F-пространство

Для F-пространств в общей топологии см. субстоново пространство .

В функциональном анализе F -пространство — это векторное пространство. $X$ над действительными или комплексными числами вместе с метрикой $d:X\times X\to \mathbb {R}$ такой, что

1. Скалярное умножение в $X$ является непрерывным относительно $d$ и стандартная метрика на $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} .$
2. Дополнение в $X$ является непрерывным относительно $d.$
3. Метрика является трансляционно-инвариантной ; то есть, $d(x+a,y+a)=d(x,y)$ для всех $x,y,a\in X.$
4. Метрическое пространство $(X,d)$ завершен ​ .

Операция $x\mapsto \|x\|:=d(0,x)$ называется F-нормой , хотя, вообще говоря, F-норма не обязана быть однородной. Благодаря трансляционной инвариантности метрика восстанавливается по F-норме. Таким образом, вещественное или комплексное F-пространство эквивалентно вещественному или комплексному векторному пространству, снабженному полной F-нормой.

Некоторые авторы используют термин пространство Фреше , а не F-пространство , но обычно термин «пространство Фреше» зарезервирован для локально выпуклых F-пространств. Некоторые другие авторы используют термин «F-пространство» как синоним «пространства Фреше», под которым они подразумевают локально выпуклое полное метризуемое топологическое векторное пространство . Метрика может или не обязательно быть частью структуры F-пространства; многие авторы требуют лишь, чтобы такое пространство было метризуемым способом, удовлетворяющим указанным выше свойствам.

Примеры

Все банаховые пространства и пространства Фреше являются F-пространствами. В частности, банахово пространство — это F-пространство с дополнительным требованием: $d(ax,0)=|a|d(x,0).$

Л ​ ^п пространства можно превратить в F-пространства для всех $p\geq 0$ и для $p\geq 1$ их можно превратить в локально выпуклые и, следовательно, пространства Фреше и даже банаховые пространства.

Пример 1

$L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]$ является F-пространством. Он не допускает непрерывных полунорм и непрерывных линейных функционалов — он имеет тривиальное двойственное пространство .

Пример 2

Позволять $W_{p}(\mathbb {D} )$ быть пространством всех комплексных рядов Тейлора $$f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$$на диске устройства $\mathbb {D}$ такой, что $$\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty$$тогда для $0<p<1,$ $W_{p}(\mathbb {D} )$ являются F-пространствами по p-норме : $$\|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).$$

Фактически, $W_{p}$ является квазибанаховой алгеброй . Более того, для любого $\zeta$ с $|\zeta |\leq 1$ карта $f\mapsto f(\zeta )$ является ограниченным линейным (мультипликативным функционалом) на $W_{p}(\mathbb {D} ).$

Достаточные условия

Теорема  (Клее (1952)) — Пусть $d$ быть любым метрика в векторном пространстве $X$ такая, что топология $\tau$ вызванный $d$ на $X$ делает $(X,\tau )$ в топологическое векторное пространство. Если $(X,d)$ является полным метрическим пространством, то $(X,\tau )$ является полным топологическим векторным пространством .

Связанные свойства

Теорема об открытом отображении означает, что если $\tau {\text{ and }}\tau _{2}$ топологии на $X$ это делает обоих $(X,\tau )$ и $\left(X,\tau _{2}\right)$ на полные метризуемые топологические векторные пространства (например, банаховые пространства или пространства Фреше ) и если одна топология тоньше или грубее другой, то они должны быть равны (т. е. если $\tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}$).

• Линейное почти непрерывное отображение в F-пространство, график которого замкнут, является непрерывным.
• Линейное почти открытое отображение в F-пространство, график которого замкнут, обязательно является открытым отображением .
• Линейное непрерывное почти открытое отображение F-пространства обязательно является открытым отображением .
• Линейное непрерывное почти открытое отображение из F-пространства, образ которого имеет вторую категорию в кодобласти, обязательно является сюръективным открытым отображением .

См. также

• Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.
• Бочковое пространство — тип топологического векторного пространства. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Счётное квазибочковое пространство
• Полное метрическое пространство - Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
• DF-пространство - класс специального локально-выпуклого пространства. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Пространство Фреше - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Гильбертово пространство - тип топологического векторного пространства.
• K-пространство (функциональный анализ)
• LB-пространство
• LF-пространство - Топологическое векторное пространство.
• Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Ядерное пространство - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Проективное тензорное произведение – тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Источники

• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Вальтер (1966). Реальный и комплексный анализ . МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-054234-1 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .