Теорема Хана – Банаха

Теорема Хана-Банаха является центральным инструментом функционального анализа . Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные в векторном подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных в каждом нормированном векторном пространстве, чтобы провести исследование двойственного пространства . интересный". Другая версия теоремы Хана-Банаха известна как теорема разделения Хана-Банаха или теорема разделения гиперплоскости и имеет множество применений в выпуклой геометрии .

История

Теорема названа в честь математиков Ганса Хана и Стефана Банаха , которые независимо доказали ее в конце 1920-х годов. Частный случай теоремы для пространства $C[a,b]$ непрерывных функций на отрезке было доказано ранее (в 1912 году) Эдуардом Хелли , и более общая теорема о расширении, теорема о расширении М. Рисса , из которой может быть выведена теорема Хана-Банаха, была доказана в 1923 году Марселем Риссом .

Первая теорема Хана – Банаха была доказана Эдуардом Хелли в 1912 году, который показал, что некоторые линейные функционалы, определенные на подпространстве определенного типа нормированного пространства ( $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$) имело расширение той же нормы. Хелли сделал это с помощью техники, сначала доказав, что существует одномерное расширение (где область определения линейного функционала расширена на одно измерение), а затем применив индукцию . В 1927 году Хан определил общие банаховые пространства и использовал технику Хелли для доказательства сохраняющей норму версии теоремы Хана – Банаха для банаховых пространств (где ограниченный линейный функционал в подпространстве имеет ограниченное линейное расширение той же нормы на все пространство). . В 1929 году Банах, который не знал о результате Хана, обобщил его, заменив версию, сохраняющую норму, версией с доминируемым расширением, в которой используются сублинейные функции . В то время как доказательство Хелли использовало математическую индукцию, Хан и Банах использовали трансфинитную индукцию .

Теорема Хана–Банаха возникла в результате попыток решить бесконечные системы линейных уравнений. Это необходимо для решения таких проблем, как проблема моментов , согласно которой, учитывая все потенциальные моменты функции, необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти моменты, и, если да, найти ее через эти моменты. Другая такая проблема - это проблема косинусного ряда Фурье , согласно которой, учитывая все потенциальные косинусные коэффициенты Фурье, необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти коэффициенты, и, опять же, найти ее, если да.

Рисс и Хелли решили проблему для некоторых классов пространств (таких как $L^{p}([0,1])$ и $C([a,b])$), где они обнаружили, что существование решения эквивалентно существованию и непрерывности некоторых линейных функционалов. По сути, им нужно было решить следующую проблему:

( Векторная задача ) Дана коллекция $\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ ограниченных линейных функционалов в нормированном пространстве $X$ и коллекция скаляров $\left(c_{i}\right)_{i\in I},$ определить, существует ли $x\in X$ такой, что $f_{i}(x)=c_{i}$ для всех $i\in I.$

Если $X$ является Если пространство рефлексивным , то для решения векторной задачи достаточно решить следующую двойственную задачу:

( Функциональная задача ) Дана коллекция $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ векторов в нормированном пространстве $X$ и коллекция скаляров $\left(c_{i}\right)_{i\in I},$ определить, существует ли ограниченный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f\left(x_{i}\right)=c_{i}$ для всех $i\in I.$

Рисс дал определение $L^{p}([0,1])$ космос ( $1<p<\infty$) в 1910 году и $\ell ^{p}$ пространства в 1913 году. Исследуя эти пространства, он доказал частный случай теоремы Хана – Банаха. Хелли также доказал частный случай теоремы Хана – Банаха в 1912 году. В 1910 году Рис решил функциональную проблему для некоторых конкретных пространств, а в 1912 году Хелли решил ее для более общего класса пространств. Лишь в 1932 году Банах в одном из первых важных применений теоремы Хана-Банаха решил общую функциональную проблему. Следующая теорема формулирует общую функциональную задачу и характеризует ее решение.

Теорема  (Функциональная задача) — Пусть $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ быть векторами в реальном или комплексном нормированном пространстве $X$ и пусть $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ быть скалярами, также индексируемыми $I\neq \varnothing .$

Существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f\left(x_{i}\right)=c_{i}$ для всех $i\in I$ тогда и только тогда, когда существует $K>0$ такая, что при любом выборе скаляров $\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ где все, кроме конечного числа $s_{i}$ являются $0,$ имеет место следующее: $$\left|\sum _{i\in I}s_{i}c_{i}\right|\leq K\left\|\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\right\|.$$

Теорему Хана – Банаха можно вывести из приведенной выше теоремы. Если $X$ рефлексивна , то эта теорема решает векторную задачу.

Теорема Хана – Банаха

Действительнозначная функция $f:M\to \mathbb {R}$ определено в подмножестве $M$ из $X$ Говорят, что это доминирует (сверху) функция $p:X\to \mathbb {R}$ если $f(m)\leq p(m)$ для каждого $m\in M.$ Отсюда причина, по которой следующая версия теоремы Хана–Банаха называется о доминируемом расширении теоремой .

Теорема Хана – Банаха о доминируемом продолжении (для вещественных линейных функционалов) - Если $p:X\to \mathbb {R}$ - это сублинейная функция (например, норма или полунорма ), определенная в реальном векторном пространстве. $X$ тогда любой линейный функционал, определенный на векторном подпространстве $X$ которым доминирует выше над $p$ имеет хотя бы одно линейное расширение на все $X$ над которым также доминирует выше $p.$

Явно, если $p:X\to \mathbb {R}$ является сублинейной функцией , что по определению означает, что она удовлетворяет $$p(x+y)\leq p(x)+p(y)\quad {\text{ and }}\quad p(tx)=tp(x)\qquad {\text{ for all }}\;x,y\in X\;{\text{ and all real }}\;t\geq 0,$$ и если $f:M\to \mathbb {R}$ — линейный функционал, определенный на векторном подпространстве $M$ из $X$ такой, что $$f(m)\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M$$ то существует линейный функционал $F:X\to \mathbb {R}$ такой, что $$F(m)=f(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,$$$$F(x)\leq p(x)\quad ~\;\,{\text{ for all }}x\in X.$$ Более того, если $p$ это полунорма тогда $|F(x)|\leq p(x)$ обязательно справедливо для всех $x\in X.$

Теорема остается верной, если требования к $p$ расслаблены и требуют только этого $p$ быть выпуклой функцией : $$p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad {\text{ for all }}0<t<1{\text{ and }}x,y\in X.$$ Функция $p:X\to \mathbb {R}$ является выпуклым и удовлетворяет $p(0)\leq 0$ тогда и только тогда, когда $p(ax+by)\leq ap(x)+bp(y)$ для всех векторов $x,y\in X$ и все неотрицательные действительные $a,b\geq 0$ такой, что $a+b\leq 1.$ Любая сублинейная функция является выпуклой функцией. С другой стороны, если $p:X\to \mathbb {R}$ является выпуклым с $p(0)\geq 0,$ тогда функция, определенная формулой $p_{0}(x)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\inf _{t>0}{\frac {p(tx)}{t}}$ положительно однороден (потому что для всех $x$ и $r>0$ у одного есть $p_{0}(rx)=\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{t}})=r\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{tr}}=r\inf _{\tau >0}{\frac {p(\tau x)}{\tau }}=rp_{0}(x)$), следовательно, будучи выпуклым, оно сублинейно . Он также ограничен сверху $p_{0}\leq p,$ и удовлетворяет $F\leq p_{0}$ для любого линейного функционала $F\leq p.$ Таким образом, распространение теоремы Хана–Банаха на выпуклые функционалы имеет не намного большее содержание, чем классическое, сформулированное для сублинейных функционалов.

Если $F:X\to \mathbb {R}$ линейна, то $F\leq p$ тогда и только тогда, когда $$-p(-x)\leq F(x)\leq p(x)\quad {\text{ for all }}x\in X,$$ что является (эквивалентным) выводом некоторых авторов напиши вместо $F\leq p.$Отсюда следует, что если $p:X\to \mathbb {R}$ также симметричен , что означает, что $p(-x)=p(x)$ держится для всех $x\in X,$ затем $F\leq p$ тогда и только $|F|\leq p.$ Каждая норма является полунормой , и обе являются симметричными сбалансированными сублинейными функциями. Сублинейная функция является полунормой тогда и только тогда, когда она является сбалансированной функцией . В реальном векторном пространстве (но не в комплексном векторном пространстве) сублинейная функция является полунормой тогда и только тогда, когда она симметрична. Функция идентификации $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ на $X:=\mathbb {R}$ является примером сублинейной функции, не являющейся полунормой.

Для комплексных или вещественных векторных пространств

Теорема о доминируемом продолжении для вещественных линейных функционалов подразумевает следующую альтернативную формулировку теоремы Хана – Банаха, которую можно применить к линейным функционалам в вещественных или комплексных векторных пространствах.

Теорема Хана – Банаха - Предполагать $p:X\to \mathbb {R}$ полунорма в векторном пространстве $X$ над полем $\mathbf {K} ,$ что либо $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} .$ Если $f:M\to \mathbf {K}$ — линейный функционал на векторном подпространстве $M$ такой, что $$|f(m)|\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,$$то существует линейный функционал $F:X\to \mathbf {K}$ такой, что $$F(m)=f(m)\quad \;{\text{ for all }}m\in M,$$$$|F(x)|\leq p(x)\quad \;\,{\text{ for all }}x\in X.$$

Теорема остается верной, если требования к $p$ расслаблены и требуют только этого для всех $x,y\in X$ и все скаляры $a$ и $b$ удовлетворяющий $|a|+|b|\leq 1,$$$p(ax+by)\leq |a|p(x)+|b|p(y).$$Это условие выполняется тогда и только тогда, когда $p$ является выпуклой и сбалансированной функцией, удовлетворяющей $p(0)\leq 0,$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда он выпуклый, удовлетворяет $p(0)\leq 0,$ и $p(ux)\leq p(x)$ для всех $x\in X$ и все единичной длины скаляры $u.$

Комплексный функционал $F$ Говорят, что это во власти $p$ если $|F(x)|\leq p(x)$ для всех $x$ в области $F.$ Используя эту терминологию, приведенные выше утверждения теоремы Хана – Банаха можно переформулировать более кратко:

Теорема Хана – Банаха о доминируемом продолжении : если $p:X\to \mathbb {R}$ полунорма, определенная в вещественном или комплексном векторном пространстве $X,$ тогда каждый доминируемый линейный функционал, определенный на векторном подпространстве $X$ имеет доминируемое линейное расширение на все $X.$ В случае, когда $X$ является действительным векторным пространством и $p:X\to \mathbb {R}$ является просто выпуклой или сублинейной функцией , этот вывод останется верным, если оба случая « доминируют » (что означает $|F|\leq p$) ослаблены и вместо этого означают « доминируют над » (что означает $F\leq p$).

Доказательство

Следующие наблюдения позволяют применить теорему Хана-Банаха для вещественных векторных пространств к (комплекснозначным) линейным функционалам в комплексных векторных пространствах.

Каждый линейный функционал $F:X\to \mathbb {C}$ на комплексном векторном пространстве полностью определяется его вещественной частью $\;\operatorname {Re} F:X\to \mathbb {R} \;$ по формуле $$F(x)\;=\;\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix)\qquad {\text{ for all }}x\in X$$и более того, если $\|\cdot \|$ это норма для $X$ то их двойственные нормы равны: $\|F\|=\|\operatorname {Re} F\|.$ В частности, линейный функционал на $X$ расширяет другой, определенный на $M\subseteq X$ тогда и только тогда, когда их действительные части равны $M$ (другими словами, линейный функционал $F$ простирается $f$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Re} F$ простирается $\operatorname {Re} f$). Действительная часть линейного функционала на $X$ всегда является действительно-линейный функционал (это означает, что он линейен, когда $X$ рассматривается как действительное векторное пространство) и если $R:X\to \mathbb {R}$ является вещественно-линейным функционалом в комплексном векторном пространстве, тогда $x\mapsto R(x)-iR(ix)$ определяет единственный линейный функционал на $X$ чья действительная часть $R.$

Если $F$ - линейный функционал в (комплексном или действительном) векторном пространстве. $X$ и если $p:X\to \mathbb {R}$ тогда это полунорма $$|F|\,\leq \,p\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Re} F\,\leq \,p.$$Говоря более простым языком, линейный функционал доминируется полунормой $p$ тогда и только тогда, когда его действительная часть доминирует выше $p.$

Доказательство Хана–Банаха для комплексных векторных пространств путем сведения к вещественным векторным пространствам.

Предполагать $p:X\to \mathbb {R}$ является полунормой в комплексном векторном пространстве $X$ и пусть $f:M\to \mathbb {C}$ — линейный функционал, определенный на векторном подпространстве $M$ из $X$ это удовлетворяет $|f|\leq p$ на $M.$ Учитывать $X$ как вещественное векторное пространство и применить теорему Хана – Банаха для вещественных векторных пространств к вещественно-линейному функционалу $\;\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} \;$ чтобы получить вещественно-линейное расширение $R:X\to \mathbb {R}$ над которым также доминирует выше $p,$ так, чтобы оно удовлетворяло $R\leq p$ на $X$ и $R=\operatorname {Re} f$ на $M.$ Карта $F:X\to \mathbb {C}$ определяется $F(x)\;=\;R(x)-iR(ix)$ является линейным функционалом от $X$ который простирается $f$ (потому что их действительные части согласуются $M$) и удовлетворяет $|F|\leq p$ на $X$ (потому что $\operatorname {Re} F\leq p$ и $p$ это полунорма). $\blacksquare$

Приведенное выше доказательство показывает, что когда $p$ является полунормой, то существует взаимно однозначное соответствие между доминируемыми линейными расширениями $f:M\to \mathbb {C}$ и доминировали в реальных линейных расширениях $\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} ;$ доказательство даже дает формулу для явного построения линейного расширения $f$ от любого данного вещественно-линейного продолжения его вещественной части.

Непрерывность

Линейный функционал $F$ в топологическом векторном пространстве непрерывен тогда и только тогда , когда это верно для его вещественной части. $\operatorname {Re} F;$ если домен является нормированным пространством, то $\|F\|=\|\operatorname {Re} F\|$ (где одна сторона бесконечна тогда и только тогда, когда другая сторона бесконечна). Предполагать $X$ является топологическим векторным пространством и $p:X\to \mathbb {R}$ сублинейная функция . Если $p$ — непрерывная сублинейная функция, доминирующая над линейным функционалом $F$ затем $F$ обязательно является непрерывным. Более того, линейный функционал $F$ является непрерывным тогда и только тогда, когда его абсолютное значение $|F|$ (что является полунормой , которая доминирует $F$) является непрерывным. В частности, линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он доминируется некоторой непрерывной сублинейной функцией.

Доказательство

Теорема Хана–Банаха для вещественных векторных пространств в конечном итоге следует из исходного результата Хелли для частного случая, когда линейный функционал расширяется из $M$ в большее векторное пространство, в котором $M$ имеет коразмерность $1.$

Лемма  ( Теорема об одномерном доминируемом расширении ) — Пусть $p:X\to \mathbb {R}$ быть сублинейной функцией в действительном векторном пространстве $X,$ позволять $f:M\to \mathbb {R}$ линейный функционал на собственном векторном подпространстве $M\subsetneq X$ такой, что $f\leq p$ на $M$ (значение $f(m)\leq p(m)$ для всех $m\in M$), и пусть $x\in X$ быть вектором, которого нет в $M$ (так $M\oplus \mathbb {R} x=\operatorname {span} \{M,x\}$). Существует линейное расширение $F:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ из $f$ такой, что $F\leq p$ на $M\oplus \mathbb {R} x.$

Доказательство

Учитывая любое действительное число $b,$ карта $F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ определяется $F_{b}(m+rx)=f(m)+rb$ всегда является линейным продолжением $f$ к $M\oplus \mathbb {R} x$ но это может не удовлетворить $F_{b}\leq p.$ Будет показано, что $b$ всегда можно выбрать так, чтобы гарантировать, что $F_{b}\leq p,$ что завершит доказательство.

Если $m,n\in M$ затем $$f(m)-f(n)=f(m-n)\leq p(m-n)=p(m+x-x-n)\leq p(m+x)+p(-x-n)$$что подразумевает $$-p(-n-x)-f(n)~\leq ~p(m+x)-f(m).$$Итак, определите $$a=\sup _{n\in M}[-p(-n-x)-f(n)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)]$$где $a\leq c$ являются действительными числами. Чтобы гарантировать $F_{b}\leq p,$ этого достаточно $a\leq b\leq c$ (на самом деле это тоже необходимо ), потому что тогда $b$ удовлетворяет «решающему неравенству» $$-p(-n-x)-f(n)~\leq ~b~\leq ~p(m+x)-f(m)\qquad {\text{ for all }}\;m,n\in M.$$

Чтобы увидеть это $f(m)+rb\leq p(m+rx)$ следует, предполагать $r\neq 0$ и заменить ${\tfrac {1}{r}}m$ для обоих $m$ и $n$ чтобы получить $$-p\left(-{\tfrac {1}{r}}m-x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right)~\leq ~b~\leq ~p\left({\tfrac {1}{r}}m+x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right).$$ Если $r>0$ (соответственно, если $r<0$) то правая (соответственно левая) часть равна ${\tfrac {1}{r}}\left[p(m+rx)-f(m)\right]$ так что умножив на $r$ дает $rb\leq p(m+rx)-f(m).$$\blacksquare$

Эта лемма остается верной, если $p:X\to \mathbb {R}$ представляет собой просто выпуклую функцию, а не сублинейную функцию.

показывать Доказательство

Assume that $p$ is convex, which means that $p(ty+(1-t)z)\leq tp(y)+(1-t)p(z)$ for all $0\leq t\leq 1$ and $y,z\in X.$ Let $M,$ $f:M\to \mathbb {R} ,$ and $x\in X\setminus M$ be as in the lemma's statement. Given any $m,n\in M$ and any positive real $r,s>0,$ the positive real numbers $t:={\tfrac {s}{r+s}}$ and ${\tfrac {r}{r+s}}=1-t$ sum to $1$ so that the convexity of $p$ on $X$ guarantees$${\begin{alignedat}{9}p\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)~&=~p{\big (}{\tfrac {s}{r+s}}(m-rx)&&+{\tfrac {r}{r+s}}(n+sx){\big )}&&\\&\leq ~{\tfrac {s}{r+s}}\;p(m-rx)&&+{\tfrac {r}{r+s}}\;p(n+sx)&&\\\end{alignedat}}$$and hence$${\begin{alignedat}{9}sf(m)+rf(n)~&=~(r+s)\;f\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)&&\qquad {\text{ by linearity of }}f\\&\leq ~(r+s)\;p\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)&&\qquad f\leq p{\text{ on }}M\\&\leq ~sp(m-rx)+rp(n+sx)\\\end{alignedat}}$$thus proving that $-sp(m-rx)+sf(m)~\leq ~rp(n+sx)-rf(n),$ which after multiplying both sides by ${\tfrac {1}{rs}}$ becomes $${\tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]~\leq ~{\tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)].$$ This implies that the values defined by $$a=\sup _{\stackrel {m\in M}{r>0}}{\tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{\stackrel {n\in M}{s>0}}{\tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)]$$ are real numbers that satisfy $a\leq c.$ As in the above proof of the one–dimensional dominated extension theorem above, for any real $b\in \mathbb {R}$ define $F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ by $F_{b}(m+rx)=f(m)+rb.$ It can be verified that if $a\leq b\leq c$ then $F_{b}\leq p$ where $rb\leq p(m+rx)-f(m)$ follows from $b\leq c$ when $r>0$ (respectively, follows from $a\leq b$ when $r<0$).$\blacksquare$

является Приведенная выше лемма ключевым шагом в выводе теоремы о доминируемом продолжении из леммы Цорна .

