Среднее геометрическое

В математике среднее геометрическое — это среднее или среднее , которое указывает на центральную тенденцию конечного набора действительных чисел , используя произведение их значений (в отличие от среднего арифметического , которое использует их сумму). Среднее геометрическое определяется как $n-й$ корень степени из произведения чисел $n$ , т. е. для набора чисел $a 1, a 2, ..., an среднее$ геометрическое определяется как

\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}

или, что то же самое, как среднее арифметическое в логарифмическом масштабе :

\exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}

Чаще всего числа ограничиваются неотрицательными числами, чтобы избежать осложнений, связанных с тем, что отрицательные числа не имеют действительных корней, и часто они ограничиваются положительными числами, чтобы можно было использовать логарифмы. В любом случае среднее геометрическое равно нулю для любого набора данных, где одно или несколько значений равны нулю. Среднее геометрическое может быть ненадежным показателем центральной тенденции для набора данных, где одно или несколько значений чрезвычайно близки к нулю по сравнению с другими членами набора данных.

Среднее геометрическое двух чисел, скажем, 2 и 8, равно квадратному корню из их произведения, то есть: ${\sqrt {2\cdot 8}}=4$ . Среднее геометрическое трех чисел 4, 1 и 1/32 — это кубический корень из их произведения (1/8), которое равно 1/2, то есть ${\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2$ .

Среднее геометрическое часто используется для набора чисел, значения которых предназначены для умножения или имеют экспоненциальный характер, например, набор показателей роста: численность населения или процентные ставки финансовых инвестиций с течением времени. Это также применимо к сравнительному тестированию , где оно особенно полезно для расчета средств коэффициентов ускорения : поскольку среднее значение 0,5x (вполовину быстрее) и 2x (в два раза быстрее) будет равно 1 (т. е. в целом ускорение отсутствует).

Предположим, например, что человек инвестирует 1000 долларов в акции и достигает годовой доходности +10%, -12%, +90%, -30% и +25% в течение 5 лет подряд, что дает окончательную стоимость инвестиций в 1609 долларов. Среднее арифметическое годовое процентное изменение составляет 16,6%. Однако это значение нерепрезентативно. Если бы первоначальные инвестиции росли на 16,6% в год, через 5 лет они бы стоили 2155 долларов. Фактически, чтобы найти средний процентный рост, необходимо вычислить среднее геометрическое последовательных годовых коэффициентов роста (1,1, 0,88, 1,9, 0,7, 1,25). Это дает значение 1,0998, что соответствует среднегодовому росту на 9,98%. Можно легко убедиться, что инвестиция в 1000 долларов, которая за пять лет вырастет на 9,98%, достигнет конечной инвестиционной стоимости в 1609 долларов. В данном случае подходит среднее геометрическое, поскольку рост инвестиций носит мультипликативный, а не аддитивный характер.

Среднее геометрическое можно понять с точки зрения геометрии . Среднее геометрическое двух чисел, $a$ и $b$ , — длина одной стороны квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами длиной $a$ и $b$ . Аналогично, среднее геометрическое трёх чисел, $a$ , $b$ , и $c$ , — длина одного ребра куба, объем которого равен объему кубоида со сторонами, длины которых равны трем заданным числам.

Среднее геометрическое является одним из трёх классических средних Пифагора , наряду со средним арифметическим и средним гармоническим . Для всех наборов положительных данных, содержащих хотя бы одну пару неравных значений, среднее гармоническое всегда является наименьшим из трех средних, тогда как среднее арифметическое всегда является наибольшим из трех, а среднее геометрическое всегда находится между ними (см. Неравенство арифметических и геометрические средства .)

Расчет [ править ]

Среднее геометрическое набора данных ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ дан кем-то:

\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.

^[3]

На рисунке выше используется обозначение «пи» с заглавной буквы , чтобы показать серию умножений. Каждая сторона знака равенства показывает, что набор значений последовательно умножается (количество значений обозначается буквой «n»), чтобы получить общий продукт набора, а затем корень n-й степени из общего продукта берется как дать среднее геометрическое исходного набора. Например, в наборе из четырех чисел ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ , продукт ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ является ${\textstyle 24}$ , а среднее геометрическое — это корень четвёртой степени из 24, или ~ 2,213. Экспонента ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$ в левой части эквивалентно извлечению корня n -й степени. Например, ${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$ .

Итеративный означает [ править ]

Среднее геометрическое набора данных меньше набора данных среднего арифметического , если только все члены набора данных не равны, и в этом случае средние геометрические и арифметические равны. Это позволяет определить среднее арифметико-геометрическое , пересечение этих двух значений, которое всегда находится между ними.

Среднее геометрическое также является средним арифметико-гармоническим в том смысле, что если две последовательности ( ${\textstyle a_{n}}$ ) и ( ${\textstyle h_{n}}$ ) определены:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x

и

h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y

где ${\textstyle h_{n+1}}$ — среднее гармоническое предыдущих значений двух последовательностей, тогда ${\textstyle a_{n}}$ и ${\textstyle h_{n}}$ будет сходиться к среднему геометрическому ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$ . Последовательности сходятся к общему пределу, при этом среднее геометрическое сохраняется:

{\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}

Замена среднего арифметического и гармонического среднего на пару обобщенных средних противоположных конечных показателей дает тот же результат.

Связь с логарифмами [ править ]

Среднее геометрическое также можно выразить как экспоненту среднего арифметического логарифмов. ^[4] Используя логарифмические тождества для преобразования формулы, умножения можно выразить в виде суммы, а степень — в виде умножения:

Когда $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$

\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right];

Как:

{\begin{aligned}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}&={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\&=e^{\ln(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}\right)}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\\{\text{geometric mean(}}a{\text{)}}&=e^{{\text{arithmetic mean(ln(}}a{\text{))}}}\end{aligned}}

в качестве альтернативы используйте любую положительную действительную базу чисел как для логарифмов, так и для числа, которое вы возводите в степень среднего арифметического отдельных логарифмов в той же самой базе.

кроме того, если отрицательные значения $a_{i}$ разрешается,

\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(\left(-1\right)^{m}\right)^{\frac {1}{n}}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left|a_{i}\right|\right],

где $m$ — количество отрицательных чисел.

Иногда его называют средним логарифмическим (не путать со средним логарифмическим ). Это просто вычисление среднего арифметического значений, преобразованных логарифмом. $a_{i}$ (т. е. среднее арифметическое по логарифмической шкале), а затем с помощью возведения в степень вернуть вычисления к исходному масштабу, т. е. это обобщенное f-среднее с $f(x)=\log x$ . Например, среднее геометрическое 2 и 8 можно рассчитать следующим образом: $b$ — любое основание логарифма ( обычно 2, $e$ или 10):

b^{{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}(2)+\log _{b}(8)\right]}=4

В связи с вышеизложенным можно видеть, что для данной выборки точек $a_{1},\ldots ,a_{n}$ среднее геометрическое является минимизатором

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i})-\log(a))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i}/a))^{2}

,

тогда как среднее арифметическое является минимизатором

f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}

.

Таким образом, среднее геометрическое представляет собой сводку образцов, показатель которых лучше всего соответствует показателям образцов (в смысле метода наименьших квадратов).

Логарифмическая форма среднего геометрического обычно является предпочтительной альтернативой для реализации в компьютерных языках, поскольку вычисление произведения многих чисел может привести к арифметическому переполнению или арифметическому опустошению . Менее вероятно, что это произойдет с суммой логарифмов для каждого числа.

