Счетное пространство

В функциональном анализе топологическое векторное пространство (TVS) называется счетнобочечным, если каждое слабо ограниченное счетное объединение эквинепрерывных подмножеств его непрерывного двойственного пространства снова эквинепрерывно. Это свойство является обобщением бочкообразных пространств .

Определение

TVS X с непрерывным двойным пространством $X^{\prime }$ называется счетнобочечной, если $B^{\prime }\subseteq X^{\prime }$ является слабо* ограниченным подмножеством $X^{\prime }$ равное счетному объединению равнонепрерывных подмножеств $X^{\prime }$, затем $B^{\prime }$ само по себе равнонепрерывно. Хаусдорфова , локально выпуклая TVS является счетнобочечной тогда и только тогда, когда каждая бочка в X равная счетному пересечению замкнутых выпуклых сбалансированных окрестностей 0, сама является окрестностью 0.

σ-бочковое пространство

TVS с непрерывным двойным пространством $X^{\prime }$ называется σ-бочечной , если каждая слабо ограниченная (счетная) последовательность из $X^{\prime }$ является равнонепрерывным.

Последовательно ствольное пространство

TVS с непрерывным двойным пространством $X^{\prime }$ называется последовательно-бочечной, если каждая слабо* сходящаяся последовательность в $X^{\prime }$ является равнонепрерывным.

Характеристики

Каждое счетно-бочечное пространство является счетно-квазибочечным пространством , σ-квазибочечным пространством , σ-квазибочечным пространством и секвенциально-бочечным пространством . H -пространство — это TVS, сильное двойственное пространство которого имеет счетную структуру.

Каждое счетно-бочечное пространство является σ-бочечным пространством, а каждое σ-бочечное пространство является последовательно-бочечным. Каждое σ-бочечное пространство является σ-квазибочечным пространством .

Локально выпуклое квазибочечное пространство , которое также является 𝜎-бочечным пространством, является бочоночным пространством .

Примеры и достаточные условия

Каждое бочечное пространство является счетно бочечным. Однако существуют полурефлексивные счетнобочечные пространства, которые не являются бочоночными. Сильный двойник выделенного пространства и метризуемого локально выпуклого пространства является счетнобочечным.

Контрпримеры

Существуют σ-бочечные пространства, которые не являются счетнобочечными. Существуют нормированные DF-пространства , не являющиеся счетнобочечными. Существует квазибочечное пространство , которое не является 𝜎-бочоночным пространством. Существуют σ-бочечные пространства, не являющиеся пространствами Макки . Существуют σ-бочечные пространства, которые не являются счетно-квазибочечными пространствами и, следовательно, не являются счетно-бочечными. Существуют секвенциально-бочечные пространства, которые не являются σ-квазибочечными. Существуют квазиполные локально выпуклые ТВС, не имеющие последовательной бочкообразной структуры.

См. также

• Бочковое пространство
• H-пространство
• Квазибочковое пространство

Ссылки

• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .