Среднее квазиарифметическое

В математике и статистике — среднее квазиарифметическое или обобщенное f -среднее или среднее Колмогорова-Нагумо-де Финетти. ^[1] является одним из обобщений более известных средств, таких как среднее арифметическое и среднее геометрическое , с использованием функции $f$ . Его также называют средним Колмогорова в честь советского математика Андрея Колмогорова . Это более широкое обобщение, чем обычное обобщенное среднее .

Определение [ править ]

Если f — функция, отображающая интервал $I$ действительной линии к действительным числам , и является одновременно непрерывным и инъективным , f -среднее $n$ цифры $x_{1},\dots ,x_{n}\in I$ определяется как $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$ , что также можно записать

M_{f}({\vec {x}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)

Мы требуем, чтобы f была инъективной, чтобы обратная функция $f^{-1}$ существовать. С $f$ определяется на интервале, ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ лежит в пределах области $f^{-1}$ .

Поскольку f инъективна и непрерывна, отсюда следует, что f — строго монотонная функция и, следовательно, f -среднее не превышает наибольшего числа кортежа $x$ не меньше наименьшего числа в $x$ .

Примеры [ править ]

Если $I=\mathbb {R}$ , реальная линия и $f(x)=x$ , (или вообще любая линейная функция $x\mapsto a\cdot x+b$ , $a$ не равно 0), то f -среднее соответствует среднему арифметическому .
Если $I=\mathbb {R} ^{+}$ , положительные действительные числа и $f(x)=\log(x)$ , то f -среднее соответствует среднему геометрическому . Согласно свойствам f -mean, результат не зависит от основания логарифма, если он положителен, а не равен 1.
Если $I=\mathbb {R} ^{+}$ и $f(x)={\frac {1}{x}}$ , то f -среднее соответствует гармоническому среднему .
Если $I=\mathbb {R} ^{+}$ и $f(x)=x^{p}$ , то f -среднее соответствует степенному среднему с показателем $p$ .
Если $I=\mathbb {R}$ и $f(x)=\exp(x)$ , то f -mean — это среднее значение в логарифмическом полукольце , которое представляет собой сдвинутую с константой версию функции LogSumExp (LSE) (которая представляет собой логарифмическую сумму), $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathrm {LSE} (x_{1},\dots ,x_{n})-\log(n)$ . $-\log(n)$ соответствует делению на $n$ , поскольку логарифмическое деление представляет собой линейное вычитание. Функция LogSumExp представляет собой плавный максимум : плавное приближение к функции максимума.

Свойства [ править ]

Следующие свойства справедливы для $M_{f}$ для любой отдельной функции $f$ :

Симметрия: значение $M_{f}$ не изменяется, если его аргументы переставлены.

Идемпотентность: для всех x , $M_{f}(x,\dots ,x)=x$ .

Монотонность : $M_{f}$ монотонно по каждому из своих аргументов (поскольку $f$ является монотонным ).

Непрерывность : $M_{f}$ непрерывен по каждому из своих аргументов (поскольку $f$ является непрерывным).

Замена : Подмножества элементов могут быть усреднены априори, без изменения среднего значения, при условии, что множественность элементов сохраняется. С $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ он содержит:

M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ times}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})

Разделение : вычисление среднего значения можно разделить на вычисления подблоков одинакового размера: $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))$

Самораспределение : для любого среднего квазиарифметического значения. $M$ двух переменных: $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$ .

Медиальность : для любого среднего квазиарифметического значения. $M$ двух переменных: $M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))$ .

Балансировка : для любого среднего квазиарифметического значения. $M$ двух переменных: $M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)$ .

Центральная предельная теорема : в условиях регулярности для достаточно большой выборки ${\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}$ примерно нормально. ^[2]Аналогичный результат доступен для средних Байрактаревича, которые являются обобщениями квазиарифметических средних. ^[3]

Масштабная инвариантность : среднее квазиарифметическое значение инвариантно относительно смещений и масштабирования $f$ : $\forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x\ M_{f}(x)=M_{g}(x)$ .

Характеристика [ править ]

Существует несколько различных наборов свойств, характеризующих среднее квазиарифметическое (т.е. каждая функция, удовлетворяющая этим свойствам, является f -средним для некоторой функции f ).

Медиальности по существу достаточно, чтобы охарактеризовать квазиарифметические средние. ^[4]^{: глава 17}
Самораспределения по существу достаточно для характеристики квазиарифметических средних. ^[4]^{: глава 17}
Замена : Колмогоров доказал, что пять свойств симметрии, неподвижной точки, монотонности, непрерывности и замены полностью характеризуют квазиарифметические средние. ^[5]
Балансировка . Интересная проблема заключается в том, подразумевает ли это условие (вместе со свойствами симметрии, фиксированной точки, монотонности и непрерывности) то, что среднее значение является квазиарифметическим. Георг Ауманн показал в 1930-х годах, что в целом ответ — «нет». ^[6] но это если дополнительно предположить $M$ если функция аналитическая , то ответ положительный. ^[7]

Однородность [ править ]

Средства обычно однородны , но для большинства функций $f$ , f -среднее нет.Действительно, единственными однородными квазиарифметическими средними являются степенные средние (включая среднее геометрическое ); см. Харди-Литтлвуд-Поля, стр. 68.

Свойство однородности может быть достигнуто путем нормализации входных значений некоторым (однородным) средним значением. $C$ .

