Расстояние Минковского

Расстояние Минковского или метрика Минковского — это метрика в нормированном векторном пространстве , которую можно рассматривать как обобщение как евклидова расстояния , так и манхэттенского расстояния . Он назван в честь польского математика Германа Минковского .

Определение [ править ]

Расстояние порядка Минковского $p$ (где $p$ целое число) между двумя точками

X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{ and }}Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}

определяется как:

D\left(X,Y\right)={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.

Для $p\geq 1,$ Расстояние Минковского является метрикой в результате неравенства Минковского . Когда $p<1,$ расстояние между $(0,0)$ и $(1,1)$ является $2^{1/p}>2,$ но суть $(0,1)$ находится на расстоянии $1$ с обеих этих точек. Поскольку это нарушает неравенство треугольника , для $p<1$ это не показатель. Однако для этих значений можно получить метрику, просто удалив показатель степени $1/p.$ Полученная метрика также является F-нормой .

Расстояние Минковского обычно используется с $p$ равны 1 или 2, что соответствует манхэттенскому расстоянию и евклидову расстоянию соответственно. В предельном случае $p$ достигая бесконечности, получаем расстояние Чебышева :

\lim _{p\to \infty }{{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.

Аналогично, для $p$ достигая отрицательной бесконечности, имеем:

\lim _{p\to -\infty }{{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.

Расстояние Минковского также можно рассматривать как кратное степенному среднему компонентным различиям между $P$ и $Q.$

На следующем рисунке показаны единичные круги ( набор уровней функции расстояния, где все точки находятся на единичном расстоянии от центра) с различными значениями $p$ :

Приложения [ править ]

Метрика Минковского очень полезна в области машинного обучения и искусственного интеллекта . Многие популярные алгоритмы машинного обучения используют определенные метрики расстояния, такие как вышеупомянутые, для сравнения сходства двух точек данных. В зависимости от характера анализируемых данных могут использоваться различные метрики. Метрика Минковского наиболее полезна для числовых наборов данных, в которых вы хотите определить сходство размеров между несколькими векторами точек данных.

См. также [ править ]

Обобщенное среднее - корень N-й степени из среднего арифметического заданных чисел, возведенный в степень n.
$L^{p}$ пространство - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.
Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
$p$ -norm – функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства p-нормы.

Внешние ссылки [ править ]