Компактный оператор в гильбертовом пространстве

В математической дисциплине функционального анализа понятие компактного оператора в гильбертовом пространстве является расширением понятия матрицы, действующей в конечномерном векторном пространстве; в гильбертовом пространстве компактные операторы представляют собой в точности замыкание операторов конечного ранга (представимых конечномерными матрицами) в топологии, индуцированной операторной нормой . Таким образом, результаты теории матриц иногда можно распространить на компактные операторы, используя аналогичные аргументы. Напротив, изучение общих операторов в бесконечномерных пространствах часто требует совершенно иного подхода.

Например, спектральная теория компактных операторов в банаховых пространствах принимает форму, очень похожую на йордановую каноническую форму матриц. В контексте гильбертовых пространств квадратная матрица унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна . Соответствующий результат справедлив для нормальных компактных операторов в гильбертовых пространствах. В более общем смысле, от предположения о компактности можно отказаться. Как указано выше, методы, используемые для доказательства результатов, например, спектральной теоремы , в некомпактном случае обычно различны и включают операторнозначные меры в спектре .

Будут обсуждаться некоторые результаты для компактных операторов в гильбертовом пространстве, начиная с общих свойств и заканчивая рассмотрением подклассов компактных операторов.

Определение

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством и $L(H)$ — множество ограниченных операторов на $H$. Затем оператор $T\in L(H)$ называется компактным оператором, если образ каждого ограниченного множества при $T$ относительно компактен .

Некоторые общие свойства

В этом разделе мы перечислим некоторые общие свойства компактных операторов.

Если X и Y являются сепарабельными гильбертовыми пространствами (на самом деле, X банаховых и нормированных Y будет достаточно), то T : X → Y компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно , если рассматривать его как отображение из X со слабой топологией в Y. (с нормальной топологией). (См. ( Zhu 2007 , теорема 1.14, стр.11) и обратите внимание в этой ссылке, что равномерная ограниченность будет применяться в ситуации, когда F ⊆ X удовлетворяет условию (∀φ ∈ Hom( X , K )) sup{ x** ( φ) = φ( x ) : x } < ∞, где K — основное поле. Применяется принцип равномерной ограниченности, поскольку Hom( X , K ) с нормированной топологией будет банаховым пространством, а отображения x** : Hom. ( X , K ) → K — непрерывные гомоморфизмы относительно этой топологии.)

Семейство компактных операторов представляет собой замкнутый по норме двусторонний *-идеал в L ( H ). Следовательно, компактный оператор T не может иметь ограниченного обратного, если H бесконечномерен. Если ST = TS = I , то тождественный оператор будет компактным, противоречие.

Если последовательности ограниченных операторов B _n → B , C _n → C в сильной операторной топологии и T компактно, то $B_{n}TC_{n}^{*}$ сходится к $BTC^{*}$ в норме. Например, рассмотрим гильбертово пространство $\ell ^{2}(\mathbf {N} ),$ со стандартным базисом { e _n }. Пусть P _m — ортогональный проектор на линейную проекцию { e ₁ ..., em _, }. Последовательность { P _m } сходится к тождественному оператору I сильно, но не равномерно. Определите T по $Te_{n}={\tfrac {1}{n^{2}}}e_{n}.$ T компактен, и, как утверждалось выше, P _m T → IT = T в равномерной операторной топологии: для x всех

$$\left\|P_{m}Tx-Tx\right\|\leq \left({\frac {1}{m+1}}\right)^{2}\|x\|.$$

Обратите внимание, что каждый P _m является оператором конечного ранга. Аналогичные рассуждения показывают, что если T компактен, то T является равномерным пределом некоторой последовательности операторов конечного ранга.

Ввиду замкнутости по норме идеала компактных операторов верно и обратное.

Фактор С*-алгебра L ( H ) по модулю компактных операторов называется алгеброй Калкина , в которой можно рассматривать свойства оператора с точностью до компактного возмущения.

Компактный самосопряженный оператор

Ограниченный оператор T в гильбертовом пространстве H называется самосопряженным, если T = T * или, что то же самое,

$$\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,\quad x,y\in H.$$

Отсюда следует, что ⟨ Tx , x ⟩ веществен для каждого x ∈ H , поэтому собственные значения T , если они существуют, вещественны. Когда замкнутое линейное подпространство L в H инвариантно относительно T , то ограничение T на L является самосопряженным оператором на L , и, более того, ортогональное дополнение L ^⊥ L T также инвариантен относительно . Например, пространство H можно разложить как ортогональную прямую сумму T –инвариантных замкнутых линейных подпространств: ядра T двух и ортогонального дополнения (ker T ). ^⊥ ядра (что равно замыканию образа T для любого ограниченного самосопряженного оператора). Эти основные факты играют важную роль в доказательстве следующей спектральной теоремы.