Доказательство теоремы о доминируемом продолжении с использованием леммы Цорна.

Множество всех возможных доминируемых линейных расширений $f$ частично упорядочены путем расширения друг друга, поэтому существует максимальное расширение $F.$ По результату коразмерности 1, если $F$ не определен на всех $X,$ тогда его можно будет расширить. Таким образом $F$ должны быть определены везде, как утверждается. $\blacksquare$

Когда $M$ имеет счетную коразмерность, то с помощью индукции и леммы завершается доказательство теоремы Хана–Банаха. Стандартное доказательство общего случая использует лемму Цорна, хотя строго более слабая лемма об ультрафильтре (что эквивалентно теореме о компактности и булевой теореме о простых идеалах Вместо этого можно использовать ). Хана – Банаха также можно доказать с помощью теоремы Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств. (что также эквивалентно лемме об ультрафильтре)

Проект Mizar полностью формализовал и автоматически проверил доказательство теоремы Хана–Банаха в файле HAHNBAN.

Теорема о непрерывном продолжении

Теорему Хана-Банаха можно использовать, чтобы гарантировать существование непрерывных линейных расширений непрерывных линейных функционалов .

Теорема Хана – Банаха о непрерывном продолжении — Каждый непрерывный линейный функционал $f$ определенный в векторном подпространстве $M$ (действительного или комплексного) локально выпуклого топологического векторного пространства $X$ имеет непрерывное линейное продолжение $F$ всем $X.$ Если вдобавок $X$ является нормированным пространством , то это расширение можно выбрать так, чтобы его двойственная норма была равна норме $f.$

С точки зрения теории категорий , основное поле векторного пространства представляет собой инъективный объект в категории локально выпуклых векторных пространств.

В нормированном (или полунормированном ) пространстве линейное расширение $F$ ограниченного линейного функционала $f$ Говорят, что это сохраняющим норму, если он имеет ту же двойственную норму, что и исходный функционал: $\|F\|=\|f\|.$Из-за этой терминологии вторую часть приведенной выше теоремы иногда называют « сохраняющей норму » версией теоремы Хана – Банаха. Явно:

Теорема Хана – Банаха о непрерывном продолжении, сохраняющая норму — Каждый непрерывный линейный функционал $f$ определенный в векторном подпространстве $M$ (реального или комплексного) нормированного пространства $X$ имеет непрерывное линейное продолжение $F$ всем $X$ это удовлетворяет $\|f\|=\|F\|.$

Доказательство теоремы о непрерывном продолжении

Следующие наблюдения позволяют теорему о непрерывном продолжении вывести из теоремы Хана – Банаха .

Абсолютное значение линейного функционала всегда является полунормой. Линейный функционал $F$ в топологическом векторном пространстве $X$ является непрерывным тогда и только тогда, когда его абсолютное значение $|F|$ является непрерывным, что происходит тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такой, что $|F|\leq p$ на территории $F.$ Если $X$ является локально выпуклым пространством, то это утверждение остается верным, когда линейный функционал $F$ определяется на собственном векторном подпространстве $X.$

Доказательство теоремы о непрерывном продолжении локально выпуклых пространств.

Позволять $f$ — непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве $M$ локально выпуклого топологического векторного пространства $X.$ Потому что $X$ локально выпукла, существует непрерывная полунорма $p:X\to \mathbb {R}$ на $X$ который доминирует $f$ (имеется в виду, что $|f(m)|\leq p(m)$ для всех $m\in M$). По теореме Хана–Банаха существует линейное расширение $f$ к $X,$ позвони это $F,$ это удовлетворяет $|F|\leq p$ на $X.$ Этот линейный функционал $F$ является непрерывным, поскольку $|F|\leq p$ и $p$ является непрерывной полунормой.

Доказательство для нормированных пространств

Линейный функционал $f$ в нормированном пространстве непрерывно двойственная тогда и только тогда, когда оно ограничено , что означает, что его норма $$\|f\|=\sup\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}$$конечно, и в этом случае $|f(m)|\leq \|f\|\|m\|$ справедливо для каждой точки $m$ в своем домене. Более того, если $c\geq 0$ таков, что $|f(m)|\leq c\|m\|$ для всех $m$ в области функционала, то обязательно $\|f\|\leq c.$Если $F$ является линейным расширением линейного функционала $f$ то их двойственные нормы всегда удовлетворяют $\|f\|\leq \|F\|$ так что равенство $\|f\|=\|F\|$ эквивалентно $\|F\|\leq \|f\|,$ которое имеет место тогда и только тогда, когда $|F(x)|\leq \|f\|\|x\|$ за каждую точку $x$ в домене расширения. Это можно переформулировать в терминах функции $\|f\|\,\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ определяется $x\mapsto \|f\|\,\|x\|,$ что всегда является полунормой :

Линейное расширение ограниченного линейного функционала $f$ сохраняет норму тогда и только тогда, когда расширение доминирует полунорма $\|f\|\,\|\cdot \|.$

Применяя теорему Хана–Банаха к $f$ с этой полунормой $\|f\|\,\|\cdot \|$ таким образом, получается доминируемое линейное расширение, норма которого (обязательно) равна норме $f,$ что доказывает теорему:

Доказательство сохраняющей норму теоремы Хана–Банаха о непрерывном продолжении.

Позволять $f$ — непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве $M$ нормированного пространства $X.$ Тогда функция $p:X\to \mathbb {R}$ определяется $p(x)=\|f\|\,\|x\|$ является полунормой по $X$ который доминирует $f,$ это означает, что $|f(m)|\leq p(m)$ держится для каждого $m\in M.$По теореме Хана–Банаха существует линейный функционал $F$ на $X$ который простирается $f$ (что гарантирует $\|f\|\leq \|F\|$), и здесь также преобладают $p,$ это означает, что $|F(x)|\leq p(x)$ для каждого $x\in X.$ Тот факт, что $\|f\|$ действительное число такое, что $|F(x)|\leq \|f\|\|x\|$ для каждого $x\in X,$ гарантии $\|F\|\leq \|f\|.$ С $\|F\|=\|f\|$ конечен, линейный функционал $F$ ограничено и, следовательно, непрерывно.

