Сублинейная функция

В линейной алгебре — сублинейная функция (или функционал , как чаще используется в функциональном анализе ), также называемая квазиполунормой или банаховым функционалом , в векторном пространстве. $X$ является вещественной обладающей функцией, лишь некоторыми свойствами полунормы . В отличие от полунорм, сублинейная функция не обязательно должна быть неотрицательной , а также не обязана быть абсолютно однородной . Полунормы сами по себе являются абстракцией более известного понятия нормы , где полунорма обладает всеми определяющими свойствами нормы, за исключением того, что не требуется отображать ненулевые векторы в ненулевые значения.

В функциональном анализе название «банахов функционал» иногда используется , что отражает то, что они чаще всего используются при применении общей формулировки теоремы Хана-Банаха . Понятие сублинейной функции было введено Стефаном Банахом , когда он доказал свою версию теоремы Хана-Банаха .

есть еще одно понятие В информатике , описанное ниже, которое также называется «сублинейная функция».

Определения

Позволять $X$ быть векторным пространством над полем $\mathbb {K} ,$ где $\mathbb {K}$ это либо действительные числа $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$ Действительнозначная функция $p:X\to \mathbb {R}$ на $X$ называется сублинейная функция (или сублинейный функционал , если $\mathbb {K} =\mathbb {R}$), а также иногда называемый квазиполунорма или Банахов функционал , если он обладает этими двумя свойствами:

1. Положительная однородность / Неотрицательная однородность : $p(rx)=rp(x)$ для всех реально $r\geq 0$ и все $x\in X.$
   • Это условие выполняется тогда и только тогда, когда $p(rx)\leq rp(x)$ за все позитивное настоящее $r>0$ и все $x\in X.$
2. Субаддитивность / неравенство треугольника : $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ для всех $x,y\in X.$
   • Это условие субаддитивности требует $p$ быть реальной стоимостью.

Функция $p:X\to \mathbb {R}$ называется позитивный или неотрицательный, если $p(x)\geq 0$ для всех $x\in X,$ хотя некоторые авторы определять позитивный вместо этого означает, что $p(x)\neq 0$ в любое время $x\neq 0;$ эти определения не эквивалентны. Это симметричная функция, если $p(-x)=p(x)$ для всех $x\in X.$ Любая субаддитивная симметрическая функция обязательно неотрицательна. Сублинейная функция в вещественном векторном пространстве симметрична тогда и только тогда, когда она является полунормой . Сублинейная функция в вещественном или комплексном векторном пространстве является полунормой тогда и только тогда, когда она является сбалансированной функцией или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $p(ux)\leq p(x)$ для каждой длины единицы скаляра $u$ (удовлетворительный $|u|=1$) и каждый $x\in X.$

Множество всех сублинейных функций на $X,$ обозначается $X^{\#},$ можно частично заказать, объявив $p\leq q$ тогда и только тогда, когда $p(x)\leq q(x)$ для всех $x\in X.$ Сублинейная функция называется минимальной, если она является минимальным элементом $X^{\#}$ под этот приказ. Сублинейная функция минимальна тогда и только тогда, когда она является вещественным линейным функционалом .

Примеры и достаточные условия

Каждая норма , полунорма и вещественный линейный функционал являются сублинейными функциями. Функция идентификации $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ на $X:=\mathbb {R}$ является примером сублинейной функции (фактически это даже линейный функционал), которая не является ни положительной, ни полунормой; то же самое относится и к отрицанию этой карты $x\mapsto -x.$ В более общем смысле для любого реального $a\leq b,$ карта

$${\begin{alignedat}{4}S_{a,b}:\;&&\mathbb {R} &&\;\to \;&\mathbb {R} \\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&{\begin{cases}ax&{\text{ if }}x\leq 0\\bx&{\text{ if }}x\geq 0\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}$$

является сублинейной функцией на $X:=\mathbb {R}$ и более того, каждая сублинейная функция $p:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ имеет такую ​​форму; в частности, если $a:=-p(-1)$ и $b:=p(1)$ затем $a\leq b$ и $p=S_{a,b}.$

Если $p$ и $q$ являются сублинейными функциями в действительном векторном пространстве. $X$ тогда и карта тоже $x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.$ В более общем смысле, если ${\mathcal {P}}$ — это любой непустой набор сублинейных функционалов в вещественном векторном пространстве. $X$ и если для всех $x\in X,$ $q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal {P}}\},$ затем $q$ является сублинейным функционалом на $X.$

Функция $p:X\to \mathbb {R}$ который является субаддитивным , выпуклым и удовлетворяет $p(0)\leq 0$ также положительно однороден (последнее условие $p(0)\leq 0$ необходимо как пример $p(x):={\sqrt {x^{2}+1}}$ на $X:=\mathbb {R}$ шоу). Если $p$ положительно однороден, он выпуклый тогда и только тогда, когда он субаддитивен. Следовательно, предполагая $p(0)\leq 0$, любые два свойства среди субаддитивности, выпуклости и положительной однородности влекут за собой третье.