Сравнение со средним арифметическим [ править ]

Среднее геометрическое непустого набора данных (положительных) чисел всегда не превышает их среднего арифметического. Равенство достигается только тогда, когда все числа в наборе данных равны; в противном случае среднее геометрическое будет меньше. Например, среднее геометрическое чисел 2 и 3 равно 2,45, а их среднее арифметическое — 2,5. В частности, это означает, что когда набор неидентичных чисел подвергается разбросу, сохраняющему среднее значение — то есть элементы набора «раздвигаются» больше друг от друга, оставляя среднее арифметическое неизменным — их среднее геометрическое уменьшается. ^[5]

роста Средний темп

Во многих случаях среднее геометрическое является лучшим показателем для определения средней скорости роста некоторой величины. (Например, если за один год продажи вырастут на 80 %, а в следующем году — на 25 %, конечный результат будет таким же, как и при постоянном темпе роста 50 %, поскольку среднее геометрическое 1,80 и 1,25 равно 1,50.) Чтобы определить средний темп роста, не обязательно на каждом шаге брать произведение измеренных темпов роста. Пусть величина задана в виде последовательности $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ , где $n$ — количество шагов от начального до конечного состояния. Скорость роста между последовательными измерениями $a_{k}$ и $a_{k+1}$ является $a_{k+1}/a_{k}$ . Тогда среднее геометрическое этих темпов роста составит:

\left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.

Применение к нормализованным значениям [ править ]

Фундаментальное свойство среднего геометрического, которое не справедливо ни для какого другого среднего, состоит в том, что для двух последовательностей $X$ и $Y$ одинаковой длины,

\operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}

Это делает среднее геометрическое единственным правильным средним значением при усреднении нормализованных результатов; то есть результаты, которые представлены как отношения к эталонным значениям. ^[6]Это имеет место при представлении производительности компьютера по сравнению с эталонным компьютером или при вычислении единого среднего индекса из нескольких разнородных источников (например, ожидаемой продолжительности жизни, лет образования и младенческой смертности). В этом сценарии использование среднего арифметического или гармонического приведет к изменению ранжирования результатов в зависимости от того, что используется в качестве эталона. Например, возьмем следующее сравнение времени выполнения компьютерных программ:

Таблица 1

	Компьютер А	Компьютер Б	Компьютер С
Программа 1	1	10	20
Программа 2	1000	100	20
Среднее арифметическое	500.5	55	20
Среднее геометрическое	31.622 . . .	31.622 . . .	20
Гармоническое среднее	1.998 . . .	18.182 . . .	20

Арифметические и геометрические средства «согласны» с тем, что компьютер C самый быстрый. Однако, представив соответствующим образом нормализованные значения и используя среднее арифметическое, мы можем показать, что любой из двух других компьютеров является самым быстрым. Нормализация по результату A дает A как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому:

Таблица 2

	Компьютер А	Компьютер Б	Компьютер С
Программа 1	1	10	20
Программа 2	1	0.1	0.02
Среднее арифметическое	1	5.05	10.01
Среднее геометрическое	1	1	0.632 . . .
Гармоническое среднее	1	0.198 . . .	0.039 . . .

в то время как нормализация по результату B дает B как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, а A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:

Таблица 3

	Компьютер А	Компьютер Б	Компьютер С
Программа 1	0.1	1	2
Программа 2	10	1	0.2
Среднее арифметическое	5.05	1	1.1
Среднее геометрическое	1	1	0.632
Гармоническое среднее	0.198 . . .	1	0.363 . . .

и нормализация по результату C дает C как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:

Таблица 4

	Компьютер А	Компьютер Б	Компьютер С
Программа 1	0.05	0.5	1
Программа 2	50	5	1
Среднее арифметическое	25.025	2.75	1
Среднее геометрическое	1.581 . . .	1.581 . . .	1
Гармоническое среднее	0.099 . . .	0.909 . . .	1

Во всех случаях рейтинг, определяемый средним геометрическим, остается таким же, как и рейтинг, полученный с ненормализованными значениями.

