Логарифмическая шкала

Логарифмическая шкала (или логарифмическая шкала ) — это метод, используемый для отображения числовых данных, охватывающих широкий диапазон значений, особенно когда существуют значительные различия между величинами задействованных чисел.

В отличие от линейной шкалы , где каждая единица расстояния соответствует одному и тому же приращению, в логарифмической шкале каждая единица длины кратна некоторому базовому значению, возведенному в степень, и соответствует умножению предыдущего значения шкалы на базовое. ценить.

Логарифмическая шкала нелинейна , и поэтому числа с одинаковым расстоянием между ними, такие как 1, 2, 3, 4, 5, расположены не на одинаковом расстоянии. Равноотстоящие значения в логарифмическом масштабе имеют показатели степени, которые увеличиваются равномерно. Примеры равноотстоящих значений: 10, 100, 1000, 10000 и 100000 (т. е. 10^1, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5) и 2, 4, 8, 16 и 32. (т.е. 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5).

Кривые экспоненциального роста часто изображаются в логарифмическом масштабе, чтобы они не расширялись слишком быстро и не становились слишком большими, чтобы уместиться на небольшом графике .

Две логарифмические шкалы логарифмической линейки .

Обычное использование

Отметки на логарифмических линейках расположены в логарифмической шкале для умножения или деления чисел путем сложения или вычитания длин на шкале.

Ниже приведены примеры часто используемых логарифмических шкал, где большее количество приводит к более высокому значению:

Шкала магнитуд Рихтера и шкала моментной магнитуды (MMS) для определения силы землетрясений и движения Земли .

Уровень звука , в единицах децибел
Непер для величин амплитуды, поля и мощности
Уровень частоты с единицами измерения: цент , малая секунда , большая секунда и октава для относительной высоты нот в музыке.
Логит для коэффициентов в статистике
Шкала технической опасности Палермо
Логарифмическая шкала времени
Подсчет диафрагм для соотношения фотографической экспозиции
Правило девяток, используемое для оценки низких вероятностей.
Энтропия в термодинамике
Информация в теории информации
Кривые гранулометрического состава грунта

Карта Солнечной системы и расстояния до Альфы Центавра в логарифмическом масштабе.

Ниже приведены примеры часто используемых логарифмических шкал, где большее количество приводит к меньшему (или отрицательному) значению:

pH для кислотности
Шкала звездной величины для яркости звезд
Шкала Крумбейна для размера частиц в геологии
Поглощение света прозрачными образцами

Некоторые из наших чувств действуют логарифмически ( закон Вебера-Фехнера ), что делает логарифмические шкалы для этих входных величин особенно подходящими. В частности, наш слух воспринимает равные соотношения частот как равные различия в высоте звука. Кроме того, исследования маленьких детей в изолированном племени показали, что логарифмические шкалы являются наиболее естественным способом отображения чисел в некоторых культурах. ^[1]

Графическое представление

Верхний левый график линеен по осям X и Y, а ось Y находится в диапазоне от 0 до 10. Для оси Y нижнего левого графика используется логарифмическая шкала по основанию 10, а ось Y находится в диапазоне от 0,1 до 1000.

На верхнем правом графике используется шкала log-10 только для оси X, а на нижнем правом графике используется масштаб log-10 как для оси X, так и для оси Y.

Представление данных в логарифмическом масштабе может оказаться полезным, если данные:

охватывает большой диапазон значений, поскольку использование логарифмов значений, а не фактических значений, сокращает широкий диапазон до более управляемого размера;
может содержать экспоненциальные законы или степенные законы , поскольку они будут отображаться в виде прямых линий.

Логарифмическая линейка имеет логарифмическую шкалу, а номограммы часто используют логарифмическую шкалу. Среднее геометрическое двух чисел находится посередине между числами. До появления компьютерной графики логарифмическая миллиметровая бумага была широко используемым научным инструментом.

Логарифмические графики

Если и вертикальная, и горизонтальная оси графика масштабируются логарифмически, график называется логарифмическим .

Полулогарифмические графики

Если логарифмически масштабируется только ордината или абсцисса , график называется полулогарифмическим .

Расширения

Модифицированное логарифмическое преобразование может быть определено для отрицательных входных данных ( y <0), чтобы избежать сингулярности для нулевых входных данных ( y =0) и, таким образом, создавать симметричные логарифмические графики: ^[2]^[3]

Y=\operatorname {sgn}(y)\cdot \log _{10}(1+|y/C|)

для константы C =1/ln(10).

Логарифмические единицы

— Логарифмическая единица это единица , которую можно использовать для выражения величины ( физической или математической) в логарифмическом масштабе, то есть как пропорциональную значению логарифмической функции , применяемой к отношению величины и эталонной величины. того же типа. Выбор единицы измерения обычно указывает на тип величины и основание логарифма.