Нелокально выпуклые пространства

Теорема о непрерывном расширении может оказаться ошибочной, если топологическое векторное пространство (TVS) $X$ не является локально выпуклым . Например, для $0<p<1,$ пространство Лебега $L^{p}([0,1])$ является полным метризуемым TVS ( F-пространством ), которое не является локально выпуклым (фактически, его единственные выпуклые открытые подмножества сами по себе являются $L^{p}([0,1])$ и пустое множество) и единственный непрерывный линейный функционал на $L^{p}([0,1])$ константа $0$ функция ( Рудин 1991 , §1.47). С $L^{p}([0,1])$ является Хаусдорфом, любое конечномерное векторное подпространство $M\subseteq L^{p}([0,1])$ линейно гомеоморфно евклидову пространству $\mathbb {R} ^{\dim M}$ или $\mathbb {C} ^{\dim M}$ (по теореме Ф. Рисса ) и поэтому всякий ненулевой линейный функционал $f$ на $M$ непрерывен, но ни один из них не имеет непрерывного линейного продолжения на все $L^{p}([0,1]).$ Однако для ТВС это возможно. $X$ не быть локально выпуклым, но, тем не менее, иметь достаточно непрерывных линейных функционалов, чтобы его непрерывное двойственное пространство $X^{*}$ разделяет точки ; для такой TVS непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве, может иметь непрерывное линейное расширение на все пространство.

Если ТВС $X$ не локально выпукла , то может не существовать никакой непрерывной полунормы $p:X\to \mathbb {R}$ определено на $X$ (не только на $M$), который доминирует $f,$ в этом случае теорема Хана – Банаха не может быть применена, как это было в приведенном выше доказательстве теоремы о непрерывном продолжении. Однако аргумент доказательства можно обобщить, чтобы дать характеристику того, когда непрерывный линейный функционал имеет непрерывное линейное расширение: если $X$ — любая ТВС (не обязательно локально выпуклая), то непрерывный линейный функционал $f$ определенный в векторном подпространстве $M$ имеет непрерывное линейное продолжение $F$ всем $X$ тогда и только тогда, когда существует некоторая непрерывная полунорма $p$ на $X$ который доминирует $f.$ В частности, если дано непрерывное линейное расширение $F$ затем $p:=|F|$ является непрерывной полунормой на $X$ который доминирует $f;$ и наоборот, если задана непрерывная полунорма $p:X\to \mathbb {R}$ на $X$ который доминирует $f$ тогда любое доминируемое линейное расширение $f$ к $X$ (существование которого гарантируется теоремой Хана–Банаха) будет непрерывным линейным расширением.

Геометрические Хана – Банаха (теоремы Хана – Банаха о разделении)

См. Также: Теорема о разделении гиперплоскости.

Ключевым элементом теоремы Хана – Банаха по сути является результат о разделении двух выпуклых множеств: $\{-p(-x-n)-f(n):n\in M\},$ и $\{p(m+x)-f(m):m\in M\}.$ Аргументы такого рода широко распространены в выпуклой геометрии . теория оптимизации и экономика . Леммы на этот счет, выведенные из исходной теоремы Хана-Банаха, известны как теоремы Хана-Банаха о разделении . Они являются обобщением теоремы о разделении гиперплоскостей , которая утверждает, что два непересекающихся непустых выпуклых подмножества конечномерного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ может быть разделена некоторой аффинной гиперплоскостью , которая представляет собой слой ( множество уровня ) вида $f^{-1}(s)=\{x:f(x)=s\}$ где $f\neq 0$ является ненулевым линейным функционалом и $s$ является скаляром.

Теорема - Позволять $A$ и $B$ — непустые выпуклые подмножества вещественного локально выпуклого топологического векторного пространства. $X.$ Если $\operatorname {Int} A\neq \varnothing$ и $B\cap \operatorname {Int} A=\varnothing$ то существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $\sup f(A)\leq \inf f(B)$ и $f(a)<\inf f(B)$ для всех $a\in \operatorname {Int} A$ (такой $f$ обязательно отличен от нуля).

Когда выпуклые множества обладают дополнительными свойствами, такими как, например, открытость или компактность , вывод можно существенно усилить:

Теорема - Позволять $A$ и $B$ быть выпуклыми непустыми непересекающимися подмножествами вещественного топологического векторного пространства. $X.$

• Если $A$ тогда открыто $A$ и $B$ разделены замкнутой гиперплоскостью . Явно это означает, что существует непрерывное линейное отображение $f:X\to \mathbf {K}$ и $s\in \mathbb {R}$ такой, что $f(a)<s\leq f(b)$ для всех $a\in A,b\in B.$ Если оба $A$ и $B$ открыты, то и правую часть можно считать строгой.
• Если $X$ является локально выпуклым, $A$ компактен и $B$ закрыто, тогда $A$ и $B$ : строго разделены существует непрерывное линейное отображение $f:X\to \mathbf {K}$ и $s,t\in \mathbb {R}$ такой, что $f(a)<t<s<f(b)$ для всех $a\in A,b\in B.$

Если $X$ является сложным (а не реальным), то справедливы те же утверждения, но для реальной части $f.$

Тогда следующее важное следствие известно как геометрическая теорема Хана – Банаха или теорема Мазура (также известная как теорема Асколи – Мазура) . ). Это следует из первого пункта выше и выпуклости $M.$

Теорема (Мазура) - Позволять $M$ быть векторным подпространством топологического векторного пространства $X$ и предположим $K$ является непустым выпуклым открытым подмножеством $X$ с $K\cap M=\varnothing .$ Тогда существует замкнутая гиперплоскость (векторное подпространство коразмерности 1) $N\subseteq X$ который содержит $M,$ но остается непересекающимся с $K.$

Теорема Мазура поясняет, что векторные подпространства (даже незамкнутые) могут характеризоваться линейными функционалами.

Следствие  (Отделение подпространства и открытого выпуклого множества) — Пусть $M$ быть векторным подпространством локально выпуклого топологического векторного пространства $X,$ и $U$ — непустое открытое выпуклое подмножество, не пересекающееся с $M.$ Тогда существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f(m)=0$ для всех $m\in M$ и $\operatorname {Re} f>0$ на $U.$

Поддержка гиперплоскостей

Поскольку точки тривиально выпуклы , из геометрического Хана-Банаха следует, что функционалы могут обнаруживать границу множества. В частности, пусть $X$ быть реальным топологическим векторным пространством и $A\subseteq X$ быть выпуклым с $\operatorname {Int} A\neq \varnothing .$ Если $a_{0}\in A\setminus \operatorname {Int} A$ тогда существует функционал, исчезающий при $a_{0},$ но поддерживается внутри $A.$

Вызов нормированного пространства $X$ гладкий, если в каждой точке $x$ в его единичном шаре существует единственная замкнутая гиперплоскость к единичному шару в точке $x.$ Кёте показал в 1983 году, что нормированное пространство гладко в некоторой точке. $x$ тогда и только тогда, когда норма дифференцируема по Гато в этой точке.

Сбалансированные или дисковые окрестности

Позволять $U$ быть выпуклой сбалансированной окрестностью начала координат в локально выпуклом топологическом векторном пространстве. $X$ и предположим $x\in X$ не является элементом $U.$ Тогда существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $\sup |f(U)|\leq |f(x)|.$

Приложения

Теорема Хана-Банаха — первый признак важной философии функционального анализа : чтобы понять пространство, нужно понять его непрерывные функционалы .

Например, линейные подпространства характеризуются функционалами: если X — нормированное векторное пространство с линейным подпространством M (не обязательно замкнутым) и если $z$ является элементом X, входящим в замыкание M не , то существует непрерывное линейное отображение $f:X\to \mathbf {K}$ с $f(m)=0$ для всех $m\in M,$ $f(z)=1,$ и $\|f\|=\operatorname {dist} (z,M)^{-1}.$ (Чтобы увидеть это, обратите внимание, что $\operatorname {dist} (\cdot ,M)$ является сублинейной функцией.) Более того, если $z$ является элементом X , то существует непрерывное линейное отображение $f:X\to \mathbf {K}$ такой, что $f(z)=\|z\|$ и $\|f\|\leq 1.$ Это означает, что естественная инъекция $J$ из нормированного пространства X в его двойное двойственное пространство $V^{**}$ является изометрическим.

Этот последний результат также предполагает, что теорему Хана-Банаха часто можно использовать для поиска «более удобной» топологии для работы. Например, многие результаты функционального анализа предполагают, что пространство является хаусдорфовым или локально выпуклым . Однако предположим, что X — топологическое векторное пространство, не обязательно Хаусдорфово или локально выпуклое но с непустым, собственным, выпуклым, открытым множеством M. , Тогда из геометрической точки Хана–Банаха следует, что существует гиперплоскость, отделяющая M от любой другой точки. В частности, должен существовать ненулевой функционал на X , т. е. непрерывное дуальное пространство $X^{*}$ является нетривиальным. Рассматривая X со слабой топологией, индуцированной $X^{*},$ тогда X становится локально выпуклым; согласно второму пункту геометрического правила Хана-Банаха слабая топология в этом новом пространстве разделяет точки . Таким образом, X с этой слабой топологией становится Хаусдорфом . Иногда это позволяет применить некоторые результаты из локально выпуклых топологических векторных пространств к нехаусдорфовым и нелокально выпуклым пространствам.

Уравнения в частных производных

Теорема Хана-Банаха часто бывает полезна, когда кто-то хочет применить метод априорных оценок . Предположим, что мы хотим решить линейное дифференциальное уравнение $Pu=f$ для $u,$ с $f$ задано в некотором банаховом пространстве X . Если у нас есть контроль над размером $u$ с точки зрения $\|f\|_{X}$ и мы можем подумать о $u$ как ограниченный линейный функционал на некотором подходящем пространстве основных функций $g,$ тогда мы сможем просмотреть $f$ как линейный функционал путем присоединения: $(f,g)=(u,P^{*}g).$ Во-первых, этот функционал определен только на образе $P,$ но, используя теорему Хана–Банаха, мы можем попытаться распространить ее на всю кодобласть X . Результирующий функционал часто определяют как слабое решение уравнения .

Характеристика рефлексивных банаховых пространств

Теорема — Вещественное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью.

Пример из теории Фредгольма

Чтобы проиллюстрировать фактическое применение теоремы Хана–Банаха, мы теперь докажем результат, который почти полностью следует из теоремы Хана–Банаха.

Предложение — Предположим $X$ является хаусдорфовой локально выпуклой TVS над полем $\mathbf {K}$ и $Y$ является векторным подпространством $X$ который TVS- изоморфен $\mathbf {K} ^{I}$ для какого-то набора $I.$ Затем $Y$ является замкнутым и дополняемым векторным подпространством $X.$

Доказательство

С $\mathbf {K} ^{I}$ это полноценный TVS, так что $Y,$ и поскольку любое полное подмножество хаусдорфовой TVS замкнуто, $Y$ является закрытым подмножеством $X.$ Позволять $f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbf {K} ^{I}$ быть TVS-изоморфизмом, так что каждый $f_{i}:Y\to \mathbf {K}$ — непрерывный сюръективный линейный функционал. По теореме Хана–Банаха мы можем расширить каждый $f_{i}$ к непрерывному линейному функционалу $F_{i}:X\to \mathbf {K}$ на $X.$ Позволять $F:=\left(F_{i}\right)_{i\in I}:X\to \mathbf {K} ^{I}$ так $F$ является непрерывной линейной сюръекцией такой, что ее ограничение на $Y$ является $F{\big \vert }_{Y}=\left(F_{i}{\big \vert }_{Y}\right)_{i\in I}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}=f.$ Позволять $P:=f^{-1}\circ F:X\to Y,$ которое представляет собой непрерывное линейное отображение, ограничение которого на $Y$ является $P{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ F{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ f=\mathbf {1} _{Y},$ где $\mathbb {1} _{Y}$ обозначает тождественную карту на $Y.$ Это показывает, что $P$ является непрерывной линейной проекцией на $Y$ (то есть, $P\circ P=P$). Таким образом $Y$ дополняется в $X$ и $X=Y\oplus \ker P$ в категории ТВС. $\blacksquare$

Приведенный выше результат можно использовать, чтобы показать, что каждое замкнутое векторное подпространство $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ дополняется, поскольку любое такое пространство либо конечномерно, либо TVS-изоморфно $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

Обобщения

Общий шаблон

Сейчас существует множество других версий теоремы Хана–Банаха. Общий шаблон для различных версий теоремы Хана – Банаха, представленных в этой статье, выглядит следующим образом:

$p:X\to \mathbb {R}$ — сублинейная функция (возможно, полунорма ) в векторном пространстве $X,$ $M$ является векторным подпространством $X$ (возможно закрыто) и $f$ является линейным функционалом от $M$ удовлетворяющий $|f|\leq p$ на $M$ (и, возможно, некоторые другие условия). Тогда можно прийти к выводу, что существует линейное расширение $F$ из $f$ к $X$ такой, что $|F|\leq p$ на $X$ (возможно с дополнительными свойствами).

Теорема - Если $D$ представляет собой поглощающий диск в вещественном или комплексном векторном пространстве. $X$ и если $f$ — линейный функционал, определенный на векторном подпространстве $M$ из $X$ такой, что $|f|\leq 1$ на $M\cap D,$ то существует линейный функционал $F$ на $X$ расширение $f$ такой, что $|F|\leq 1$ на $D.$

Для полунорм

Теорема Хана–Банаха для полунорм - Если $p:M\to \mathbb {R}$ полунорма, определенная в векторном подпространстве $M$ из $X,$ и если $q:X\to \mathbb {R}$ является полунормой по $X$ такой, что $p\leq q{\big \vert }_{M},$ тогда существует полунорма $P:X\to \mathbb {R}$ на $X$ такой, что $P{\big \vert }_{M}=p$ на $M$ и $P\leq q$ на $X.$

Доказательство теоремы Хана–Банаха для полунорм.

