Бревенчатое полукольцо

В математике , в области тропического анализа , лог-полукольцо представляет собой полукольцевую структуру в логарифмическом масштабе , полученную путем рассмотрения расширенных действительных чисел как логарифмов . То есть операции сложения и умножения определяются путем сопряжения : возводят в степень действительные числа, получая положительное (или нулевое) число, складывают или умножают эти числа с помощью обычных алгебраических операций над действительными числами, а затем логарифмируют , чтобы обратить начальное возведение в степень. Такие операции известны также, например, как логарифмическое сложение и т. д. Как обычно в тропическом анализе, операции обозначаются ⊕ и ⊗, чтобы отличить их от обычного сложения + и умножения × (или ⋅). Эти операции зависят от выбора базы b для показателя степени и логарифма ( b — выбор логарифмической единицы ), которая соответствует масштабному коэффициенту, и четко определены для любой положительной базы, отличной от 1; использование базы b < 1 эквивалентно использованию отрицательного знака и использованию обратного 1/ b > 1 . Если не уточнено, основанием обычно считается e или 1/ e , что соответствует e с отрицательным знаком.

Логарифмическое полукольцо имеет тропическое полукольцо как предел (« тропикализация », «деквантование»), поскольку основание стремится к бесконечности. $b\to \infty$ ( макс-плюс полукольцо ) или в ноль $b\to 0$ ( мин-плюс полукольцо ), и, таким образом, его можно рассматривать как деформацию («квантование») тропического полукольца. Примечательно, что операцию сложения logadd (для нескольких терминов LogSumExp ) можно рассматривать как деформацию максимума или минимума . Логарифмическое полукольцо имеет применение в математической оптимизации , поскольку оно заменяет негладкие максимум и минимум плавной операцией. Логарифмическое полукольцо также возникает при работе с числами, которые являются логарифмами (измеренными в логарифмическом масштабе ), такими как децибелы (см. Децибел § Сложение ), логарифмическая вероятность или логарифмическое правдоподобие .

Определение

Операции над лог-полукольцом можно определить внешне, сопоставляя их с неотрицательными действительными числами, выполняя там операции и отображая их обратно. Неотрицательные действительные числа с обычными операциями сложения и умножения образуют полукольцо (нет отрицательных чисел), известное как вероятностное полукольцо , поэтому операции лог-полукольца можно рассматривать как обратные операции над вероятностным полукольцом, и эти изоморфны как кольца.

Формально, учитывая расширенные действительные числа R ∪ {–∞, +∞ } и основание b ≠ 1 , определяют:

${\begin{aligned}x\oplus _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}+b^{y}\right)\\x\otimes _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}\left(b^{x+y}\right)=x+y.\end{aligned}}$

Независимо от базы умножение журналов аналогично обычному сложению. $x\otimes _{b}y=x+y$, поскольку логарифмы умножают на сложение; однако добавление логов зависит от базы. Единицами обычного сложения и умножения являются 0 и 1; соответственно, единицей сложения журналов является $\log _{b}0=-\infty$ для $b>1$ и $\log _{b}0=-\log _{1/b}0=+\infty$ для $b<1$, а единицей логарифмического умножения является $\log 1=0$, независимо от базы.

Более кратко, единичное логарифмическое полукольцо можно определить для базы e как:

${\begin{aligned}x\oplus y&=\log \left(e^{x}+e^{y}\right)\\x\otimes y&=x+y.\end{aligned}}$

с аддитивной единицей −∞ и мультипликативной единицей 0; это соответствует максимальному соглашению.

Противоположное соглашение также распространено и соответствует основанию 1/ e , минимальному соглашению:

${\begin{aligned}x\oplus y&=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)\\x\otimes _{b}y&=x+y.\end{aligned}}$

с аддитивной единицей +∞ и мультипликативной единицей 0.

Свойства

Лог-полукольцо на самом деле является полуполем , поскольку все числа, кроме аддитивной единицы −∞ (или +∞ ), имеют мультипликативное обратное, определяемое формулой $-x,$ с $x\otimes -x=\log _{b}(b^{x}\cdot b^{-x})=\log _{b}(1)=0.$ Таким образом, логарифмическое деление ⊘ четко определено, хотя логарифмическое вычитание ⊖ не всегда определено.

Среднее значение можно определить путем сложения и деления логарифма (как среднее квазиарифметическое, соответствующее показателю степени), как

$M_{\mathrm {lm} }(x,y):=(x\oplus y)\oslash 2=\log _{b}{\bigl (}(b^{x}+b^{y})/2{\bigr )}=\log _{b}(b^{x}+b^{y})-\log _{b}2=(x\oplus y)-\log _{b}2.$

Это просто дополнение, сдвинутое на $-\log _{b}2,$ поскольку логарифмическое деление соответствует линейному вычитанию.

Лог-полукольцо имеет обычную евклидову метрику, соответствующую логарифмической шкале положительных действительных чисел .

Аналогично логарифмическое полукольцо имеет обычную меру Лебега , которая является инвариантной мерой относительно логумножения (обычного сложения, геометрического переноса) и соответствует логарифмической мере на вероятностном полукольце .

См. также

• Среднее логарифмическое
• ЛогСумЭксп
• Софтмакс

Ссылки

• Лотер, М. (2005). Прикладная комбинаторика к словам . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 105. Коллективная работа Жана Берстеля, Доминика Перрена, Максима Крошмора, Эрика Лапорта, Мехрияра Мори, Нади Пизанти, Мари-Франс Саго, Жезины Рейнерт , Софи Шбат , Михаэля Уотермана, Филиппа Жаке, Войцеха Шпанковского , Доминика Пулалона, Жиля Шеффера, Роман Колпаков, Григорий Кучеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-84802-4 . Збл   1133.68067 .