Однако это рассуждение было подвергнуто сомнению. ^[7]Получение последовательных результатов не всегда равнозначно предоставлению правильных результатов. В общем, более строго присвоить веса каждой программе, вычислить средневзвешенное время выполнения (используя среднее арифметическое), а затем нормализовать этот результат для одного из компьютеров. В трех приведенных выше таблицах каждой программе присвоен разный вес, что объясняет противоречивые результаты арифметических и гармонических средних (Таблица 4 дает одинаковый вес обеим программам, Таблица 2 дает вес 1/1000 второй программе, а в Таблице 3 вес 1/100 указан для второй программы и 1/10 для первой). По возможности следует избегать использования среднего геометрического значения для агрегирования показателей производительности, поскольку умножение времени выполнения не имеет физического смысла, в отличие от сложения времени, как в случае среднего арифметического. Метрики, обратно пропорциональные времени (ускорение, IPC ), следует усреднять с использованием гармонического среднего.

Среднее геометрическое может быть получено из обобщенного среднего как его предел как $p$ уходит в ноль. Аналогично это возможно и для взвешенного среднего геометрического.

Среднее геометрическое непрерывной функции [ править ]

Если $f:[a,b]\to (0,\infty )$ — положительная непрерывная действительная функция, ее среднее геометрическое на этом интервале равно

{\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)

Например, взяв тождественную функцию $f(x)=x$ на единичном интервале показывает, что среднее геометрическое положительных чисел от 0 до 1 равно ${\frac {1}{e}}$ .

Приложения [ править ]

Пропорциональный рост

Среднее геометрическое более подходит, чем среднее арифметическое, для описания пропорционального роста, как экспоненциального роста (постоянный пропорциональный рост), так и переменного роста; В бизнесе среднее геометрическое темпов роста известно как совокупный годовой темп роста (CAGR). Среднее геометрическое роста за периоды дает эквивалентный постоянный темп роста, который привел бы к той же конечной сумме.

Предположим, что апельсиновое дерево дает 100 апельсинов в год, а затем 180, 210 и 300 в последующие годы, поэтому рост составляет 80%, 16,6666% и 42,8571% для каждого года соответственно. Используя среднее арифметическое, вычисляется (линейный) средний рост в размере 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, затем эта сумма делится на 3). Однако если мы начнем со 100 апельсинов и позволим им расти на 46,5079% каждый год, в результате получится 314 апельсинов, а не 300, поэтому линейное среднее значение превышает годовой рост.

Вместо этого мы можем использовать среднее геометрическое. Рост на 80% соответствует умножению на 1,80, поэтому возьмем среднее геометрическое 1,80, 1,166666 и 1,428571, т.е. ${\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249$ ; таким образом, «средний» рост в год составляет 44,2249%. Если мы начнем со 100 апельсинов и позволим этому числу расти на 44,2249% каждый год, в результате получится 300 апельсинов.

Финансовый [ править ]

Среднее геометрическое время от времени использовалось для расчета финансовых индексов (усреднение проводится по компонентам индекса). Например, в прошлом индекс FT 30 использовал среднее геометрическое. ^[8] Он также используется при ИПЦ. расчете ^[9] и недавно введенный « RPIJ показатель инфляции » в Соединенном Королевстве и Европейском Союзе.

Это приводит к занижению изменений индекса по сравнению с использованием среднего арифметического значения. ^[8]

социальных науках в Приложения

Хотя среднее геометрическое использовалось относительно редко при расчете социальной статистики, начиная с 2010 года Индекс человеческого развития ООН перешел на этот способ расчета на том основании, что он лучше отражает незамещаемый характер собираемой и сравниваемой статистики:

Среднее геометрическое снижает уровень взаимозаменяемости между [сравниваемыми] измерениями и в то же время гарантирует, что 1-процентное снижение, скажем, ожидаемой продолжительности жизни при рождении окажет такое же влияние на ИЧР, как 1-процентное снижение образования или дохода. Таким образом, в качестве основы для сравнения достижений этот метод также более учитывает внутренние различия по измерениям, чем простое среднее значение. ^[10]

Не все значения, используемые для расчета ИЧР (Индекс человеческого развития) , нормализованы; некоторые из них вместо этого имеют форму $\left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)$ . Это делает выбор среднего геометрического менее очевидным, чем можно было бы ожидать из раздела «Свойства» выше.

