Неравенство (математика)

Эта статья посвящена отношениям «больше» и «меньше». Об отношении «не равно» см. «Неравенство » .

Сюда перенаправляются «Меньше чем» и «Больше чем». Для обозначения символа < см. знак «меньше» . Чтобы узнать о символе >, см. знак «больше» . Чтобы узнать о песне, см. «Меньше чем (песня)» .

«≪» перенаправляется сюда. Не путать с Абсолютной непрерывностью мер .

линейного Допустимые области программирования определяются набором неравенств.

В математике неравенство — это отношение, которое осуществляет неравное сравнение двух чисел или других математических выражений. Чаще всего он используется для сравнения двух чисел на числовой прямой по их размеру. Основными видами неравенства являются меньше и больше .

Обозначения

Для обозначения различных видов неравенств используются несколько различных обозначений:

• Обозначение a < b означает, a меньше b что .
• Обозначение a > b означает, что a больше , чем b .

В любом случае a не равно b . Эти отношения известны как строгие неравенства . это означает, что a строго меньше или строго больше b . Равенство исключено.

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

• Обозначение a ≤ b или a ⩽ b или a ⩽ b означает, что a меньше или равно b (или, что то же самое, не более b или не больше b ).
• Обозначение a ≥ b или a ⩾ b или a ⩾ b означает, что a больше или равно b (или, что то же самое, по крайней мере b или не меньше b ).

В 17 и 18 веках для обозначения неравенства использовались личные записи или машинописные знаки. Например, в 1670 году Джон Уоллис использовал одну горизонтальную полосу выше, а не ниже < и >.Позже, в 1734 году, ≦ и ≧, известные как «меньше (больше) больше равно» или «меньше (больше) или равно с двойными горизонтальными чертами», впервые появились в Пьера Бугера . работе После этого математики упростили символ Буге до «меньше (больше) или равно одной горизонтальной черте» (≤), или «меньше (больше) или наклонно равно» (⩽).

Отношение не больше чем можно также представить как $a\ngtr b,$ символ «больше», разделенный косой чертой «нет». То же самое верно для не менее , $a\nless b.$

Обозначение a ≠ b означает, что a не равно b ; это неравенство иногда считается формой строгого неравенства. Здесь не говорится, что одно больше другого; для этого даже не требуется, чтобы a и b были членами упорядоченного набора .

В технических науках менее формальное использование обозначений заключается в утверждении, что одна величина «намного больше» другой. обычно на несколько порядков .

• Обозначение a ≪ b означает, что a намного меньше b .
• Обозначение a ≫ b означает, что a намного больше b .

Это означает, что меньшим значением можно пренебречь с небольшим влиянием на точность приближения ( например, в случае ультрарелятивистского предела в физике).

Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, зеркально отражающие друг друга, симметричны; a < b и b > a эквивалентны и т. д.

Свойства на числовой прямой

Неравенства регулируются следующими свойствами . Все эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими строгими неравенствами (< и >) и — в случае применения функции — монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями .

Конверсы

Отношения ≤ и ≥ являются обратными друг другу , что означает, что для любых действительных чисел a и b :

a ⩽ b и b ⩾ a эквивалентны.

Транзитивность

Транзитивное свойство неравенства гласит, что для любых действительных чисел a , b , c :

Если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c .

Если любая из посылок представляет собой строгое неравенство, то вывод представляет собой строгое неравенство:

Если a ≤ b и b < c , то a < c .

Если a < b и b ≤ c , то a < c .

Сложение и вычитание

Если x < y , то x + a < y + a .

Общая константа c может быть добавлена ​​или вычтена из обеих частей неравенства. Итак, для любых действительных чисел a , b , c :

Если a ⩽ b , то a + c ⩽ b + c и a - c ⩽ b - c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа представляют собой упорядоченную группу при сложении.

Умножение и деление

Если x < y и a > 0, то ax < ay .

Если x < y и a < 0, то ax > ay .

Свойства, касающиеся умножения и деления, утверждают, что для любых действительных чисел a , b и ненулевых c :

Если a ≤ b и c > 0, то ac ≤ bc и a / c ≤ b / c .

Если a ≤ b и c < 0, то ac ≥ bc и a / c ≥ b / c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда используется отрицательная константа. В более общем смысле это относится к упорядоченному полю . Дополнительную информацию см. в § Упорядоченные поля .

