Обобщенное среднее

В математике обобщенные средства (или степенное среднее или среднее Гёльдера от Отто Гёльдера ) ^[1] — это семейство функций для агрегирования наборов чисел. К ним относятся в качестве особых случаев средства Пифагора ( арифметические , геометрические и гармонические средства ).

Определение

Если $p$ — ненулевое действительное число и $x_{1},\dots ,x_{n}$ являются положительными действительными числами, то обобщенное среднее или степенное среднее с показателем $p$ этих положительных действительных чисел равно ^[2]^[3]

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.$

(См. $р$ -норма ). Для $p = 0$ мы полагаем его равным среднему геометрическому (которое является пределом средних значений с показателями, приближающимися к нулю, как доказано ниже):

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.$

Кроме того, для последовательности положительных весов $wi мы$ определяем взвешенное среднее значение мощности как ^[2] $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}$ а когда $p = 0$ , оно равно взвешенному среднему геометрическому :

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.$

Невзвешенные средние соответствуют установке всех $w i = 1/n$ .

Особые случаи

Несколько конкретных значений $p$ дают особые случаи со своими именами: ^[4]

минимум: $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$
Наглядное изображение некоторых из указанных случаев для $n = 2$ с $a = x 1 = M \infty$ и $b = x 2 = M -\infty$ : среднее гармоническое, $H = M -1 (a, b)$ , среднее геометрическое, $G знак равно M 0 (а, б)$ среднее арифметическое, $A знак равно M 1 (а, б)$ среднее квадратичное, $Q знак равно M 2 (а, б)$ гармоническое среднее: $M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
среднее геометрическое $M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$
среднее арифметическое: $M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$
среднеквадратичный корень или среднее квадратичное ^[5]^[6]: $M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$
среднее кубическое: $M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}$
максимум: $M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$

Доказательство ${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$ (среднее геометрическое)

Для целей доказательства без ограничения общности будем считать, что $w_{i}\in [0,1]$ и $\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.$

Мы можем переписать определение $M_{p}$ используя показательную функцию как

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}$

В пределе $p \to 0$ мы можем применить правило Лопиталя к аргументу показательной функции. Мы предполагаем, что $p\in \mathbb {R}$ но $p \neq 0$ что сумма $wi и$ равна 1 (без ограничения общности); ^[7] Дифференцируя числитель и знаменатель по $p$ , имеем ${\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}$

Благодаря непрерывности экспоненциальной функции мы можем подставить обратно в приведенное выше соотношение и получить $\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})$ по желанию. ^[2]

Доказательство ${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$ и ${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

Предположим (возможно, после изменения обозначения и объединения терминов), что $x_{1}\geq \dots \geq x_{n}$ . Затем

${\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}$

Формула для $M_{-\infty }$ следует из $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.$

Характеристики

Позволять $x_{1},\dots ,x_{n}$ — последовательность положительных действительных чисел, то выполняются следующие свойства: ^[1]

$\min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})$ .
Каждое обобщенное среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим из $значений x$ .
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))$ , где $P$ является оператором перестановки.
Каждое обобщенное среднее является симметричной функцией своих аргументов; перестановка аргументов обобщенного среднего не меняет его значения.
$M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$ .
Как и большинство средств , обобщенное среднее является однородной функцией своих аргументов $x 1, ..., x n$ . То есть, если $b$ - положительное действительное число, то обобщенное среднее с показателем $p$ чисел $b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}$ равно $b$ умноженному на обобщенное среднее чисел $x 1, ..., x n$ .
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]$ .
Как и в случае с квазиарифметическими средними , вычисление среднего значения можно разделить на вычисления подблоков одинакового размера. Это позволяет использовать алгоритм «разделяй и властвуй» для расчета средних, когда это желательно.

Обобщенное среднее неравенство

В общем случае, если $p < q$ , то $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})$ и эти два средних значения равны тогда и только тогда, когда $x 1 = x 2 = ... = x n$ .

Неравенство справедливо для действительных значений $p$ и $q$ , а также положительных и отрицательных значений бесконечности.

Это следует из того, что для всех $p$ вещественных ${\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0$ что можно доказать с помощью неравенства Йенсена .

В частности, для $p$ в ${-1, 0, 1}$ обобщенное неравенство среднего влечет за собой неравенство Пифагора средних, а также неравенство средних арифметических и геометрических .

Доказательство весового неравенства

Мы докажем взвешенное степенное среднее неравенство. Для целей доказательства без ограничения общности примем следующее: ${\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}$

Доказательство для невзвешенных степенных средних можно легко получить, подставив $w i = 1/ n$ .

Эквивалентность неравенств между средними противоположных знаков

Предположим, что среднее между степенными средними значениями с показателями $p$ и $q$ имеет место: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$ применив это, тогда: $\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}$

Возведем обе части в степень −1 (строго убывающая функция в положительных числах): $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}$

Мы получаем неравенство для средних с показателями $- p$ и $- q$ , и мы можем использовать те же рассуждения в обратном порядке, доказывая таким образом эквивалентность неравенств, что будет использоваться в некоторых последующих доказательствах.