Примеры

Примеры логарифмических единиц включают единицы информации и информационной энтропии ( нат , шеннон , бан ) и уровня сигнала ( децибел , бел, непер ). Уровни частот или логарифмические частотные величины имеют различные единицы измерения, используемые в электронике ( декада , октава ) и для интервалов музыкальной высоты ( октава , полутон , цент и т. д.). Другие единицы логарифмической шкалы включают точку шкалы Рихтера .

Кроме того, некоторые промышленные меры являются логарифмическими, например, стандартные значения резисторов , американский калибр проволоки , бирмингемский калибр, используемый для проволоки и игл, и так далее.

Единицы информации

Единицы уровня или разницы уровней

Единицы уровня частоты

Таблица примеров

Единица	Основание логарифма	Базовое количество	Интерпретация
кусочек	2	количество возможных сообщений	количество информации
байт	$28 = 256$	количество возможных сообщений	количество информации
децибел	$10 (1/10) \approx 1.259$	любая величина мощности ( звуковая мощность например, )	уровень звуковой мощности (например)
децибел	$10 (1/20) \approx 1.122$	любая величина корневой мощности ( звуковое давление например, )	уровень звукового давления (например)
полутон	$2 (1/12) \approx 1.059$	частота звука	интервал тона

Два определения децибела эквивалентны, поскольку отношение величин мощности равно квадрату соответствующего отношения величин корневой степени . ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Александр Грэм Белл
График Боде
Среднее геометрическое (среднее арифметическое в логарифмическом масштабе)
Джон Нэпьер
Уровень (логарифмическая величина)
Логарифмический график
Логарифм
Среднее логарифмическое
Бревенчатое полукольцо
Предпочтительный номер
Полулогарифмический график

Шкала

Порядок величины

Приложения

Ссылки

^ «Смысл логарифмической линейки: культура коренных народов Амазонии демонстрирует универсальное отображение числа в пространстве» . ScienceDaily . 30 мая 2008 г. Проверено 31 мая 2008 г.
^ Уэббер, Дж. Бо В. (21 декабря 2012 г.). «Бисимметричное логарифмическое преобразование для данных широкого диапазона» (PDF) . Измерительная наука и технология . 24 (2). Издательство IOP: 027001. doi : 10.1088/0957-0233/24/2/027001 . ISSN 0957-0233 . S2CID 12007380 .
^ «Демо-версия символического журнала» . Документация Matplotlib 3.4.2 . 08.05.2021 . Проверено 22 июня 2021 г.

Дальнейшее чтение

Деэн, Станислас; Изар, Вероника; Спелке, Элизабет ; Пика, Пьер (2008). «Лограмма или линейная? Отличительные представления о числовой шкале в культурах коренных народов Запада и Амазонки» . Наука . 320 (5880): 1217–20. Бибкод : 2008Sci...320.1217D . дои : 10.1126/science.1156540 . ПМК 2610411 . ПМИД 18511690 .
Таффентсаммер, Карл; Шумахер, П. (1953). «Предпочтительные числа — таблица однозначных логарифмов инженера». Мастерская технологии и машиностроения (на немецком языке). 43 (4): 156.
Таффензаммер, Карл (1956). «Децилог, мост между логарифмами, децибелами, неперами и предпочтительными числами». Журнал VDI (на немецком языке). 98 :267-274.
Рис, Клеменс (1962). Стандартизация ( по предпочтительным числам на немецком языке) (1-е изд.). Берлин, Германия: Duncker & Humblot Verlag [ de ] . ISBN 978-3-42801242-8 . (135 страниц)
Полин, Евгений (1 сентября 2007 г.). Логарифмы, стандартные числа, децибелы, Непер, Фон - конечно родственные! [ Логарифмы, предпочтительные числа, децибелы, непер, фон - естественно связаны! ] (PDF) (на немецком языке). Архивировано (PDF) из оригинала 18 декабря 2016 г. Проверено 18 декабря 2016 г.

Внешние ссылки

«Руководство по GNU Emacs Calc: Логарифмические единицы» . Gnu.org . Проверено 23 ноября 2016 г.
Сайт неньютоновского исчисления

[1] «Смысл логарифмической линейки: культура коренных народов Амазонии демонстрирует универсальное отображение числа в пространстве» . ScienceDaily . 30 мая 2008 г. Проверено 31 мая 2008 г.

[Webber2012-2] Уэббер, Дж. Бо В. (21 декабря 2012 г.). «Бисимметричное логарифмическое преобразование для данных широкого диапазона» (PDF) . Измерительная наука и технология . 24 (2). Издательство IOP: 027001. doi : 10.1088/0957-0233/24/2/027001 . ISSN 0957-0233 . S2CID 12007380 .

[Matplotlib_3.4.2_documentation_2021-3] «Демо-версия символического журнала» . Документация Matplotlib 3.4.2 . 08.05.2021 . Проверено 22 июня 2021 г.

[1]

[2]

[3]