Свойства

Любая сублинейная функция является выпуклой функцией : для $0\leq t\leq 1,$

$${\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}$$

Если $p:X\to \mathbb {R}$ является сублинейной функцией в векторном пространстве $X$ затем

$$p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),$$

для каждого $x\in X,$ что означает, что хотя бы один из $p(x)$ и $p(-x)$ должно быть неотрицательным; то есть для каждого $x\in X,$

$$0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.$$

Более того, когда $p:X\to \mathbb {R}$ является сублинейной функцией в реальном векторном пространстве, то отображение $q:X\to \mathbb {R}$ определяется $q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}$ является полунормой.

Субаддитивность $p:X\to \mathbb {R}$ гарантирует, что для всех векторов $x,y\in X,$

$$p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),$$

$$-p(x)~\leq ~p(-x),$$

так что если $p$ также симметричен , то обратное неравенство треугольника будет выполняться для всех векторов $x,y\in X,$

$$|p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).$$

Определение $\ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),$ то субаддитивность также гарантирует, что для всех $x\in X,$ ценность $p$ на съемочной площадке $x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}$ постоянна и равна $p(x).$ В частности, если $\ker p=p^{-1}(0)$ является векторным подпространством $X$ затем $-\ker p=\ker p$ и задание $x+\ker p\mapsto p(x),$ который будет обозначаться ${\hat {p}},$ является четко определенной сублинейной функцией с действительным знаком в факторпространстве $X\,/\,\ker p$ это удовлетворяет ${\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.$ Если $p$ тогда это полунорма ${\hat {p}}$ это обычная каноническая норма в факторпространстве $X\,/\,\ker p.$

Лемма Прайса о сублинейности - Предполагать $p:X\to \mathbb {R}$ является сублинейным функционалом в векторном пространстве $X$ и это $K\subseteq X$ является непустым выпуклым подмножеством. Если $x\in X$ является вектором и $a,c>0$ положительные действительные числа такие, что

$$p(x)+ac~<~\inf _{k\in K}p(x+ak)$$

тогда для каждого положительного реального $b>0$ существует какой-то $\mathbf {z} \in K$ такой, что

$$p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{k\in K}p(x+a\mathbf {z} +bk).$$

Добавление $bc$ обеим сторонам гипотезы ${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$ (где $p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}$) и объединение этого с выводом дает

$$p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)$$

что приводит к гораздо большему количеству неравенств, включая, например,

$$p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )$$

в котором выражение одной стороны строгого неравенства $\,<\,$ можно получить из другого, заменив символ $c$ с $\mathbf {z}$ (или наоборот) и перемещение закрывающей скобки вправо (или влево) от соседнего слагаемого (все остальные символы остаются фиксированными и неизменными).

Соответствующая полунорма

Если $p:X\to \mathbb {R}$ - сублинейная функция с действительным знаком в действительном векторном пространстве. $X$ (или если $X$ является комплексным, то, если его рассматривать как реальное векторное пространство), то отображение $q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}$ определяет полунорму в действительном векторном пространстве $X$ называется полунормой, связанной с $p.$ Сублинейная функция $p$ в вещественном или комплексном векторном пространстве является симметричной функцией тогда и только тогда, когда $p=q$ где $q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}$ как раньше.

В более общем смысле, если $p:X\to \mathbb {R}$ - сублинейная функция с действительным знаком в (действительном или комплексном) векторном пространстве. $X$ затем

$$q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{|u|=1}p(ux)~=~\sup\{p(ux):u{\text{ is a unit scalar }}\}$$

определит полунорму на $X$ если эта верхняя грань всегда является действительным числом (т. е. никогда не равна $\infty$).

Связь с линейными функционалами

Если $p$ является сублинейной функцией в действительном векторном пространстве. $X$ то следующие условия эквивалентны:

1. $p$ является линейным функционалом .
2. для каждого $x\in X,$ $p(x)+p(-x)\leq 0.$
3. для каждого $x\in X,$ $p(x)+p(-x)=0.$
4. $p$ — минимальная сублинейная функция.

Если $p$ является сублинейной функцией в действительном векторном пространстве. $X$ то существует линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f\leq p.$

Если $X$ является реальным векторным пространством, $f$ является линейным функционалом от $X,$ и $p$ является положительной сублинейной функцией на $X,$ затем $f\leq p$ на $X$ тогда и только тогда, когда $f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .$

Доминирование линейного функционала

Действительнозначная функция $f$ определенный на подмножестве вещественного или комплексного векторного пространства $X$ говорят, что доминирует сублинейная функция $p$ если $f(x)\leq p(x)$ для каждого $x$ который принадлежит области $f.$ Если $f:X\to \mathbb {R}$ является действительным линейным функционалом на $X$ затем $f$ преобладает $p$ (то есть, $f\leq p$) тогда и только тогда, когда

$$-p(-x)\leq f(x)\leq p(x)\quad {\text{ for every }}x\in X.$$

Более того, если $p$ является полунормой или каким-либо другим симметричным отображением (что по определению означает, что $p(-x)=p(x)$ держится для всех $x$) затем $f\leq p$ тогда и только тогда, когда $|f|\leq p.$

Теорема - Если $p:X\to \mathbb {R}$ быть сублинейной функцией в действительном векторном пространстве $X$ и если $z\in X$ то существует линейный функционал $f$ на $X$ в котором преобладает $p$ (то есть, $f\leq p$) и удовлетворяет $f(z)=p(z).$ Более того, если $X$ является топологическим векторным пространством и $p$ непрерывен в начале координат, тогда $f$ является непрерывным.