Равномерно распределенный доход, эквивалентный благосостоянию, связанный с индексом Аткинсона с параметром неприятия неравенства, равным 1,0, представляет собой просто среднее геометрическое доходов. Для значений, отличных от единицы, эквивалентное значение представляет собой норму Lp, деленную на количество элементов, где p равно единице минус параметр неприятия неравенства.

Геометрия [ править ]

В случае прямоугольного треугольника его высота равна длине линии, идущей перпендикулярно от гипотенузы к его вершине, равной 90°. Представив, что эта линия делит гипотенузу на два сегмента, среднее геометрическое длин этих сегментов будет длиной высоты. Это свойство известно как теорема о среднем геометрическом .

В эллипсе малая полуось — это среднее геометрическое максимального и минимального расстояний эллипса от фокуса ; это также среднее геометрическое большой полуоси и полуширокой прямой кишки . Большая полуось эллипса — это среднее геометрическое расстояния от центра до любого фокуса и расстояния от центра до любой директрисы .

Другой способ подумать об этом заключается в следующем:

Рассмотрим круг радиусом $r$ . Теперь возьмите две диаметрально противоположные точки на окружности и примените давление с обоих концов, чтобы деформировать ее в эллипс с большой и малой полуосями длин. $a$ и $b$ .

Поскольку площади круга и эллипса остаются прежними, имеем:

${\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}\end{aligned}}$

Радиус круга — это среднее геометрическое большой и малой полуосей эллипса, образованного в результате деформации круга.

Расстояние до горизонта сферы эффекта (без учета атмосферной рефракции при наличии атмосферы) равно среднему геометрическому расстояния до ближайшей точки сферы и расстояния до самой дальней точки сферы.

Среднее геометрическое используется в обоих случаях в приближении квадратуры круга С.А. Рамануджана. ^[11] и в построении семиугольника со «средними пропорциональными». ^[12]

Соотношения сторон [ править ]

Среднее геометрическое использовалось при выборе компромиссного соотношения сторон в кино и видео: учитывая два соотношения сторон, среднее геометрическое из них обеспечивает компромисс между ними, искажая или обрезая оба в некотором смысле одинаково. Конкретно, два прямоугольника одинаковой площади (с одинаковым центром и параллельными сторонами) с разными соотношениями сторон пересекаются в прямоугольнике, соотношение сторон которого является средним геометрическим, а их оболочка (наименьший прямоугольник, который содержит оба из них) также имеет соотношение сторон их обоих. среднее геометрическое.

При выборе соотношения сторон 16:9 по SMPTE , балансируя 2,35 и 4:3, среднее геометрическое равно ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$ , и поэтому ${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$ ... был выбран. Это было обнаружено эмпирически Кернсом Пауэрсом, который вырезал прямоугольники с равными площадями и придал им форму, соответствующую каждому из популярных соотношений сторон. При перекрытии и выравнивании их центральных точек он обнаружил, что все эти прямоугольники с соотношением сторон помещаются во внешний прямоугольник с соотношением сторон 1,77:1, и все они также охватывают меньший общий внутренний прямоугольник с тем же соотношением сторон 1,77:1. ^[13] Значение, найденное Пауэрсом, является в точности средним геометрическим крайних соотношений сторон 4:3 (1,33:1) и CinemaScope (2,35:1), что по совпадению близко к ${\textstyle 16:9}$ ( ${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$ ). Промежуточные соотношения не влияют на результат, только два крайних соотношения.

Применение того же метода среднего геометрического к 16:9 и 4:3 примерно дает 14:9 ( ${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$ ...) соотношение сторон, которое также используется как компромисс между этими соотношениями. ^[14] В данном случае 14:9 — это в точности арифметическое среднее ${\textstyle 16:9}$ и ${\textstyle 4:3=12:9}$ , поскольку 14 — это среднее от 16 и 12, а точное среднее геометрическое равно ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ но два разных средних , арифметическое и геометрическое, примерно равны, поскольку оба числа достаточно близки друг к другу (разница менее 2%).