Среднее геометрическое

Для любого $q > 0$ и неотрицательных весов, сумма которых равна 1, справедливо следующее неравенство: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.$

Доказательство следует из неравенства Йенсена с использованием того факта, что логарифм вогнут: $\log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

Применяя показательную функцию к обеим частям и замечая, что она как строго возрастающая функция сохраняет знак неравенства, получаем $\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

Взяв $q$ -ю степень $x i,$ получим ${\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}$

мы покончили $Таким образом, с неравенством с положительным q$ ; случай для негативов идентичен, но для знаков, поменянных местами на последнем шаге:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.$

Конечно, возведение каждой части в степень отрицательного числа $-1/ q$ меняет направление неравенства.

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.$

Неравенство между любыми двумя степенями означает

Нам предстоит доказать, что для любого $p < q$ выполнено неравенство: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$ если $p$ отрицательно, а $q$ положительно, неравенство эквивалентно доказанному выше: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$

Доказательство для положительных $p$ и $q$ выглядит следующим образом: Определите следующую функцию: $f : R + \to R +$ $f(x)=x^{\frac {q}{p}}$ . $f$ — степенная функция, поэтому у нее есть вторая производная: $f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}$ который строго положителен в пределах области определения $f$ , поскольку $q > p$ , поэтому мы знаем, $что f$ выпукло.

Используя это и неравенство Дженсена, получаем: ${\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}$ возведя обе части в степень $1/ q$ (возрастающая функция, поскольку $1/ q$ положительна), мы получаем неравенство, которое нужно было доказать:

$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$

Используя ранее показанную эквивалентность, мы можем доказать неравенство для отрицательных $p$ и $q,$ заменив их на $-q$ и $-p$ соответственно.

Обобщенное f -среднее

Среднее значение мощности можно далее обобщить до обобщенного $f$ -среднего :

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$

Это охватывает среднее геометрическое без использования предела с $f (x) = log(x)$ . Среднее значение мощности получается для $f (x) = x п$ . Свойства этих средств изучены в работе де Карвальо (2016). ^[3]

Приложения

Обработка сигналов

Среднее значение мощности представляет собой нелинейное скользящее среднее , которое смещается в сторону малых значений сигнала для малого $p$ и подчеркивает большие значения сигнала для большого $p$ . Учитывая эффективную реализацию скользящего среднего арифметического, называемого smooth можно реализовать среднее значение движущейся силы в соответствии со следующим кодом Haskell .

powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

При больших $p$ он может служить детектором огибающей сигнала выпрямленного .
При малых $p$ он может служить детектором базовой линии масс -спектра .

См. также

Среднее арифметико-геометрическое
Средний
Героновское среднее
Неравенство средних арифметических и геометрических
Среднее Лемера - также среднее значение, связанное со степенями.
Расстояние Минковского
Среднее квазиарифметическое - другое название f-среднего. упомянутого выше обобщенного
Среднеквадратичное значение

Примечания

^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
Используя подобные треугольники , ⁠ HC / GC ⁠ = ⁠ GC / OC ⁠ ∴ HC = ⁠ GC² / OC ⁠ = HM .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Сикора, Станислав (2009). «Математические средства и средние: основные свойства». Библиотека Стэна . III . Кастано Примо, Италия: Библиотека Стэна. дои : 10.3247/SL3Math09.001 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с PS Буллен: Справочник по средним средствам и их неравенству . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, стр. 175–177.
^ Jump up to: ^а ^б де Карвалью, Мигель (2016). "Имеешь в виду, что ты имеешь в виду?" . Американский статистик . 70 (3): 764–776. дои : 10.1080/00031305.2016.1148632 . hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Средство силы» . Математический мир . (получено 17 августа 2019 г.)
^ Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще . Международное высшее образование Макмиллана. п. 185. ИСБН 9781349004874 . Проверено 5 июля 2020 г. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи . Рутледж. п. 48. ИСБН 9781351661386 . Проверено 5 июля 2020 г.
^ Справочник по средним и их неравенствам (Математика и ее приложения) .

Дальнейшее чтение

Буллен, PS (2003). «Глава III - Средства власти». Справочник по средним средствам и их неравенству . Дордрехт, Нидерланды: Клувер. стр. 175–265.

Внешние ссылки

Среднее степенное значение в MathWorld
Примеры обобщенного среднего
Доказательство обобщенного среднего значения на PlanetMath

[8] Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
Используя подобные треугольники , ⁠ HC / GC ⁠ = ⁠ GC / OC ⁠ ∴ HC = ⁠ GC² / OC ⁠ = HM .

[sykora-1] Jump up to: ^а ^б Сикора, Станислав (2009). «Математические средства и средние: основные свойства». Библиотека Стэна . III . Кастано Примо, Италия: Библиотека Стэна. дои : 10.3247/SL3Math09.001 .

[Bullen1-2] Jump up to: ^а ^б ^с PS Буллен: Справочник по средним средствам и их неравенству . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, стр. 175–177.

[dC2016-3] Jump up to: ^а ^б де Карвалью, Мигель (2016). "Имеешь в виду, что ты имеешь в виду?" . Американский статистик . 70 (3): 764–776. дои : 10.1080/00031305.2016.1148632 . hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .

[mw-4] Вайсштейн, Эрик В. «Средство силы» . Математический мир . (получено 17 августа 2019 г.)

[5] Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще . Международное высшее образование Макмиллана. п. 185. ИСБН 9781349004874 . Проверено 5 июля 2020 г. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[6] Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи . Рутледж. п. 48. ИСБН 9781351661386 . Проверено 5 июля 2020 г.

[7] Справочник по средним и их неравенствам (Математика и ее приложения) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[примечание 1]