Дисковая алгебра

В математике, особенно в функциональном и комплексном анализе , дисковая алгебра A ( D ) (также пишется как дисковая алгебра ) представляет собой набор голоморфных функций.

ƒ : Д → $\mathbb {C}$,

(где D — открытый единичный диск в комплексной плоскости $\mathbb {C}$ , которые продолжаются до непрерывной функции на замыкании D ) . То есть,

$A(\mathbf {D} )=H^{\infty }(\mathbf {D} )\cap C({\overline {\mathbf {D} }}),$

где Н ^∞ ( D ) обозначает банахово пространство ограниченных аналитических функций на единичном круге D (т.е. пространство Харди ).Когда наделено поточечным сложением ( ƒ + g )( z ) = ƒ ( z ) + g ( z ) и поточечным умножением ( ƒg )( z ) = ƒ ( z ) g ( z ), это множество становится алгеброй над C , поскольку если ƒ и g принадлежат дисковой алгебре, то то же самое делают и ƒ + g и ƒg .

Учитывая единую норму ,

$\|f\|=\sup\{|f(z)|\mid z\in \mathbf {D} \}=\max\{|f(z)|\mid z\in {\overline {\mathbf {D} }}\},$

по построению она становится равномерной алгеброй и коммутативной банаховой алгеброй .

По построению дисковая алгебра является замкнутой подалгеброй пространства Харди H ^∞ . В отличие от более строгого требования существования непрерывного расширения окружности, лемма Фату гласит , что общий элемент H ^∞ можно радиально продолжить до окружности почти всюду .