Форматы бумаги [ править ]

Среднее геометрическое также используется для расчета форматов бумаги серий B и C. $B_{n}$ формат имеет площадь, которая является средним геометрическим площадей $A_{n}$ и $A_{n-1}$ . Например, площадь листа B1 равна ${\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ , поскольку это среднее геометрическое площадей A0 ( $1\mathrm {m} ^{2}$ ) и А1 ( ${\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ ) бумага ( ${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ ).

Тот же принцип применим и к серии C, площадь которой равна среднему геометрическому серий A и B. Например, формат C4 имеет площадь, которая представляет собой среднее геометрическое площадей A4 и B4.

Преимущество этого соотношения заключается в том, что лист формата A4 помещается в конверт C4, и оба документа помещаются в конверт B4.

Другие приложения [ править ]

Спектральная плоскость : при обработке сигналов спектральная плоскость , мера того, насколько ровным или остроконечным является спектр, определяется как отношение среднего геометрического спектра мощности к его среднему арифметическому.
Антибликовые покрытия : В оптических покрытиях, где необходимо минимизировать отражение между двумя средами с показателями преломления n ₀ и n ₂ , оптимальный показатель преломления n ₁ антиотражающего покрытия определяется как среднее геометрическое: $n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}$ .
Субтрактивное смешивание цветов : кривая спектральной отражательной способности красок смесей (с одинаковой интенсивностью окрашивания , непрозрачностью и разбавлением ) представляет собой приблизительно среднее геометрическое индивидуальных кривых отражения красок, рассчитанных на каждой длине волны их спектров . ^[15]
Обработка изображений : Фильтр среднего геометрического используется в качестве фильтра шума при обработке изображений .
Оплата труда : Среднее геометрическое прожиточного минимума и рыночной стоимости труда, использующего капитал работодателя, было предложено в качестве естественной заработной платы Иоганном фон Тюненом в 1875 году. ^[16]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
Используя подобные треугольники , ХК / ГК = GC / OC ∴ HC = GC² / OC = HM .

Ссылки [ править ]

^ Мэтт Фрихауф, Микаэла Хертель, Хуан Лю и Стейси Луонг «О конструкциях циркуля и линейки: средства» (PDF) . ВАШИНГТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ. 2013 . Проверено 14 июня 2018 г.
^ «Евклид, книга VI, предложение 13» . Дэвид Э. Джойс, Университет Кларка. 2013 . Проверено 19 июля 2019 г.
^ «2.5: Среднее геометрическое» . Статистика LibreTexts . 20 апреля 2019 г. Проверено 16 августа 2021 г.
^ Кроули, Майкл Дж. (2005). Статистика: введение с использованием R . компании John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986 .
^ Митчелл, Дуглас В. (2004). «Подробнее о спредах и неарифметических средних». Математический вестник . 88 : 142–144. дои : 10.1017/S0025557200174534 . S2CID 168239991 .
^ Флеминг, Филип Дж.; Уоллес, Джон Дж. (1986). «Как не врать со статистикой: как правильно обобщить результаты тестов» . Коммуникации АКМ . 29 (3): 218–221. дои : 10.1145/5666.5673 . S2CID 1047380 .
^ Смит, Джеймс Э. (1988). «Характеристика производительности компьютера одним числом» . Коммуникации АКМ . 31 (10): 1202–1206. дои : 10.1145/63039.63043 . S2CID 10805363 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Роули, Эрик Э. (1987). Финансовая система сегодня . Издательство Манчестерского университета. ISBN 0719014875 .
^ «Измерение ценовой инфляции» (PDF) . Департамент правительственной актурии. Март 2017 года . Проверено 15 июля 2023 г. - через gov.uk.
^ «Часто задаваемые вопросы – Отчеты о человеческом развитии» . hdr.undp.org . Архивировано из оригинала 02 марта 2011 г.
^ Рамануджан, С. (1914). «Модульные уравнения и приближения к $π$ » (PDF) . Ежеквартальный математический журнал . 45 : 350–372.
^ Т. П. Стоуэлл. Отрывок из книги Лейборна по математике. Репозиторий, 1818 г. в The Analyst через Google Книги.
^ Перейти обратно: ^а ^б «ТЕХНИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ: Понимание соотношения сторон» (PDF) . Пресса CinemaSource. 2001. Архивировано (PDF) из оригинала 9 сентября 2009 г. Проверено 24 октября 2009 г.
^ США 5956091 , «Способ показа изображений 16:9 на дисплеях 4:3», выдан 21 сентября 1999 г.
^ МакЭвой, Брюс. «Атрибуты цветопередачи: измерение света и цвета» . Handprint.com/LS/CVS/color.html . Колориметрия. Архивировано из оригинала 14 июля 2019 г. Проверено 02 января 2020 г.
^ Генри Людвелл Мур (1895). Теория естественной заработной платы фон Тюнена . Г.Х. Эллис.

