Ядро Пуассона

В математике, и конкретно в теории потенциала , ядро ​​Пуассона — это интегральное ядро , используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле на единичном круге . Ядро можно понимать как производную уравнения функции Грина Лапласа. Он назван в честь Симеона Пуассона .

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и двумерных задачах электростатики .На практике определение ядер Пуассона часто распространяется на n -мерные задачи.

Двумерные

На диске аппарата

В комплексной плоскости ядро ​​Пуассона единичного круга дается

$$P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.$$

Это можно рассматривать двояко: либо как функцию от r и θ , либо как семейство функций от θ, индексированных r .

Если $D=\{z:|z|<1\}$ — открытый единичный круг в C , T — граница диска, а f — функция на T , лежащая в L ¹ ( T ), то функция u, заданная формулой

$$u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\quad 0\leq r<1$$

гармонична f в D и имеет радиальный предел, совпадающий с почти всюду на границе T диска.

То, что граничное значение u равно f, можно доказать, используя тот факт, что при r → 1 функции P _r ( θ ) образуют приблизительную единицу в алгебре свертки L ¹ ( Т ). Как линейные операторы они стремятся к дельта-функции Дирака поточечно на L ^п ( Т ). По максимума принципу u — единственная такая гармоническая функция D. на

Свертки с этой приближенной единицей дают пример ядра суммируемости ряда Фурье функции из L ¹ ( Т ) ( Кацнельсон, 1976 ). Пусть f ∈ L ¹ ( T ) имеют ряд Фурье { f _k }. После преобразования Фурье свертка с P _r ( θ ) превращается в умножение на последовательность { r ^|к| } ∈ ℓ ¹ ( С ). Выполняя обратное преобразование Фурье полученного произведения { r ^|к| f _k дает средства Абеля A _r f f : }

$$A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx}.$$

Перестановка этого абсолютно сходящегося ряда показывает, что f граничное значение g + h , где g (соответственно h ) — голоморфная (соответственно антиголоморфная ) функция на D. —

Когда кто-то также требует, чтобы гармоническое расширение было голоморфным, тогда решения являются элементами пространства Харди . Это верно, когда все отрицательные коэффициенты Фурье функции f равны нулю. В частности, ядро ​​Пуассона обычно используется для демонстрации эквивалентности пространств Харди на единичном круге и единичном круге.

Пространство функций, являющихся пределами на T функций из H ^п ( z ) можно назвать H ^п ( Т ). Это замкнутое подпространство в L ^п ( T ) (по крайней мере, для p ≥ 1). Поскольку Л ^п ( T ) является банаховым пространством (при 1 ≤ p ≤ ∞), как и H ^п ( Т ).

В верхней полуплоскости

Единичный круг можно конформно отобразить в верхнюю полуплоскость с помощью некоторых преобразований Мёбиуса . Поскольку конформное отображение гармонической функции также является гармоническим, ядро ​​Пуассона переносится в верхнюю полуплоскость. В этом случае интегральное уравнение Пуассона принимает вид

$$u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,\qquad y>0.$$

Само ядро ​​задается

$$P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.$$

Дана функция $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$, Л ^п пространстве интегрируемых функций на действительной прямой, u можно понимать как гармоническое продолжение f в верхнюю полуплоскость. По аналогии с ситуацией для диска, когда u голоморфна в верхней полуплоскости, то u является элементом пространства Харди: $H^{p},$ и в частности,

$$\|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}$$

Таким образом, снова пространство Харди H ^п на верхней полуплоскости является банаховым пространством и, в частности, его ограничение на действительную ось является замкнутым подпространством $L^{p}(\mathbb {R} ).$ Ситуация аналогична только случаю единичного диска; мера Лебега для единичной окружности конечна, а для вещественной прямой — нет.

На мяче

Для шара радиуса $r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},$ ядро Пуассона принимает вид

$$P(x,\zeta )={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{r\omega _{n-1}|x-\zeta |^{n}}}$$

где $x\in B_{r},\zeta \in S$ (поверхность $B_{r}$), и $\omega _{n-1}$ — площадь поверхности единичной ( n − 1)-сферы .

Тогда, если u ( x ) — непрерывная функция, определенная на S , соответствующий интеграл Пуассона — это функция P [ u ]( x ), определенная формулой

$$P[u](x)=\int _{S}u(\zeta )P(x,\zeta )\,d\sigma (\zeta ).$$

Можно показать, что P [ u ]( x ) гармонична на шаре $B_{r}$ и что P [ u ]( x ) продолжается до непрерывной функции на замкнутом шаре радиуса r , а граничная функция совпадает с исходной функцией u .

В верхнем полупространстве

выражение для ядра Пуассона верхнего полупространства Также можно получить . Обозначим стандартные декартовы координаты $\mathbb {R} ^{n+1}$ к

$$(t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n}).$$

Верхнее полупространство — это множество, определяемое формулой

$$H^{n+1}=\left\{(t;x)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid t>0\right\}.$$

Ядро Пуассона для H ^{п +1} дается

$$P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{\left(t^{2}+\left\|x\right\|^{2}\right)^{(n+1)/2}}}$$

где

$$c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}.$$

Ядро Пуассона для верхнего полупространства естественным образом появляется как преобразование Фурье . преобразования Абеля в котором t играет роль вспомогательного параметра. А именно,

$$P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .$$

В частности, из свойств преобразования Фурье ясно, что, по крайней мере формально, свертка

$$P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)$$

является решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. Можно также показать, что при t → 0 P [ u ] ( t , x ) → u ( x ) в подходящем смысле.

См. также

• Интегральная формула Шварца

Ссылки

• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Дувр, ISBN  0-486-63331-4
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной I , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90328-3 .
• Экслер, С .; Бурдон, Поль; Рэми, Уэйд (1992), Теория гармонических функций , Springer-Verlag, ISBN  0-387-95218-7 .
• Кинг, Фредерик В. (2009), Hilbert Transforms Vol. Я , Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88762-5 .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN  0-691-08078-Х .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ядро Пуассона» . Математический мир .
• Гилбарг, Д .; Трудингер, Н. (12 января 2001 г.), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Springer, ISBN  3-540-41160-7 .