Результатом классификации эрмитовых n × n матриц размера является спектральная теорема : если M = M* , то M унитарно диагонализуема, а диагонализация M имеет вещественные элементы. Пусть T — компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H . Мы докажем то же утверждение для T : оператор T можно диагонализовать ортонормированным набором собственных векторов, каждый из которых соответствует вещественному собственному значению.

теорема

Теорема. Для каждого компактного самосопряженного оператора T в вещественном или комплексном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис H , состоящий из собственных векторов T . Более конкретно, ортогональное дополнение ядра T допускает либо конечный ортонормированный базис собственных векторов T , либо счетный бесконечный ортонормированный базис { e _n } собственных векторов T с соответствующими собственными значениями { λ _n } ⊂ R , такой что λ _п → 0 .

Другими словами, компактный самосопряженный оператор может быть унитарно диагонализован. Это спектральная теорема.

Когда H сепарабельна , , можно смешать базис { en _} со счетным ортонормированным базисом для ядра T и получить ортонормированный базис { fn _} для H , состоящий из собственных векторов T с действительными собственными значениями { µn _} такими как что μ _n → 0 .

Следствие. Для каждого компактного самосопряженного оператора T в вещественном или комплексном сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве H существует счетный бесконечный ортонормированный базис { f _n } оператора H , состоящий из собственных векторов оператора T с соответствующими собственными значениями { µ _n } ⊂ R. , такой что µ _n → 0 .

Идея

Обсудим сначала конечномерное доказательство. Доказательство спектральной теоремы для эрмитовой размером n × n матрицы T зависит от доказательства существования одного собственного вектора x . Как только это будет сделано, из эрмитичности следует, что и линейная оболочка, и ортогональное дополнение x (размерности n - 1) являются инвариантными подпространствами T . Тогда желаемый результат получается индукцией по $T_{x^{\perp }}$.

Существование собственного вектора можно показать (по крайней мере) двумя альтернативными способами:

1. Можно рассуждать алгебраически: характеристический полином T имеет комплексный корень, поэтому T имеет собственное значение с соответствующим собственным вектором.
2. Собственные значения можно охарактеризовать вариационно: наибольшее собственное значение является максимальным на замкнутой единичной сфере функции f : R. ^{2 н} → R определяется как f ( x ) знак равно x*Tx знак равно ⟨ Tx , x ⟩ .

Примечание. В конечномерном случае часть первого подхода работает в гораздо большей общности; любая квадратная матрица, не обязательно эрмитова, имеет собственный вектор. Это просто неверно для общих операторов в гильбертовых пространствах. В бесконечных измерениях также не сразу понятно, как обобщить понятие характеристического полинома.

Спектральная теорема для компактного самосопряженного случая может быть получена аналогично: собственный вектор находится путем расширения второго конечномерного аргумента, приведенного выше, а затем применяется индукция. Сначала мы обрисуем аргументацию в пользу матриц.

Поскольку замкнутая единичная сфера S в R ^{2 н} компактен, а f непрерывен, f ( S ) компактен на вещественной прямой, поэтому f достигает максимума на S в некотором единичном векторе y . По Лагранжа о множителе теореме y удовлетворяет

$$\nabla f=\nabla y^{*}Ty=\lambda \cdot \nabla y^{*}y$$

для некоторого λ. По эрмитичности Ty = λ y .

Альтернативно, пусть z ∈ C ^н быть любым вектором. Обратите внимание, что если единичный вектор y максимизирует ⟨ Tx , x ⟩ на единичной сфере (или на единичном шаре), он также максимизирует коэффициент Рэлея :

$$g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}},\qquad 0\neq x\in \mathbf {C} ^{n}.$$

Рассмотрим функцию:

$${\begin{cases}h:\mathbf {R} \to \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\end{cases}}$$

По исчислению h ′(0) = 0 , т. е.

$${\begin{aligned}h'(0)&=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t-0}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {g(y+tz)-g(y)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\|y+tz\|^{2}}}-{\frac {\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\lim _{t\to 0}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{t}}\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=0.\end{aligned}}$$

Определять:

$$m={\frac {\langle Ty,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}$$

После некоторой алгебры приведенное выше выражение принимает вид ( Re обозначает действительную часть комплексного числа)

$$\operatorname {Re} (\langle Ty-my,z\rangle )=0.$$

Но z произвольна, поэтому Ty − my = 0 . В этом состоит суть доказательства спектральной теоремы в матричном случае.

Обратите внимание , что хотя множители Лагранжа обобщаются на бесконечномерный случай, компактность единичной сферы теряется. Именно здесь полезно предположение о оператора T. компактности

Подробности

Утверждение. Если T — компактный самосопряженный оператор в ненулевом гильбертовом пространстве H и

$$m(T):=\sup {\bigl \{}|\langle Tx,x\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1{\bigr \}},$$

тогда m ( T ) или − m ( T ) является собственным значением T .

Если m ( T ) = 0 , то T = 0 по поляризационному тождеству , и этот случай ясен. Рассмотрим функцию

$${\begin{cases}f:H\to \mathbf {R} \\f(x)=\langle Tx,x\rangle \end{cases}}$$

Заменяя при необходимости T на − T , можно считать, что верхняя грань f на замкнутом единичном шаре B ⊂ H равна m ( T ) > 0 . Если f достигает своего максимума m ( T ) на B в некотором единичном векторе y , то по тому же аргументу, что и для матриц, y является собственным вектором T с соответствующим собственным значением λ = ⟨ λy , y ⟩ = ⟨ Ty , y ⟩ знак равно ж ( y ) знак равно м ( Т ) .

По теореме Банаха–Алаоглу и рефлексивности H замкнутый единичный шар B слабо компактен. Кроме того, компактность T означает (см. выше), что T : X со слабой топологией → X с топологией нормы является непрерывным. . Эти два факта означают, что f непрерывна на B, снабженном слабой топологией, и , следовательно, f достигает своего максимума m на B в некотором y ∈ B . По максимальности, $\|y\|=1,$ что, в свою очередь, означает, что y также максимизирует фактор Рэлея g ( x ) (см. выше). Это показывает, что y является собственным вектором T , и завершает доказательство утверждения.

Примечание. Компактность T имеет решающее значение. В общем случае f не обязательно должна быть непрерывной для слабой топологии на единичном шаре B . Например, пусть T — тождественный оператор, который не является компактным, когда H бесконечномерен. Возьмем любую ортонормированную последовательность { y _n }. Тогда y _n слабо сходится к 0, но lim f ( y _n ) = 1 ≠ 0 = f (0).

Пусть T компактный оператор в гильбертовом пространстве H. — Конечная (возможно, пустая) или счетная бесконечная ортонормированная последовательность { en _. } собственных векторов T с соответствующими ненулевыми собственными значениями строится по индукции следующим образом Пусть H ₀ = H и T ₀ = T . Если m ( T ₀ ) = 0, то T = 0 и построение останавливается без создания собственного en _{вектора} . Предположим, что ортонормированные собственные векторы e ₀ , ..., e _{n − 1} оператора T найдены. Тогда E _n := span( e ₀ , ..., e _{n − 1} ) инвариантно относительно T , и в силу самосопряженности ортогональное дополнение H _n к En _{является} инвариантным подпространством T . Пусть Tn _​ ограничение T на Hn _. обозначает Если m ( T _n ) = 0, то T _n = 0 и построение прекращается. В противном случае, согласно утверждению, к T _n , существует собственный вектор en нормы один для _T в n H n _с соответствующим ненулевым собственным значением λ _m = ± примененному ( T _n ) .

Пусть F = (span{ e _n }) ^⊥ , где { e _n } — конечная или бесконечная последовательность, построенная индуктивным процессом; по самосопряженности F инвариантен относительно T . Пусть S обозначает ограничение T на F . Если процесс был остановлен после конечного числа шагов с последним вектором e _{m −1} , то F = H _m и S = ​​T _m = 0 по построению. В бесконечном случае из компактности T и слабой сходимости en _к 0 следует, что Te _n = λ _n e _n → 0 , следовательно, λ _n → 0 . Поскольку F содержится в H _n для любого n , отсюда следует, что m ( S ) ≤ m ({ T _n }) = | λ _п | для каждого n , следовательно, m ( S ) = 0. Отсюда снова следует, что S = 0 .