M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)

Однако эта модификация может нарушить монотонность и свойство разделения среднего.

Обобщения [ править ]

Рассмотрим строго выпуклую функцию типа Лежандра $F$ . Тогда карта градиента $\nabla F$ является глобально обратимым, а взвешенное многомерное среднее квазиарифметическое ^[8] определяется $M_{\nabla F}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n};w)={\nabla F}^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\nabla F(\theta _{i})\right)$ , где $w$ — нормализованный весовой вектор ( $w_{i}={\frac {1}{n}}$ по умолчанию для сбалансированного среднего). Из выпуклой двойственности мы получаем двойственное среднее квазиарифметическое $M_{\nabla F^{*}}$ связанный со средним квазиарифметическим $M_{\nabla F}$ .Например, возьмите $F(X)=-\log \det(X)$ для $X$ симметричная положительно определенная матрица.Пара матричных квазиарифметических средних дает матричное гармоническое среднее: $M_{\nabla F}(\theta _{1},\theta _{2})=2(\theta _{1}^{-1}+\theta _{2}^{-1})^{-1}.$

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Нильсен, Франк; Нок, Ричард (июнь 2017 г.). «Обобщение косых расхождений Йенсена и расхождений Брегмана со сравнительной выпуклостью». Письма об обработке сигналов IEEE . 24 (8): 2. arXiv : 1702.04877 . Бибкод : 2017ISPL...24.1123N . дои : 10.1109/ЛСП.2017.2712195 . S2CID 31899023 .
^ де Карвальо, Мигель (2016). "Имеешь в виду, что ты имеешь в виду?" . Американский статистик . 70 (3): 764–776. дои : 10.1080/00031305.2016.1148632 . hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c . S2CID 219595024 .
^ Барчи М. и Бурай П. (2019). «Предельные теоремы для факторсредних Байрактаревича и Коши независимых одинаково распределенных случайных величин». arXiv : 1909.02968 [ мат.PR ].
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Ашель, Дж.; Домбрес, JG (1989). Функциональные уравнения с несколькими переменными. С приложениями к математике, теории информации, естественным и социальным наукам. Энциклопедия математики и ее приложений, 31 . Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать.
^ Грудкин, Антон (2019). «Характеристика среднего квазиарифметического» . Математический стек обмена .
^ Ауманн, Георг (1937). «Совершенные функциональные средства и определенные конические свойства». Журнал чистой и прикладной математики . 1937 (176): 49–55. дои : 10.1515/crll.1937.176.49 . S2CID 115392661 .
^ Ауманн, Георг (1934). «Основы теории аналитических средних». Отчеты о заседаниях Баварской академии наук : 45–81.
^ Нильсен, Франк (2023). «Помимо скалярных квазиарифметических средств: квазиарифметические средние и квазиарифметические смеси в информационной геометрии». arXiv : 2301.10980 [ cs.IT ].

Андрей Колмогоров (1930) «О понятии среднего», в «Математике и механике» (Kluwer 1991) - стр. 144–146.
Андрей Колмогоров (1930) Sur la notion de la moyenne. Случайные действия Нат. Линчеи 12, стр. 388–391.
Джон Бибби (1974) «Аксиоматизация среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей», Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, стр. 63–65.
Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э.; Полиа, Г. (1952) Неравенства. 2-е изд. Кембриджский университет. Пресс, Кембридж, 1952.
Б. Де Финетти, «О понятии медиа» , т. 1, с. 3, с. 36996, 1931, Итальянский институт актуариев.

[1] Нильсен, Франк; Нок, Ричард (июнь 2017 г.). «Обобщение косых расхождений Йенсена и расхождений Брегмана со сравнительной выпуклостью». Письма об обработке сигналов IEEE . 24 (8): 2. arXiv : 1702.04877 . Бибкод : 2017ISPL...24.1123N . дои : 10.1109/ЛСП.2017.2712195 . S2CID 31899023 .

[2] де Карвальо, Мигель (2016). "Имеешь в виду, что ты имеешь в виду?" . Американский статистик . 70 (3): 764–776. дои : 10.1080/00031305.2016.1148632 . hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c . S2CID 219595024 .

[3] Барчи М. и Бурай П. (2019). «Предельные теоремы для факторсредних Байрактаревича и Коши независимых одинаково распределенных случайных величин». arXiv : 1909.02968 [ мат.PR ].

[:0-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Ашель, Дж.; Домбрес, JG (1989). Функциональные уравнения с несколькими переменными. С приложениями к математике, теории информации, естественным и социальным наукам. Энциклопедия математики и ее приложений, 31 . Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать.

[5] Грудкин, Антон (2019). «Характеристика среднего квазиарифметического» . Математический стек обмена .

[6] Ауманн, Георг (1937). «Совершенные функциональные средства и определенные конические свойства». Журнал чистой и прикладной математики . 1937 (176): 49–55. дои : 10.1515/crll.1937.176.49 . S2CID 115392661 .

[7] Ауманн, Георг (1934). «Основы теории аналитических средних». Отчеты о заседаниях Баварской академии наук : 45–81.

[8] Нильсен, Франк (2023). «Помимо скалярных квазиарифметических средств: квазиарифметические средние и квазиарифметические смеси в информационной геометрии». arXiv : 2301.10980 [ cs.IT ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]