равна (a + b) 2 . Однако площадь большого квадрата можно выразить и как сумму площадей его составляющих. В данном случае это будет сумма площадей четырех треугольников и маленького квадрата в середине. [5]
Мы знаем, что площадь большого квадрата равна (a + b) 2 .
Площадь прямоугольного треугольника равна
Мы знаем, что площадь большого квадрата также равна сумме площадей треугольников плюс площадь маленького квадрата, и, следовательно, площадь большого квадрата равна
Они равны, и поэтому
После некоторого упрощения,
Удаление 2ab, которое появляется с обеих сторон, дает
что доказывает теорему Пифагора. ∎
Квадрат нечетного числа тоже нечетен [ править ]
По определению, если n — нечетное целое число, его можно выразить как
для некоторого целого числа k . Таким образом
С 2 тыс. 2 + 2 k — целое число, n 2 тоже странно. ∎
Ссылки [ править ]
- ^ Купильяри, Антонелла . Основные моменты доказательств . Академик Пресс, 2001. Стр. 3.
- ^ К. Гупта, С. Сингх, С. Кумар Расширенная дискретная структура . IK Международный издательский дом Pvt. ООО, 2010. С. 127.
- ^ Новый краткий Оксфордский словарь английского языка
- ^ Кранц, Стивен Г. История и концепция математического доказательства . 5 февраля 2007 г.
- ^ Кранц, Стивен Г. Доказательство - пудинг . Спрингер, 2010. Страница 43.
Источники [ править ]
- Франклин, Дж .; А. Дауд (2011). Доказательство по математике: Введение . Сидней: Книги Кью. ISBN 978-0-646-54509-7 . (Гл. 1.)
Внешние ссылки [ править ]
- Прямое доказательство из книги Ларри В. Кьюсика « Как писать доказательства» .
- Прямые доказательства Патрика Кифа и Дэвида Гишара из «Введения в высшую математику» .
- Раздел «Прямое доказательство» Ричарда Хамака «Книги доказательств» .