Аддитивный обратный

Свойство аддитивной инверсии гласит, что для любых действительных чисел a и b :

Если a ≤ b , то − a ≥ − b .

Мультипликативный обратный

Если оба числа положительны, то отношение неравенства между мультипликативными обратными числами противоположно отношению неравенства между исходными числами. Более конкретно, для любых ненулевых действительных чисел a и b , которые оба являются положительными (или оба отрицательными ):

Если a ≤ b , то ⁠ 1 / a ⁠ ≥ ⁠ 1 / b ⁠ .

Все случаи знаков a и b также можно записать в цепной записи следующим образом:

Если 0 < a ≤ b , то ⁠ 1 / a ⁠ ≥ ⁠ 1 / б ⁠ > 0.

Если a ≤ b < 0, то 0 > ⁠ 1 / a ⁠ ≥ ⁠ 1 / b ⁠ .

Если a < 0 < b , то ⁠ 1 / а ⁠ < 0 < ⁠ 1 / b ⁠ .

Применение функции к обеим сторонам

График y = ln x

Любая монотонно возрастающая функция по определению может применяться к обеим частям неравенства без нарушения соотношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в области определения этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства означает, что соотношение неравенства изменится на противоположное. Правила аддитивного обратного и мультипликативного обратного для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.

Если неравенство строгое ( a < b , a > b ) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если только одно из этих условий является строгим, то полученное неравенство является нестрогим. Фактически, правила аддитивных и мультипликативных обратных операций являются примерами применения строго монотонно убывающей функции.

Вот несколько примеров этого правила:

• Возведение обеих частей неравенства в степень n > 0 (эквивалентно - n <0), когда a и b - положительные действительные числа:
  0 ≤ а ≤ б ⇔ 0 ≤ а ^н ≤ б ^н .
  0 ≤ а ≤ б ⇔ а ^{− п} ≥ б ^{− п} ≥ 0.
• Берем натуральный логарифм с обеих сторон неравенства, когда a и b — положительные действительные числа:
  0 < а ≤ б ⇔ ln( а ) ≤ ln( б ).
  0 < а < б ⇔ ln( а ) < ln( б ).
  (это верно, поскольку натуральный логарифм является строго возрастающей функцией.)

Формальные определения и обобщения

(Нестрогий) частичный порядок — это бинарное отношение ≤ над множеством P , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . То есть для всех a , b и c в P он должен удовлетворять трем следующим условиям:

1. a ≤ a ( рефлексивность )
2. если a ≤ b и b ≤ a , то a = b ( антисимметрия )
3. если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c ( транзитивность )

Множество с частичным порядком называется частично упорядоченным множеством . Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять любой порядок. Другие аксиомы, существующие для других определений порядков на множестве P, включают:

1. каждых a и b в P a b ≤ Для или b ≤ a ( общий порядок ).
2. Для всех a и b в P, для которых a < b , существует c в P такой, что a < c < b ( плотный порядок ).
3. Каждое непустое подмножество P P с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу (супремум) в свойство наименьшей ( верхней границы ).

Упорядоченные поля

Основная статья: Упорядоченное поле

Если ( F , +, ×) — поле и ≤ — полный порядок на F , то ( F , +, ×, ≤) называется упорядоченным полем тогда и только тогда, когда:

• a ≤ b подразумевает a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a и 0 ≤ b влечет за собой 0 ≤ a × b .

Оба ( Q , +, ×, ≤) и ( R , +, ×, ≤) являются упорядоченными полями , но ≤ не может быть определено, чтобы сделать ( C , +, ×, ≤) упорядоченным полем , потому что −1 — это квадрат i и поэтому будет положительным.

является упорядоченным полем, Помимо того, что R он также обладает свойством «наименьшая верхняя граница» . Фактически, R можно определить как единственное упорядоченное поле такого качества.

Цепное обозначение

Обозначение a < b < c означает « a < b и b < c », из чего по свойству транзитивности, указанному выше, также следует, что a < c . Согласно приведенным выше законам, можно прибавить или вычесть одно и то же число ко всем трем слагаемым, а также умножить или разделить все три слагаемых на одно и то же ненулевое число и перевернуть все неравенства, если это число отрицательное. Следовательно, например, a < b + e < c эквивалентно a - e < b < c - e .