Преемственность

Теорема - Предполагать $f:X\to \mathbb {R}$ является субаддитивной функцией (т. е. $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ для всех $x,y\in X$). Затем $f$ непрерывно в начале координат тогда и только тогда, когда $f$ равномерно непрерывен на $X.$ Если $f$ удовлетворяет $f(0)=0$ затем $f$ является непрерывным тогда и только тогда, когда его абсолютное значение $|f|:X\to [0,\infty )$ является непрерывным. Если $f$ неотрицательен, то $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда $\{x\in X:f(x)<1\}$ открыт в $X.$

Предполагать $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) над действительными или комплексными числами и $p$ является сублинейной функцией на $X.$ Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $p$ является непрерывным;
2. $p$ является непрерывным в 0;
3. $p$ равномерно непрерывен на $X$;

и если $p$ положителен, то этот список можно расширить, включив в него:

4. $\{x\in X:p(x)<1\}$ открыт в $X.$

Если $X$ это настоящий ТВС, $f$ является линейным функционалом от $X,$ и $p$ является непрерывной сублинейной функцией на $X,$ затем $f\leq p$ на $X$ подразумевает, что $f$ является непрерывным.

с функциями Минковского и открытыми

Теорема - Если $U$ - выпуклая открытая окрестность начала координат в топологическом векторном пространстве. $X$ то Минковского функционал $U,$ $p_{U}:X\to [0,\infty ),$ — непрерывная неотрицательная сублинейная функция на $X$ такой, что $U=\left\{x\in X:p_{U}(x)<1\right\};$ если вдобавок $U$ это сбалансированный набор тогда $p_{U}$ является полунормой по $X.$

Связь с открытыми выпуклыми множествами

Теорема — Предположим, что $X$ является топологическим векторным пространством (не обязательно локально выпуклым или Хаусдорфовым ) над действительными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества $X$ это именно те, которые имеют вид

$$z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}$$

для некоторых $z\in X$ и некоторая положительная непрерывная сублинейная функция $p$ на $X.$

Доказательство

Позволять $V$ быть открытым выпуклым подмножеством $X.$ Если $0\in V$ тогда пусть $z:=0$ а иначе пусть $z\in V$ быть произвольным. Позволять $p:X\to [0,\infty )$ быть Минковского функционалом $V-z,$ которая является непрерывной сублинейной функцией на $X$ с $V-z$ выпуклая, поглощающая и открытая ( $p$ однако это не обязательно полунорма, поскольку $V$ не считалось сбалансированным ) . От $X=X-z,$ отсюда следует, что

$$z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}.$$

Будет показано, что $V=z+\{x\in X:p(x)<1\},$ что завершит доказательство.Одно из известных свойств функционалов Минковского гарантирует ${\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}=(0,1)(V-z),}$ где $(0,1)(V-z)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{tx:0<t<1,x\in V-z\}=V-z$ с $V-z$ выпукло и содержит начало координат. Таким образом $V-z=\{x\in X:p(x)<1\},$ по желанию. $\blacksquare$

Операторы

Эту концепцию можно распространить на однородные и субаддитивные операторы. Для этого требуется только, чтобы кодомен был, скажем, упорядоченным векторным пространством , чтобы условия были понятны.

Определение информатики

В информатике функция $f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R}$ называется сублинейным, если $\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,$ или $f(n)\in o(n)$ в асимптотических обозначениях (обратите внимание на небольшую $o$). Формально, $f(n)\in o(n)$ тогда и только тогда, когда для любого данного $c>0,$ существует $N$ такой, что $f(n)<cn$ для $n\geq N.$То есть, $f$ растет медленнее, чем любая линейная функция.Не следует путать эти два значения: хотя банахов функционал выпуклый , для функций сублинейного роста верно почти противоположное: каждая функция $f(n)\in o(n)$ может быть ограничена сверху вогнутой функцией сублинейного роста.

См. также

• Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы.
• Вспомогательное нормированное помещение
• Теорема Хана-Банаха – Теорема о расширении ограниченных линейных функционалов. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Линейный функционал — линейная карта векторного пространства с его полем скаляров. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Функционал Минковского - функция, составленная из множества.
• Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
• Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Супераддитивность

Примечания

Доказательства

Библиография

• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (второе изд.). Бостон: Биркхойзер . ISBN  978-0-8176-4998-2 . OCLC   710154895 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .