Интегральный оператор Гильберта–Шмидта

В математике интегральный оператор Гильберта –Шмидта представляет собой разновидность интегрального преобразования . В частности, для области Ω в n - мерном евклидовом пространстве R ^н , то интегрируемая с квадратом функция k : Ω × Ω → C, принадлежащая L ² (Ом×Ом) такой, что

$\int _{\Omega }\int _{\Omega }|k(x,y)|^{2}\,dx\,dy<\infty ,$

называется ядром Гильберта–Шмидта и связанным с ним интегральным оператором T : L ² (Ом) → L ² (Ом), заданный формулой

$(Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,dy,\quad f\in L^{2}(\Omega ),$

называется интегральным оператором Гильберта–Шмидта . Тогда T — оператор Гильберта–Шмидта с нормой Гильберта–Шмидта.

$\Vert T\Vert _{\mathrm {HS} }=\Vert k\Vert _{L^{2}}.$

Интегральные операторы Гильберта–Шмидта одновременно непрерывны и компактны .

Понятие оператора Гильберта–Шмидта может быть распространено на любые локально компактные хаусдорфовы пространства . В частности, пусть L ² ( X ) — сепарабельное гильбертово пространство , а X — локально компактное хаусдорфово пространство, снабженное положительной борелевской мерой . Начальное условие на ядро ​​k на Ω ⊆ R ^н можно переинтерпретировать как требование, чтобы k принадлежало L ² ( Икс × Икс ) . Тогда оператор

$(Tf)(x)=\int _{X}k(x,y)f(y)\,dy,$

компактен ​ . Если

$k(x,y)={\overline {k(y,x)}},$

тогда T также самосопряжен , и поэтому применима спектральная теорема . Это одна из фундаментальных конструкций таких операторов, которая часто сводит проблемы о бесконечномерных векторных пространствах к вопросам о хорошо понятных конечномерных собственных пространствах.

См. также

• Оператор Гильберта – Шмидта

Ссылки

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт К. (8 января 2004 г.). Введение в уравнения в частных производных . Нью-Йорк Берлин Гейдельберг: Springer Science & Business Media. ISBN  0-387-00444-0 .

• Бамп, Дэниел (1998). Автоморфные формы и представления . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-65818-7 .
• Саймон, Б. (1978). «Обзор строгой теории рассеяния» .