Позволять $S$ быть выпуклой оболочкой $\{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.$ Потому что $S$ представляет поглощающий диск собой $X,$ его функционал Минковского $P$ является полунормой. Затем $p=P$ на $M$ и $P\leq q$ на $X.$

Например, предположим, что $f$ — ограниченный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве $M$ нормированного пространства $X,$ так что это норма оператора $\|f\|$ является неотрицательным действительным числом. линейного функционала Тогда абсолютное значение $p:=|f|$ является полунормой по $M$ и карта $q:X\to \mathbb {R}$ определяется $q(x)=\|f\|\,\|x\|$ является полунормой по $X$ это удовлетворяет $p\leq q{\big \vert }_{M}$ на $M.$ Теорема Хана–Банаха для полунорм гарантирует существование полунормы. $P:X\to \mathbb {R}$ это равно $|f|$ на $M$ (с $P{\big \vert }_{M}=p=|f|$) и ограничен сверху $P(x)\leq \|f\|\,\|x\|$ везде на $X$ (с $P\leq q$).

Геометрическое разделение

Сэндвич-теорема Хана – Банаха - Позволять $p:X\to \mathbb {R}$ быть сублинейной функцией в действительном векторном пространстве $X,$ позволять $S\subseteq X$ быть любым подмножеством $X,$ и пусть $f:S\to \mathbb {R}$ быть любой картой. Если существуют положительные действительные числа $a$ и $b$ такой, что $$0\geq \inf _{s\in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]\qquad {\text{ for all }}x,y\in S,$$то существует линейный функционал $F:X\to \mathbb {R}$ на $X$ такой, что $F\leq p$ на $X$ и $f\leq F\leq p$ на $S.$

Максимальное доминируемое линейное расширение

Теорема  (Анденаэс, 1970) — Пусть $p:X\to \mathbb {R}$ быть сублинейной функцией в действительном векторном пространстве $X,$ позволять $f:M\to \mathbb {R}$ быть линейным функционалом в векторном подпространстве $M$ из $X$ такой, что $f\leq p$ на $M,$ и пусть $S\subseteq X$ быть любым подмножеством $X.$ Тогда существует линейный функционал $F:X\to \mathbb {R}$ на $X$ который простирается $f,$ удовлетворяет $F\leq p$ на $X,$ и является (поточечно) максимальным на $S$ в следующем смысле: если ${\widehat {F}}:X\to \mathbb {R}$ является линейным функционалом от $X$ который простирается $f$ и удовлетворяет ${\widehat {F}}\leq p$ на $X,$ затем $F\leq {\widehat {F}}$ на $S$ подразумевает $F={\widehat {F}}$ на $S.$

Если $S=\{s\}$ представляет собой одноэлементное множество (где $s\in X$ — некоторый вектор), и если $F:X\to \mathbb {R}$ является таким максимальным доминируемым линейным расширением $f:M\to \mathbb {R} ,$ затем $F(s)=\inf _{m\in M}[f(s)+p(s-m)].$

Вектор оценивается Ханом – Банахом

См. Также: Векторнозначные теоремы Хана – Банаха.

Векторнозначная теорема Хана – Банаха - Если $X$ и $Y$ являются векторными пространствами над одним и тем же полем, и если $f:M\to Y$ - линейное отображение, определенное в векторном подпространстве $M$ из $X,$ тогда существует линейное отображение $F:X\to Y$ который простирается $f.$

Инвариант Хана – Банаха

См. Также: Векторнозначные теоремы Хана – Банаха.

Набор $\Gamma$ карт $X\to X$ является коммутативный (относительно композиции функций $\,\circ \,$) если $F\circ G=G\circ F$ для всех $F,G\in \Gamma .$ Скажем, что функция $f$ определено в подмножестве $M$ из $X$ является $\Gamma$-инвариант, если $L(M)\subseteq M$ и $f\circ L=f$ на $M$ для каждого $L\in \Gamma .$

Инвариантная теорема Хана – Банаха. - Предполагать $\Gamma$ — коммутативное множество непрерывных линейных отображений нормированного пространства $X$ в себя и пусть $f$ — непрерывный линейный функционал, определяющий некоторое векторное подпространство $M$ из $X$ то есть $\Gamma$-инвариант , что означает, что $L(M)\subseteq M$ и $f\circ L=f$ на $M$ для каждого $L\in \Gamma .$ Затем $f$ имеет непрерывное линейное продолжение $F$ всем $X$ который имеет ту же операторную норму $\|f\|=\|F\|$ а также $\Gamma$-инвариант, то есть $F\circ L=F$ на $X$ для каждого $L\in \Gamma .$

Эту теорему можно резюмировать:

Каждый $\Gamma$-инвариантный непрерывный линейный функционал, определенный на векторном подпространстве нормированного пространства $X$ имеет $\Gamma$-инвариантное расширение Хана–Банаха для всех $X.$

Для нелинейных функций

Следующая теорема Мазура–Орлича (1953) эквивалентна теореме Хана–Банаха.

Теорема Мазура – ​​Орлича - Позволять $p:X\to \mathbb {R}$ быть сублинейной функцией в вещественном или комплексном векторном пространстве $X,$ позволять $T$ быть любым множеством, и пусть $R:T\to \mathbb {R}$ и $v:T\to X$ быть любые карты. Следующие утверждения эквивалентны:

1. существует вещественный линейный функционал $F$ на $X$ такой, что $F\leq p$ на $X$ и $R\leq F\circ v$ на $T$;
2. для любой конечной последовательности $s_{1},\ldots ,s_{n}$ из $n>0$ неотрицательные действительные числа и любая последовательность $t_{1},\ldots ,t_{n}\in T$ элементов $T,$ $$\sum _{i=1}^{n}s_{i}R\left(t_{i}\right)\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v\left(t_{i}\right)\right).$$

Следующая теорема характеризует ситуацию, когда любая скалярная функция на $X$ (не обязательно линейное) имеет непрерывное линейное расширение на все $X.$

Теорема   ( Принцип расширения ) - Позволять $f$ скалярная функция на подмножестве $S$ топологического векторного пространства $X.$ Тогда существует непрерывный линейный функционал $F$ на $X$ расширение $f$ тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такой, что $$\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})\right|\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}\right)$$для всех положительных целых чисел $n$ и все конечные последовательности $a_{1},\ldots ,a_{n}$ скаляров и элементов $s_{1},\ldots ,s_{n}$ из $S.$

Конверсы

Пусть X — топологическое векторное пространство. Векторное подпространство M в X обладает свойством расширения , если любой непрерывный линейный функционал на M может быть расширен до непрерывного линейного функционала на X , и мы говорим, что X обладает свойством расширения Хана – Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство X имеет свойство расширения.