Внешние ссылки [ править ]

[5] Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
Используя подобные треугольники , ХК / ГК = GC / OC ∴ HC = GC² / OC = HM .

[1] Мэтт Фрихауф, Микаэла Хертель, Хуан Лю и Стейси Луонг «О конструкциях циркуля и линейки: средства» (PDF) . ВАШИНГТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ. 2013 . Проверено 14 июня 2018 г.

[2] «Евклид, книга VI, предложение 13» . Дэвид Э. Джойс, Университет Кларка. 2013 . Проверено 19 июля 2019 г.

[3] «2.5: Среднее геометрическое» . Статистика LibreTexts . 20 апреля 2019 г. Проверено 16 августа 2021 г.

[4] Кроули, Майкл Дж. (2005). Статистика: введение с использованием R . компании John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986 .

[6] Митчелл, Дуглас В. (2004). «Подробнее о спредах и неарифметических средних». Математический вестник . 88 : 142–144. дои : 10.1017/S0025557200174534 . S2CID 168239991 .

[7] Флеминг, Филип Дж.; Уоллес, Джон Дж. (1986). «Как не врать со статистикой: как правильно обобщить результаты тестов» . Коммуникации АКМ . 29 (3): 218–221. дои : 10.1145/5666.5673 . S2CID 1047380 .

[8] Смит, Джеймс Э. (1988). «Характеристика производительности компьютера одним числом» . Коммуникации АКМ . 31 (10): 1202–1206. дои : 10.1145/63039.63043 . S2CID 10805363 .

[Rowley_1987-9] Перейти обратно: ^а ^б Роули, Эрик Э. (1987). Финансовая система сегодня . Издательство Манчестерского университета. ISBN 0719014875 .

[gad-201703-10] «Измерение ценовой инфляции» (PDF) . Департамент правительственной актурии. Март 2017 года . Проверено 15 июля 2023 г. - через gov.uk.

[11] «Часто задаваемые вопросы – Отчеты о человеческом развитии» . hdr.undp.org . Архивировано из оригинала 02 марта 2011 г.

[12] Рамануджан, С. (1914). «Модульные уравнения и приближения к $π$ » (PDF) . Ежеквартальный математический журнал . 45 : 350–372.

[13] Т. П. Стоуэлл. Отрывок из книги Лейборна по математике. Репозиторий, 1818 г. в The Analyst через Google Книги.

[Cinemasource-14] Перейти обратно: ^а ^б «ТЕХНИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ: Понимание соотношения сторон» (PDF) . Пресса CinemaSource. 2001. Архивировано (PDF) из оригинала 9 сентября 2009 г. Проверено 24 октября 2009 г.

[15] США 5956091 , «Способ показа изображений 16:9 на дисплеях 4:3», выдан 21 сентября 1999 г.

[16] МакЭвой, Брюс. «Атрибуты цветопередачи: измерение света и цвета» . Handprint.com/LS/CVS/color.html . Колориметрия. Архивировано из оригинала 14 июля 2019 г. Проверено 02 января 2020 г.

[17] Генри Людвелл Мур (1895). Теория естественной заработной платы фон Тюнена . Г.Х. Эллис.

[1]

[2]

[3]

[4]

[примечание 1]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]