Обобщенное среднее

График нескольких обобщенных средних $M_{p}(1,x)$.

В математике обобщенные средства (или степенное среднее или среднее Гёльдера от Отто Гёльдера ) — это семейство функций для агрегирования наборов чисел. К ним относятся в качестве особых случаев средства Пифагора ( арифметические , геометрические и гармонические средства ).

Определение

Если p — ненулевое действительное число и $x_{1},\dots ,x_{n}$ являются положительными действительными числами, то обобщенное среднее или степенное среднее с показателем p этих положительных действительных чисел равно

$$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.$$

(См. р -норма ). Для p = 0 мы полагаем его равным среднему геометрическому (которое является пределом средних значений с показателями, приближающимися к нулю, как доказано ниже):

$$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.$$

Кроме того, для последовательности положительных весов wi _мы определяем взвешенное среднее значение мощности как

$$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}$$

а когда p = 0 , оно равно взвешенному среднему геометрическому :

$$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.$$

Невзвешенные средние соответствуют установке всех w _i = 1/n .

Особые случаи

Несколько конкретных значений p дают особые случаи со своими именами:

минимум

$M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$

Наглядное изображение некоторых из указанных случаев для n = 2 с a = x ₁ = M _∞ и b = x ₂ = M _−∞ :

  среднее гармоническое, H = M ₋₁ ( a , b ) ,

  среднее геометрическое, G знак равно M ₀ ( а , б )

  среднее арифметическое, A знак равно M ₁ ( а , б )

  среднее квадратичное, Q знак равно M ₂ ( а , б )

гармоническое среднее

$M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$

среднее геометрическое $M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$

среднее арифметическое

$M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$

среднеквадратичный корень
или среднее квадратичное

$M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$

среднее кубическое

$M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}$

максимум

$M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$

Доказательство ${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$ (среднее геометрическое)

Для целей доказательства без ограничения общности будем считать, что

$$w_{i}\in [0,1]$$

и

$$\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.$$

Мы можем переписать определение $M_{p}$ используя показательную функцию как

$$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}$$

В пределе p → 0 мы можем применить правило Лопиталя к аргументу показательной функции. Мы предполагаем, что $p\in \mathbb {R}$ но p ≠ 0 что сумма wi _и равна 1 (без ограничения общности); Дифференцируя числитель и знаменатель по p , имеем

$${\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}$$

Благодаря непрерывности экспоненциальной функции мы можем подставить обратно в приведенное выше соотношение и получить

$$\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})$$

по желанию.

Доказательство ${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$ и ${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

Предположим (возможно, после изменения обозначения и объединения терминов), что $x_{1}\geq \dots \geq x_{n}$. Затем

$${\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}$$

Формула для $M_{-\infty }$ следует из

$$M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.$$

Свойства

Позволять $x_{1},\dots ,x_{n}$ — последовательность положительных действительных чисел, то выполняются следующие свойства:

1. $\min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})$.
   Каждое обобщенное среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим из значений x .
2. $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))$, где $P$ является оператором перестановки.
   Каждое обобщенное среднее является симметричной функцией своих аргументов; перестановка аргументов обобщенного среднего не меняет его значения.
3. $M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$.
   Как и большинство средств , обобщенное среднее является однородной функцией своих аргументов x ₁ , ..., x _n . То есть, если b - положительное действительное число, то обобщенное среднее с показателем p чисел $b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}$ равно b умноженному на обобщенное среднее чисел x ₁ , ..., x _n .
4. $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]$.
   Как и в случае с квазиарифметическими средними , вычисление среднего значения можно разделить на вычисления подблоков одинакового размера. Это позволяет использовать алгоритм «разделяй и властвуй» для расчета средних, когда это желательно.

неравенство

Геометрическое доказательство без слов , что max ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > гармоническое ( HM ) > min ( a , b ) среднее два различных положительных числа a и b

В общем случае, если p < q , то

$$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})$$

и эти два средних значения равны тогда и только тогда, когда x ₁ = x ₂ = ... = x _n .

Неравенство справедливо для действительных значений p и q , а также положительных и отрицательных значений бесконечности.

Это следует из того, что для всех p вещественных

$${\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0$$

что можно доказать с помощью неравенства Йенсена .

В частности, для p в {−1, 0, 1} обобщенное неравенство среднего влечет за собой неравенство Пифагора средних, а также неравенство средних арифметических и геометрических .

взвешенного

Мы докажем взвешенное степенное среднее неравенство. Для целей доказательства без ограничения общности примем следующее:

$${\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}$$

Доказательство для невзвешенных степенных средних можно легко получить, подставив w _i = 1/ n .

Эквивалентность неравенств между средними противоположных знаков

Предположим, что среднее между степенными средними значениями с показателями p и q имеет место:

$$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$$

применив это, тогда:

$$\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}$$

Возведем обе части в степень −1 (строго убывающая функция в положительных числах):

$$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}$$

Мы получаем неравенство для средних с показателями − p и − q , и мы можем использовать те же рассуждения в обратном порядке, доказывая таким образом эквивалентность неравенств, что будет использоваться в некоторых последующих доказательствах.

Среднее геометрическое

Для любого q > 0 и неотрицательных весов, сумма которых равна 1, справедливо следующее неравенство:

$$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.$$

Доказательство следует из неравенства Йенсена с использованием того факта, что логарифм вогнут:

$$\log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$$

Применяя показательную функцию к обеим частям и замечая, что она как строго возрастающая функция сохраняет знак неравенства, получаем

$$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$$

Взяв q -ю степень x _i, получим

$${\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}$$

мы покончили Таким образом, с неравенством с положительным q ; случай для негативов идентичен, но для знаков, поменянных местами на последнем шаге:

$$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.$$

Конечно, возведение каждой части в степень отрицательного числа -1/ q меняет направление неравенства.

$$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.$$

Неравенство между любыми двумя степенями означает

Нам предстоит доказать, что для любого p < q выполнено неравенство:

$$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$$

если p отрицательно, а q положительно, неравенство эквивалентно доказанному выше:

$$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$$

Доказательство для положительных p и q выглядит следующим образом: Определите следующую функцию: f : R ₊ → R ₊ $f(x)=x^{\frac {q}{p}}$. f — степенная функция, поэтому у нее есть вторая производная:

$$f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}$$

который строго положителен в пределах области определения f , поскольку q > p , поэтому мы знаем, что f выпукло.

Используя это и неравенство Дженсена, получаем:

$${\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}$$

возведя обе части в степень 1/ q (возрастающая функция, поскольку 1/ q положительна), мы получаем неравенство, которое нужно было доказать:

$$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$$

Используя ранее показанную эквивалентность, мы можем доказать неравенство для отрицательных p и q, заменив их на −q и −p соответственно.

Обобщенное f -среднее

Основная статья: Обобщенное f -среднее

Среднее значение мощности можно далее обобщить до обобщенного f -среднего :

$$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$$

Это охватывает среднее геометрическое без использования предела с f ( x ) = log( x ) . Среднее значение мощности получается для f ( x ) = x ^п . Свойства этих средств изучены в работе де Карвальо (2016).

Приложения

Обработка сигналов

Среднее значение мощности представляет собой нелинейное скользящее среднее , которое смещается в сторону малых значений сигнала для малого p и подчеркивает большие значения сигнала для большого p . Учитывая эффективную реализацию скользящего среднего арифметического, называемого smooth можно реализовать среднее значение движущейся силы в соответствии со следующим кодом Haskell .

powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

• При больших p он может служить детектором огибающей сигнала выпрямленного .
• При малых p он может служить детектором базовой линии масс -спектра .

См. также

• Среднее арифметико-геометрическое
• Средний
• Героновское среднее
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Среднее Лемера - также среднее значение, связанное со степенями.
• Расстояние Минковского
• Среднее квазиарифметическое - другое название f-среднего. упомянутого выше обобщенного
• Среднеквадратичное значение

Дальнейшее чтение

• Буллен, PS (2003). «Глава III - Средства власти». Справочник по средним средствам и их неравенству . Дордрехт, Нидерланды: Клувер. стр. 175–265.

Внешние ссылки

• Среднее степенное значение в MathWorld
• Примеры обобщенного среднего
• Доказательство обобщенного среднего значения на PlanetMath