Тот факт, что S = 0, означает, что F содержится в ядре T . И наоборот, если x ∈ ker( T ), то в силу самосопряженности x ортогонален каждому собственному вектору { e _n } с ненулевым собственным значением. Отсюда следует, что F = ker( T ) и что { e _n } является ортонормированным базисом для ортогонального дополнения ядра T . Завершить диагонализацию T можно , выбрав ортонормированный базис ядра. Это доказывает спектральную теорему.

Более короткое, но более абстрактное доказательство выглядит следующим образом: по лемме Цорна выберите U как максимальное подмножество H со следующими тремя свойствами: все элементы U являются собственными векторами T , они имеют норму один и любые два различных элемента U ортогональны. Пусть F — ортогональное дополнение к линейной оболочке U . Если F ≠ {0}, это нетривиальное инвариантное подпространство T , и по первоначальному утверждению должен существовать собственный вектор y нормы один для T в F . Но тогда U ∪ { y } противоречит максимальности U . Отсюда следует, что F = {0}, следовательно, span( U ) плотен в H . Это показывает, что U — ортонормированный базис H , состоящий из собственных векторов T .

Функциональное исчисление

Если T компактно в бесконечномерном гильбертовом пространстве H , то T не обратимо, следовательно, σ( T ), спектр T , всегда содержит 0. Спектральная теорема показывает, что σ( T ) состоит из собственных значений { λ _n } T и 0 (если 0 еще не является собственным значением). Множество σ( T ) является компактным подмножеством комплексных чисел, а собственные значения плотны в σ( T ).

Любую спектральную теорему можно переформулировать в терминах функционального исчисления . В данном контексте мы имеем:

Теорема. Обозначим через C (σ( T )) C*-алгебру непрерывных функций на σ( T ). Существует единственный изометрический гомоморфизм Φ : C (σ( T )) → L ( H ) такой, что Φ(1) = I и, если f — тождественная функция f ( λ ) = λ , то Φ( f ) = T . Более того, σ( f ( T )) = f ( σ( T )) .

Отображение функционального исчисления Φ определяется естественным образом: пусть { e _n } — ортонормированный базис собственных векторов для H с соответствующими собственными значениями { λ _n }; для f ∈ C (σ( T )) оператор Φ( f ), диагональный относительно ортонормированного базиса { e _n }, определяется полагая

$$\Phi (f)(e_{n})=f(\lambda _{n})e_{n}$$

для каждого n . Поскольку Φ( f ) диагональен относительно ортонормированного базиса, его норма равна верхней границе модуля диагональных коэффициентов,

$$\|\Phi (f)\|=\sup _{\lambda _{n}\in \sigma (T)}|f(\lambda _{n})|=\|f\|_{C(\sigma (T))}.$$

Остальные свойства Φ легко проверить. Обратно, любой гомоморфизм Ψ, удовлетворяющий требованиям теоремы, должен совпадать с Φ, когда f — многочлен. По аппроксимационной теореме Вейерштрасса полиномиальные функции плотны в C (σ( T )), откуда следует, что Ψ = Φ . Это показывает, что Φ единственна.

Более общее непрерывное функциональное исчисление можно определить для любого самосопряженного (или даже нормального в комплексном случае) ограниченного линейного оператора в гильбертовом пространстве. Описанный здесь компактный случай представляет собой особенно простой пример функционального исчисления.

Одновременная диагонализация

Рассмотрим гильбертово пространство H (например, конечномерное C ^н ) и коммутирующее множество ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)$ самосопряженных операторов. Тогда при подходящих условиях его можно одновременно (унитарно) диагонализировать. А именно. , существует ортонормированный базис Q, состоящий из общих собственных векторов операторов, т. е.

$$(\forall {q\in Q,T\in {\mathcal {F}}})(\exists {\sigma \in \mathbf {C} })(T-\sigma )q=0$$

Лемма . Предположим, что все операторы в ${\mathcal {F}}$ компактны. Тогда каждое замкнутое ненулевое ${\mathcal {F}}$-инвариантное подпространство $S\subseteq H$ имеет общий собственный вектор для ${\mathcal {F}}$.

Доказательство

Случай I: каждый из операторов имеет ровно одно собственное значение на $S$. Возьмите любой $s\in S$ единичной длины. Это общий собственный вектор.

Случай II: есть некоторый оператор $T\in {\mathcal {F}}$ с минимум двумя собственными значениями $S$ и пусть $0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)$. Поскольку T компактно и α не равно нулю, имеем $S':=\ker(T\upharpoonright S-\alpha )$ является конечномерным (и, следовательно, замкнутым) ненулевым ${\mathcal {F}}$-инвариантное подпространство (поскольку все операторы коммутируют с T , мы имеем для $T'\in {\mathcal {F}}$ и $x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )$, что $(T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0$). В частности, поскольку α является лишь одним из собственных значений $T$ на $S$, у нас точно есть $\dim S'<\dim S$. Таким образом, в принципе мы могли бы рассуждать с помощью индукции по размерности, придя к выводу, что $S'\subseteq S$ имеет общий собственный вектор для ${\mathcal {F}}$.

Теорема 1. Если все операторы в ${\mathcal {F}}$ компактны, то операторы могут быть одновременно (унитарно) диагонализованы.

Доказательство

Следующий набор

$$\mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{ is an orthonormal set of common eigenvectors for }}{\mathcal {F}}\},$$

частично упорядочен по включению. Это явно обладает свойством Цорна. Итак, взяв Q в качестве максимального члена, если Q является базой всего гильбертова пространства H , мы закончили. Если бы это было не так, то позволив $S=\langle Q\rangle ^{\bot }$, легко видеть, что это будет ${\mathcal {F}}$-инвариантное нетривиальное замкнутое подпространство; и, таким образом, согласно приведенной выше лемме, в нем будет находиться общий собственный вектор для операторов (обязательно ортогональный Q ). Но тогда имело бы место правильное расширение Q внутри P ; противоречие его максимальности.

Теорема 2. Если существует инъективный компактный оператор в ${\mathcal {F}}$; тогда операторы могут быть одновременно (унитарно) диагонализованы.

Доказательство

Исправить $T_{0}\in {\mathcal {F}}$ компактный инъекционный. Тогда по спектральной теории компактных симметрических операторов в гильбертовых пространствах имеем:

$$H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )}},$$

где $\sigma (T_{0})$ представляет собой дискретное счетное подмножество положительных действительных чисел, а все собственные пространства конечномерны. С ${\mathcal {F}}$ коммутирующее множество, то все собственные пространства инвариантны. Поскольку все операторы, ограниченные собственными пространствами (которые являются конечномерными), автоматически компактны, мы можем применить теорему 1 к каждому из них и найти ортонормированные базисы Q _σ для $\ker(T_{0}-\sigma )$. Поскольку T ₀ симметричен, мы имеем, что

$$Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }$$

является (счетным) ортонормированным множеством. Кроме того, согласно декомпозиции, которую мы впервые установили, это базис для H .

Теорема 3. Если H — конечномерное гильбертово пространство и ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)$ коммутативный набор операторов, каждый из которых диагонализуем; тогда операторы могут быть одновременно диагонализованы.

Доказательство

Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение. любой базис для H. Тогда подойдет

Случай II: исправить $T_{0}\in {\mathcal {F}}$ оператор, имеющий не менее двух собственных значений, и пусть $P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }$ так что $P^{-1}T_{0}P$ является симметричным оператором. Пусть теперь α — собственное значение $P^{-1}T_{0}P$. Тогда легко увидеть, что оба:

$$\ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right)^{\bot }$$

нетривиальны $P^{-1}{\mathcal {F}}P$-инвариантные подпространства. Индукцией по размерности мы получаем, что существуют линейно независимые базы Q ₁ , Q ₂ для подпространств, что показывает, что операторы в $P^{-1}{\mathcal {F}}P$ может быть одновременно диагонализуемо на подпространствах. Ясно тогда $P(Q_{1}\cup Q_{2})$ показывает, что операторы в ${\mathcal {F}}$ могут быть одновременно диагонализированы.

Обратите внимание, что в этом доказательстве нам вообще не пришлось напрямую использовать аппарат матриц. Есть и другие версии.

Мы можем усилить вышеизложенное на случай, когда все операторы просто коммутируют со своим сопряженным; в этом случае мы удаляем термин «ортогональный» из диагонализации. Существуют более слабые результаты для операторов, возникающих из представлений Вейля–Питера. Пусть G — фиксированная локально компактная хаусдорфова группа и $H=L^{2}(G)$ (пространство измеримых функций, интегрируемых с квадратом относительно единственной с точностью до масштаба меры Хаара на G ). Рассмотрим действие непрерывного сдвига:

$${\begin{cases}G\times H\to H\\(gf)(x)=f(g^{-1}x)\end{cases}}$$

Тогда если бы G была компактной, то существует единственное разложение H в счетную прямую сумму конечномерных неприводимых инвариантных подпространств (это, по сути, диагонализация семейства операторов $G\subseteq U(H)$). Если бы G не были компактными, а были абелевыми, то диагонализация не достигается, но мы получаем единственное непрерывное разложение H на одномерные инвариантные подпространства.

Компактный обычный оператор

Семейство эрмитовых матриц — это собственное подмножество матриц, унитарно диагонализируемых. Матрица M унитарно диагонализируема тогда и только тогда, когда она нормальна, т. е. M*M = MM* . Аналогичные утверждения справедливы и для компактных нормальных операторов.

Пусть T компактен и T*T = TT* . Примените декартово разложение к T : определите

$$R={\frac {T+T^{*}}{2}},\quad J={\frac {T-T^{*}}{2i}}.$$

Самосопряженные компактные операторы R и J называются вещественной и мнимой частями T соответственно. Из T компактности следует, что T* и, следовательно, R и J компактны. Более того, из нормальности T следует, что R и J коммутируют. Поэтому их можно одновременно диагонализировать, из чего следует утверждение.

Гипонормальный компактный оператор (в частности, субнормальный оператор ) является нормальным.

Унитарный оператор

Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности комплексной плоскости; это может быть весь единичный круг. Однако если U тождественно плюс компактное возмущение, U имеет только счетный спектр, содержащий 1 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 1 на единичной окружности. Точнее, предположим, что U = I + C , где C компактно. Уравнения UU* = U*U = I и C = U − I показывают, что C является нормальным. Спектр C содержит 0 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 0. Поскольку U = I + C , спектр U получается сдвигом спектра C на 1.

Примеры

• Пусть H = L ² ([0, 1]) . Оператор умножения M, определенный формулой
  $$(Mf)(x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]$$
  — ограниченный самосопряженный оператор на H , который не имеет собственного вектора и, следовательно, по спектральной теореме не может быть компактным.
• Примером компактного оператора в гильбертовом пространстве, который не является самосопряженным, является оператор Вольтерра , определенный для функции $f\in L^{2}([0,1])$ и значение $t\in [0,1]$ как
  $$V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.$$
  Это оператор, соответствующий интегральным уравнениям Вольтерра .
• Определите ядро ​​Гильберта-Шмидта $K:\Omega \times \Omega \to \mathbb {C}$ на $\Omega =[0,1]$ и связанный с ним интегральный оператор Гильберта-Шмидта $T_{K}:L^{2}(\Omega )\to L^{2}(\Omega )$ как
  $$(T_{K}f)(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y.$$
  Затем $T_{K}$ – компактный оператор; это оператор Гильберта–Шмидта с нормой Гильберта–Шмидта. $\|T_{k}\|_{\mathrm {HS} }=\|K\|_{L^{2}}$.
• $T_{K}$ является компактным самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда $K(x,y)$ — эрмитово ядро , которое, согласно теореме Мерсера , можно представить в виде
  $$K(x,y)=\sum \lambda _{n}\varphi _{n}(x){\overline {\varphi _{n}(y)}},$$
  где $\{\varphi _{n}\}$ является ортонормированным базисом собственных векторов $T_{K}$, с собственными значениями $\{\lambda _{n}\}$ и сумма сходится абсолютно и равномерно на $[0,1]$.

См. также

• Алгебра Калкина - фактор кольца ограниченных линейных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве по идеальным компактным операторам. Страницы, отображающие описания из Викиданных в качестве запасного варианта.
• Компактный оператор - Тип непрерывного линейного оператора
• Разложение спектра (функциональный анализ) — конструкция функционального анализа, полезная для решения дифференциальных уравнений. — Если убрать предположение о компактности, операторам вообще не обязательно иметь счетный спектр.
• Фредгольмский оператор
• Разложение сингулярных значений # Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах – Разложение матриц – Понятие сингулярных значений можно расширить с матриц до компактных операторов.
• Спектральная теория компактных операторов
• Строго сингулярный оператор

Ссылки

• Дж. Бланк, П. Экснер и М. Хавличек, Гильбертовы пространственные операторы в квантовой физике , Американский институт физики, 1994.
• М. Рид и Б. Саймон, Методы современной математической физики I: функциональный анализ , Academic Press, 1972.
• Чжу, Кехе (2007), Теория операторов в функциональных пространствах , Математические обзоры и монографии, том. 138, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-3965-2