Ядро суммируемости

В математике ядро суммируемости — это семейство или последовательность периодических интегрируемых функций, удовлетворяющих определенному набору свойств, перечисленных ниже. Некоторые ядра, такие как ядро Фейера , особенно полезны в анализе Фурье . Ядра суммируемости связаны с аппроксимацией тождества ; определения приближения идентичности различаются, ^[1] но иногда определение аппроксимации единицы принимается таким же, как и для ядра суммируемости.

Определение

Позволять $\mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ . Ядро суммируемости — это последовательность $(k_{n})$ в $L^{1}(\mathbb {T} )$ это удовлетворяет

$\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1$
$\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ (равномерно ограниченный)
$\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ как $n\to \infty$ , для каждого $\delta >0$ .

Обратите внимание, что если $k_{n}\geq 0$ для всех $n$ , то есть $(k_{n})$ является положительным ядром суммируемости , то второе требование автоматически следует из первого.

С более обычным соглашением $\mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ , первое уравнение принимает вид ${\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1$ , а верхний предел интегрирования в третьем уравнении следует расширить до $\pi$ , так что условие 3 выше должно быть

$\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ как $n\to \infty$ , для каждого $\delta >0$ .

Это выражает тот факт, что масса концентрируется вокруг начала координат как $n$ увеличивается.

Можно также рассмотреть $\mathbb {R}$ скорее, чем $\mathbb {T}$ ; то (1) и (2) интегрируются по $\mathbb {R}$ , и (3) более $|t|>\delta$ .

Примеры

Ядро Фейера
Ядро Пуассона (непрерывный индекс)
Ядро Ландау
Ядро Дирихле является не ядром суммируемости, поскольку оно не удовлетворяет второму требованию.

Извилины

Позволять $(k_{n})$ быть ядром суммируемости, и $*$ обозначают операцию свертки .

Если $(k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )$ (непрерывные функции на $\mathbb {T}$ ), затем $k_{n}*f\to f$ в ${\mathcal {C}}(\mathbb {T} )$ , т.е. равномерно, как $n\to \infty$ . В случае ядра Фейера это известно как теорема Фейера .
Если $(k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} )$ , затем $k_{n}*f\to f$ в $L^{1}(\mathbb {T} )$ , как $n\to \infty$ .
Если $(k_{n})$ является радиально убывающей симметричной и $f\in L^{1}(\mathbb {T} )$ , затем $k_{n}*f\to f$ точечно ae , как $n\to \infty$ . При этом используется максимальная функция Харди-Литтлвуда . Если $(k_{n})$ не радиально убывающая симметрия, а убывающая симметризация ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ удовлетворяет $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty$ , то сходимость по-прежнему сохраняется, используя аналогичный аргумент.