Это обозначение можно обобщить на любое количество терминов: например, a ₁ ⩽ a ₂ ⩽ ... ⩽ a _n означает, что a _i ⩽ a _{i +1} для i = 1, 2, ..., n − 1. По транзитивности это условие эквивалентно a _i ≤ a _j для любого 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

При решении неравенств с использованием цепной записи можно, а иногда и необходимо, оценивать члены самостоятельно. Например, чтобы решить неравенство 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, невозможно выделить x в какой-либо одной части неравенства путем сложения или вычитания. Вместо этого неравенства необходимо решать независимо, в результате чего x < ⁠ 1/2 ≥ ⁠ ≤ и x −1 соответственно, которые можно объединить в окончательное решение −1 x < ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Иногда цепные обозначения используются с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае смыслом является логическое соединение неравенств между соседними терминами. Например, определяющее условие зигзагообразного ЧУУ записывается как a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . Смешанные цепные обозначения чаще используются с совместимыми отношениями, например <, =, ≤. Например, a < b = c ≤ d означает, что a < b , b = c и c ≤ d . Эта нотация существует в нескольких языках программирования, таких как Python . Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочение по типу результатов сравнения, таких как C , даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение.

Резкие неравенства

Неравенство называется резким , если его нельзя ослабить и при этом в целом сохранить справедливость. Формально универсальное кванторное неравенство φ называется точным, если для любого действительного универсального кванторного неравенства ψ , если выполняется ψ ⇒ φ , то также выполняется ψ ⇔ φ . Например, неравенство ∀ a ∈ R . а ² ≥ 0 является точным, тогда как неравенство ∀ a ∈ R . а ² ≥ −1 не является точным.

Неравенство между средствами

Смотрите также: Неравенство средних арифметических и геометрических.

Между средствами существует множество неравенств. Например, для любых положительных чисел a ₁ , a ₂ , ..., a _n мы имеем H ≤ G ≤ A ≤ Q , где они представляют собой следующие средние значения последовательности:

• Гармоническое среднее : $H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$
• Среднее геометрическое : $G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$
• Среднее арифметическое : $A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$
• Квадратичное среднее : $Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$

Неравенство Коши – Шварца

См. Также: неравенство Коши – Шварца.

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов u и v пространства внутреннего произведения верно, что $$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$$где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ это внутренний продукт . Примеры внутренних продуктов включают реальное и сложное скалярное произведение ; В евклидовом пространстве R ^н со стандартным внутренним продуктом неравенство Коши – Шварца имеет вид $$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$$

Силовое неравенство

Степенное неравенство — это неравенство, содержащее члены вида a ^б , где a и b — действительные положительные числа или выражения переменных. Они часто появляются в упражнениях математических олимпиад .

Примеры:

• Для любого действительного x , $$e^{x}\geq 1+x.$$
• Если х > 0 и р > 0, то $${\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.$$ В пределе p → 0 верхняя и нижняя границы сходятся к ln( x ).
• Если х > 0, то $$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.$$
• Если х > 0, то $$x^{x^{x}}\geq x.$$
• Если x , y , z > 0, то $$\left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.$$
• Для любых действительных различных чисел a и b , $${\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.$$
• Если x , y > 0 и 0 < p < 1, то $$x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.$$
• Если x , y , z > 0, то $$x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.$$
• Если а , b > 0, то $$a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.$$
• Если а , b > 0, то $$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.$$
• Если a , b , c > 0, то $$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.$$
• Если а , b > 0, то $$a^{b}+b^{a}>1.$$

Известные неравенства

См. Также: Список неравенств.

Математики часто используют неравенства для определения величин, для которых невозможно легко вычислить точные формулы. Некоторые неравенства используются настолько часто, что имеют названия:

• Неравенство Азумы
• Неравенство Бернулли
• Неравенство Белла
• Неравенство Буля
• Неравенство Коши – Шварца
• Неравенство Чебышева
• Неравенство Чернова
• Неравенство Крамера-Рао
• Неравенство Хефдинга
• Неравенство Гёльдера
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Неравенство Дженсена
• Неравенство Колмогорова
• Неравенство Маркова
• Неравенство Минковского
• Неравенство Несбитта
• Неравенство Педо
• Неравенство Пуанкаре
• Неравенство Самуэльсона
• Sobolev inequality
• Неравенство треугольника

Комплексные числа и неравенства

Набор комплексных чисел $\mathbb {C}$ с его операциями сложения и умножения является полем , но невозможно определить какое-либо отношение ≤ так, чтобы $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ становится упорядоченным полем . Сделать $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ упорядоченное поле , оно должно удовлетворять следующим двум свойствам:

• если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Поскольку ≤ является полным порядком , для любого числа a либо 0 ≤ a , либо a ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше подразумевает, что 0 ≤ − a ). В любом случае 0 ≤ a ² ; это значит, что я ² > 0 и 1 ² > 0 ; поэтому −1 > 0 и 1 > 0 , что означает (−1 + 1) > 0; противоречие.

