Теорема Фату

В математике, особенно в комплексном анализе , теорема Фату , названная в честь Пьера Фату , представляет собой утверждение о голоморфных функциях на единичном круге и их поточечном продолжении до границы диска.

Мотивация и формулировка теоремы

Если у нас есть голоморфная функция $f$ определено на открытом диске модуля $\mathbb {D} =\{z:|z|<1\}$ , резонно задаться вопросом, при каких условиях мы можем распространить эту функцию на границу единичного круга. Для этого мы можем посмотреть, как выглядит функция на каждом круге внутри диска с центром в 0, каждый с некоторым радиусом. $r$ . Это определяет новую функцию:

{\begin{cases}f_{r}:S^{1}\to \mathbb {C} \\f_{r}(e^{i\theta })=f(re^{i\theta })\end{cases}}

где

S^{1}:=\{e^{i\theta }:\theta \in [0,2\pi ]\}=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\},

является единичным кругом. Тогда можно было бы ожидать, что значения расширения $f$ на окружность должен быть предел этих функций, и поэтому вопрос сводится к определению того, когда $f_{r}$ сходится, и в каком смысле, как $r\to 1$ и насколько четко определен этот предел. В частности, если $L^{p}$ нормы этих $f_{r}$ хорошо себя ведут, у нас есть ответ:

Теорема. Позволять

f:\mathbb {D} \to \mathbb {C}

— голоморфная функция такая, что

\sup _{0<r<1}\|f_{r}\|_{L^{p}(S^{1})}<\infty ,

где

f_{r}

определяются, как указано выше. Затем

f_{r}

сходится к некоторой функции

f_{1}\in L^{p}(S^{1})

точечно почти везде и в

L^{p}

норма. То есть,

{\begin{aligned}\left|f_{r}(e^{i\theta })-f_{1}(e^{i\theta })\right|&\to 0&&{\text{for almost every }}\theta \in [0,2\pi ]\\\|f_{r}-f_{1}\|_{L^{p}(S^{1})}&\to 0\end{aligned}}

Теперь обратите внимание, что этот поточечный предел является радиальным пределом. То есть взятый предел проходит по прямой линии от центра диска до границы круга, и, следовательно, в приведенном выше утверждении говорится, что

f(re^{i\theta })\to f_{1}(e^{i\theta })\qquad {\text{for almost every }}\theta .

Естественный вопрос состоит в том, сможем ли мы, определив эту граничную функцию, поточечно сходиться к этой функции, переходя к пределу каким-либо другим способом? То есть предположим, что вместо того, чтобы следовать по прямой линии к границе, мы следуем по произвольной кривой. $\gamma :[0,1)\to \mathbb {D}$ сходящиеся к какой-то точке $e^{i\theta }$ на границе. Воля $f$ сходиться к $f_{1}(e^{i\theta })$ ? (Обратите внимание, что приведенная выше теорема является лишь частным случаем $\gamma (t)=te^{i\theta }$ ). Оказывается, кривая $\gamma$ должна быть некасательной , что означает, что кривая не приближается к своей цели на границе таким образом, чтобы она касалась границы круга. Другими словами, диапазон $\gamma$ должна заключаться в клине, исходящем из предельной точки. Подведем итоги следующим образом:

Определение. Позволять $\gamma :[0,1)\to \mathbb {D}$ — непрерывный путь такой, что $\lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }\in S^{1}$ . Определять

{\begin{aligned}\Gamma _{\alpha }&=\{z:\arg z\in [\pi -\alpha ,\pi +\alpha ]\}\\\Gamma _{\alpha }(\theta )&=\mathbb {D} \cap e^{i\theta }(\Gamma _{\alpha }+1)\end{aligned}}

То есть, $\Gamma _{\alpha }(\theta )$ – это клин внутри диска с углом $2\alpha$ ось которого проходит между $e^{i\theta }$ и ноль. Мы говорим, что $\gamma$ сходится некасательно к $e^{i\theta }$ , или что это некасательный предел , если существует $0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}$ такой, что $\gamma$ содержится в $\Gamma _{\alpha }(\theta )$ и $\lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }$ .

Теорема Фату. Позволять

f\in H^{p}(\mathbb {D} ).

Тогда почти для всех

\theta \in [0,2\pi ],

\lim _{t\to 1}f(\gamma (t))=f_{1}(e^{i\theta })

для каждого некасательного предела

\gamma

сходящиеся к

e^{i\theta },

где

f_{1}

определяется, как указано выше.

Обсуждение

Доказательство использует симметрию ядра Пуассона с использованием максимальной функции Харди – Литтлвуда для окружности.
Аналогичная теорема часто определяется для пространства Харди над верхней полуплоскостью и доказывается примерно так же.

См. также

Харди космос

Ссылки

Джон Б. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции , (2006) Springer-Verlag, Нью-Йорк
Кранц, Стивен Г. (2007). «Граничное поведение голоморфных функций: глобальные и локальные результаты» . Азиатский математический журнал . 11 (2): 179–200. arXiv : math/0608650 . дои : 10.4310/AJM.2007.v11.n2.a2 . S2CID 56367819 .
Вальтер Рудин. Реальный и комплексный анализ (1987), 3-е изд., МакГроу Хилл, Нью-Йорк.
Элиас Стейн , Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций (1970), Princeton University Press, Принстон.