Теорема Хана–Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых топологических векторных пространств , согласно Калтону, существует обратное: каждая полная метризуемая TVS со свойством расширения Хана – Банаха локально выпукла. С другой стороны, векторное пространство X несчетной размерности, наделенное тончайшей векторной топологией , то это топологическое векторное пространство со свойством расширения Хана – Банаха, которое не является ни локально выпуклым, ни метризуемым.

Векторное подпространство M ТВС X обладает свойством разделимости , если для каждого элемента X такого, что $x\not \in M,$ существует непрерывный линейный функционал $f$ на X такой, что $f(x)\neq 0$ и $f(m)=0$ для всех $m\in M.$ Очевидно, что непрерывное двойственное пространство TVS X разделяет точки на X тогда и только тогда, когда $\{0\},$ обладает свойством разделения. В 1992 году Какол доказал, что в любом бесконечномерном векторном пространстве X существуют TVS-топологии на X что в непрерывном дуальном пространстве достаточно непрерывных линейных функционалов для разделения точек на X. , которые не имеют HBEP, несмотря на то , Однако если X является TVS, то каждое векторное подпространство X обладает свойством расширения тогда и только тогда, когда каждое векторное подпространство X обладает свойством разделения.

Связь с аксиомой выбора и другими теоремами

См. Также: Теорема Крейна – Милмана § Связь с другими утверждениями.

Доказательство теоремы Хана-Банаха для вещественных векторных пространств ( HB ) обычно использует лемму Цорна , которая в аксиоматической структуре теории множеств Цермело-Френкеля ( ZF ) эквивалентна аксиоме выбора ( AC ). Его открыли Лось и Рыль-Нардзевски. и независимо от Люксембурга что HB можно доказать с помощью леммы об ультрафильтре ( UL ), которая эквивалентна (при ZF ) булевой теореме о простых идеалах ( BPI ). BPI строго слабее выбранной аксиомы, и позже было показано, что HB строго слабее, чем BPI .

Лемма об ультрафильтре эквивалентна (при ZF ) теореме Банаха–Алаоглу : это еще одна основополагающая теорема функционального анализа . Хотя из теоремы Банаха–Алаоглу следует HB , она не эквивалентна ей (иными словами, теорема Банаха–Алаоглу строго сильнее, чем HB ). Однако HB эквивалентна некоторой ослабленной версии теоремы Банаха–Алаоглу для нормированных пространств. Теорема Хана – Банаха также эквивалентна следующему утверждению:

(∗): На каждой булевой алгебре B существует «заряд вероятности», то есть: непостоянное конечно-аддитивное отображение из $B$ в $[0,1].$

( BPI эквивалентно утверждению, что всегда существуют непостоянные вероятностные заряды, которые принимают только значения 0 и 1.)

В ZF теоремы Хана–Банаха достаточно, чтобы вывести существование измеримого множества, не измеримого по Лебегу. Более того, из теоремы Хана–Банаха следует парадокс Банаха–Тарского .

Для сепарабельных банаховых пространств Д. К. Браун и С. Г. Симпсон доказали, что теорема Хана-Банаха следует из WKL ₀ , слабой подсистемы арифметики второго порядка , которая принимает форму леммы Кенига, ограниченной двоичными деревьями, в качестве аксиомы. Фактически, они доказывают, что при слабом наборе предположений они эквивалентны, что является примером обратной математики .

См. также

• Лемма Фаркаша - Теорема разрешимости конечных систем линейных неравенств
• Принцип существования Фичеры - Теорема функционального анализа
• Теорема о расширении М. Рисса - математическая теорема, доказанная Марселем Риссом. Страницы отображают описания из Викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема о разделяющей оси - О существовании гиперплоскостей, разделяющих непересекающиеся выпуклые множества. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Векторные теоремы Хана – Банаха

Примечания

Доказательства

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Лось, Ежи ; Рыль-Нардзевский, Чеслав (1951). «О применении теоремы Тихонова в математических доказательствах» . Фундамента Математика . 38 (1): 233–237. дои : 10.4064/fm-38-1-233-237 . ISSN   0016-2736 . Проверено 7 июля 2022 г.
• Люксембург, WAJ (1962). «Два применения метода построения сверхстепенями к анализу» . Бюллетень Американского математического общества . 68 (4). Американское математическое общество: 416–419. дои : 10.1090/s0002-9904-1962-10824-6 . ISSN   0273-0979 .
• Наричи, Лоуренс (2007). «О теореме Хана-Банаха». Продвинутые курсы математического анализа II (PDF) . Всемирная научная. стр. 87–122. дои : 10.1142/9789812708441_0006 . ISBN  978-981-256-652-2 . Проверено 7 июля 2022 г.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (1997). «Теорема Хана – Банаха: жизнь и времена» . Топология и ее приложения . 77 (2): 193–211. дои : 10.1016/s0166-8641(96)00142-3 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Пинкус, Дэвид (1972). «Независимость теоремы о простых идеалах от теоремы Хана Банаха» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 78 (5). Американское математическое общество: 766–770. дои : 10.1090/s0002-9904-1972-13025-8 . ISSN   0273-0979 . Проверено 7 июля 2022 г.
• Пинкус, Дэвид (1974). «Сила теоремы Хана-Банаха». В Херде, А.; Леб, П. (ред.). Симпозиум Виктории по нестандартному анализу . Конспект лекций по математике. Том. 369. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 203–248. дои : 10.1007/bfb0066014 . ISBN  978-3-540-06656-9 . ISSN   0075-8434 .
• Рид, Майкл и Саймон, Барри, Методы современной математической физики, Том. 1, Функциональный анализ, Раздел III.3. Academic Press, Сан-Диего, 1980. ISBN   0-12-585050-6 .
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980). Функциональный анализ (переработанное и дополненное изд.). Бостон, Массачусетс: Академическая пресса . ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шмитт, Лотар М (1992). «Эквивариантная версия теоремы Хана – Банаха» . Хьюстон Дж. Математики . 18 : 429–447.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тао, Теренс , Теорема Хана – Банаха, теорема Менгера и теорема Хелли.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Виттсток, Герд, Операторнозначная теорема Хана-Банаха, Журнал функционального анализа 40 (1981), 127–150.
• Зейдлер, Эберхард, Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения , Springer, 1995.
• «Теорема Хана – Банаха» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]