Однако операцию ≤ можно определить так, чтобы она удовлетворяла только первому свойству (а именно: «если a ≤ b , то a + c ≤ b + c »). Иногда лексикографического порядка используется определение :

• a ≤ b , если
  • Re( a ) <Re( b ) или
  • Re( a ) = Re( b ) и Im( a ) ≤ Im( b )

Легко доказать, что для этого определения a ≤ b влечет a + c ≤ b + c .

Векторные неравенства

Отношения неравенства, подобные определенным выше, также могут быть определены для векторов-столбцов . Если мы позволим векторам $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ (имеется в виду, что $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ и $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\mathsf {T}}$, где $x_{i}$ и $y_{i}$ действительные числа для $i=1,\ldots ,n$), мы можем определить следующие отношения:

• $x=y$, если $x_{i}=y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$.
• $x<y$, если $x_{i}<y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$.
• $x\leq y$, если $x_{i}\leq y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$ и $x\neq y$.
• $x\leqq y$, если $x_{i}\leq y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$.

Аналогичным образом мы можем определить отношения для $x>y$, $x\geq y$, и $x\geqq y$. Эти обозначения согласуются с обозначениями, использованными Маттиасом Эрготтом в «Многокритериальной оптимизации» (см. «Ссылки»).

Свойство трихотомии (как указано выше ) недопустимо для векторных отношений. Например, когда $x=(2,5)^{\mathsf {T}}$ и $y=(3,4)^{\mathsf {T}}$, между этими двумя векторами не существует действительного отношения неравенства. Однако для остальных вышеупомянутых свойств существует параллельное свойство для векторных неравенств.

Системы неравенств

Системы линейных неравенств можно упростить методом исключения Фурье – Моцкина .

Цилиндрическая алгебраическая декомпозиция — это алгоритм, позволяющий проверить, имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решения, и, если решения существуют, описать их. Сложность этого алгоритма вдвойне экспоненциальна по количеству переменных. Это активная область исследований по разработке алгоритмов, более эффективных в конкретных случаях.

См. также

• Бинарное отношение
• Скобка (математика) для использования аналогичных знаков ‹ и › в качестве скобок.
• Инклюзия (теория множеств)
• Неравенство
• Интервал (математика)
• Список неравенств
• Список неравенств треугольника
• Частично заказанный комплект
• Операторы отношения , используемые в языках программирования для обозначения неравенства.

Источники

• Харди Г., Литтлвуд Дж. Э., Полиа Г. (1999). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-05206-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Бекенбах, Э.Ф., Беллман, Р. (1975). Введение в неравенства . Random House Inc. ISBN  0-394-01559-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Драхман, Байрон К., Клауд, Майкл Дж. (1998). Неравенства: с приложениями к технике . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-98404-6 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Гриншпан, А.З. (2005), «Общие неравенства, последствия и приложения», Успехи в прикладной математике , 34 (1): 71–100, doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• Мюррей С. Кламкин. « Неравенства по-быстрому» (PDF) . Математические стратегии . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства» . Электронная онлайн-книга в формате PDF.
• Гарольд Шапиро (2005). «Решение математических задач» . Семинар по старым проблемам . Королевский технологический институт.
• «3-й USAMO» . Архивировано из оригинала 3 февраля 2008 г.
• Пачпатте, Б.Г. (2005). Математические неравенства . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 67 (первое изд.). Амстердам, Нидерланды: Elsevier . ISBN  0-444-51795-2 . ISSN   0924-6509 . МР   2147066 . Збл   1091.26008 .
• Эрготт, Матиас (2005). Многокритериальная оптимизация . Шпрингер-Берлин. ISBN  3-540-21398-8 .
• Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-54677-5 .

Внешние ссылки

• «Неравенство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• График неравенства Эда Пегга-младшего.
• Запись AoPS Wiki о неравенстве