Фурье-анализ

Тактовый сигнал бас-гитары открытой струны A нота (55 Гц).

Преобразование Фурье временного сигнала бас-гитары ноты ля открытой струны (55 Гц). Анализ Фурье выявляет колебательные составляющие сигналов и функций .

В математике Фурье анализ ( / ˈ f ʊr i eɪ , -i ər ​ / ) Это изучение того, как общие функции могут быть представлены или аппроксимированы суммами более простых тригонометрических функций . Анализ Фурье вырос из изучения рядов Фурье и назван в честь Жозефа Фурье , который показал, что представление функции в виде суммы тригонометрических функций значительно упрощает изучение теплопередачи .

Предмет анализа Фурье охватывает широкий спектр математики. В науке и технике процесс разложения функции на колебательные составляющие часто называют анализом Фурье, а операцию восстановления функции из этих частей — синтезом Фурье . Например, определение того, какие частоты компонентов присутствуют в музыкальной ноте, потребует вычисления преобразования Фурье выбранной музыкальной ноты. Затем можно было повторно синтезировать тот же звук, включив в него частотные компоненты, как показано в анализе Фурье. В математике термин анализ Фурье часто относится к изучению обеих операций.

Сам процесс разложения называется преобразованием Фурье . Его результату, преобразованию Фурье , часто присваивается более конкретное имя, которое зависит от области определения и других свойств преобразуемой функции. Более того, первоначальная концепция анализа Фурье со временем была расширена и стала применяться ко все более абстрактным и общим ситуациям, а общая область часто известна как гармонический анализ . Каждое преобразование, используемое для анализа (см. список преобразований, связанных с Фурье ), имеет соответствующее обратное преобразование, которое можно использовать для синтеза.

Чтобы использовать анализ Фурье, данные должны быть расположены на равном расстоянии друг от друга. Для анализа неравномерно разнесенных данных были разработаны различные подходы, в частности методы спектрального анализа наименьших квадратов (LSSA), которые используют методом наименьших квадратов аппроксимацию синусоиды к выборкам данных, аналогично анализу Фурье. Анализ Фурье, наиболее используемый спектральный метод в науке, обычно усиливает долгопериодический шум в записях с длинными промежутками; LSSA смягчает такие проблемы.

Приложения

Анализ Фурье имеет множество научных применений – в физике , уравнениях в частных производных , теории чисел , комбинаторике , обработке сигналов , цифровой обработке изображений , теории вероятностей , статистике , криминалистике , ценообразовании опционов , криптографии , численном анализе , акустике , океанографии , гидролокаторе , оптике , дифракции . , геометрия , анализ структуры белков и другие области.

Такая широкая применимость обусловлена ​​многими полезными свойствами преобразований :

• Преобразования являются линейными операторами и при правильной нормализации также унитарные (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем смысле, как теорема Планшереля и, чаще всего, через двойственность Понтрягина ).
• Преобразования обычно обратимы.
• Показательные функции являются собственными функциями , дифференцирования а это означает, что данное представление преобразует линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обыкновенные алгебраические. Следовательно, поведение линейной стационарной системы можно анализировать на каждой частоте независимо.
• Согласно теореме о свертке , преобразования Фурье превращают сложную операцию свертки в простое умножение, а это означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления операций на основе свертки, таких как фильтрация сигналов, полиномиальное умножение и умножение больших чисел .
• Дискретную версию преобразования Фурье (см. ниже ) можно быстро оценить на компьютерах с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).

В криминалистике лабораторные инфракрасные спектрофотометры используют анализ преобразования Фурье для измерения длин волн света, при которых материал будет поглощать инфракрасный спектр. Метод FT используется для декодирования измеренных сигналов и записи данных о длине волны. А с помощью компьютера эти вычисления Фурье выполняются быстро, так что за считанные секунды управляемый компьютером FT-IR прибор может создать картину поглощения инфракрасного излучения, сравнимую с картиной призменного прибора.

Преобразование Фурье также полезно для компактного представления сигнала. Например, при сжатии JPEG используется вариант преобразования Фурье ( дискретное косинусное преобразование ) небольших квадратных кусочков цифрового изображения. Компоненты Фурье каждого квадрата округляются для снижения арифметической точности , а слабые компоненты полностью исключаются, так что оставшиеся компоненты можно хранить очень компактно. При реконструкции изображения каждый квадрат изображения заново собирается из сохраненных приближенных компонентов, преобразованных Фурье, которые затем подвергаются обратному преобразованию для получения аппроксимации исходного изображения.

При обработке сигналов преобразование Фурье часто принимает временной ряд или функцию непрерывного времени и отображает его в частотный спектр . То есть функция переносит функцию из временной области в частотную область; это разложение функции на синусоиды разной частоты; в случае ряда Фурье или дискретного преобразования Фурье синусоиды представляют собой гармоники основной частоты анализируемой функции.

Когда функция $s(t)$ является функцией времени и представляет собой физический сигнал , преобразование имеет стандартную интерпретацию как частотный спектр сигнала. Величина полученной комплекснозначной функции $S(f)$ на частоте $f$ представляет собой амплитуду частотной составляющей, начальная фаза которой определяется углом $S(f)$ (полярные координаты).

Преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Их в равной степени можно применять для анализа пространственных частот практически для любой функциональной области. Это оправдывает их использование в таких разнообразных областях, как обработка изображений , теплопроводность и автоматическое управление .

При обработке сигналов, таких как звук , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать узкополосные компоненты составного сигнала, концентрируя их для облегчения обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, простого манипулирования преобразованными Фурье данными и обратного преобразования.

Некоторые примеры включают в себя :

• Эквализация аудиозаписей с помощью ряда полосовых фильтров ;
• Цифровой радиоприем без супергетеродинной схемы, как в современном сотовом телефоне или радиосканере ;
• Обработка изображений для удаления периодических или анизотропных артефактов, таких как неровности из чересстрочного видео , полосовые артефакты из полосовых аэрофотоснимков или волновые узоры из -за радиочастотных помех в цифровой камере;
• Взаимная корреляция похожих изображений для совпадения;
• Рентгеновская кристаллография для восстановления кристаллической структуры по дифракционной картине;
• Масс-спектрометрия ионного циклотронного резонанса с Фурье-преобразованием для определения массы ионов по частоте циклотронного движения в магнитном поле;
• Многие другие формы спектроскопии, включая инфракрасную и ядерно-магнитно-резонансную спектроскопию;
• Генерация звуковых спектрограмм, используемых для анализа звуков;
• Пассивный гидролокатор, используемый для классификации целей на основе шума оборудования.

анализа

Преобразование Фурье и 3 вариации, вызванные периодической выборкой (с интервалом $T$) и/или периодическое суммирование (с интервалом $P$) базовой функции временной области. Относительная вычислительная простота последовательности ДПФ и понимание, которое она дает $S(f)$ сделать его популярным инструментом анализа.

(Непрерывное

Основная статья: преобразование Фурье

Чаще всего неквалифицированный термин « преобразование Фурье» относится к преобразованию функций непрерывного действительного аргумента и создает непрерывную функцию частоты, известную как частотное распределение . Одна функция преобразуется в другую, и операция обратима. Когда областью определения входной (начальной) функции является время ( $t$), а областью определения выходной (конечной) функции является обычная частота , преобразование функции $s(t)$ на частоте $f$ задается комплексным числом :

$S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.$

Оценивая эту величину для всех значений $f$ производит функцию частотной области . Затем $s(t)$ можно представить как рекомбинацию комплексных экспонент всех возможных частот :

$s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,$

что является формулой обратного преобразования. Комплексное число, $S(f),$ передает как амплитуду, так и фазу частоты $f.$

См. Преобразование Фурье для получения дополнительной информации, в том числе :

• соглашения о нормализации амплитуды и масштабировании/единицах частоты
• трансформировать свойства
• табличные преобразования конкретных функций
• расширение/обобщение функций нескольких измерений, таких как изображения.

Ряд Фурье

Основная статья: ряд Фурье

Преобразование Фурье периодической функции, $s_{_{P}}(t),$ с периодом $P,$ становится гребенчатой ​​функцией Дирака , модулированной последовательностью комплексных коэффициентов :

$S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,$ (где $\int _{P}$ является интегралом по любому интервалу длины $P$).

Обратное преобразование, известное как ряд Фурье , представляет собой представление $s_{_{P}}(t)$ в терминах суммирования потенциально бесконечного числа гармонически связанных синусоидов или комплексных показательных функций, каждая из которых имеет амплитуду и фазу, заданную одним из коэффициентов :

$s_{_{P}}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.$

Любой $s_{_{P}}(t)$ может быть выражено как периодическое суммирование другой функции, $s(T)$:

$s_{_{P}}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),$

а коэффициенты пропорциональны выборкам $S(f)$ через дискретные промежутки времени ${\frac {1}{P}}$:

$S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).$

Обратите внимание, что любой $s(t)$ преобразование которого имеет одинаковые значения дискретных выборок, может использоваться при периодическом суммировании. Достаточное условие для восстановления $s(t)$ (и поэтому $S(f)$) только из этих выборок (т.е. из ряда Фурье) заключается в том, что ненулевая часть $s(t)$ ограничиваться известным интервалом продолжительности $P,$ что является двойственной теоремой выборки Найквиста-Шеннона в частотной области .

См. ряд Фурье для получения дополнительной информации, включая историческое развитие.

Дискретное преобразование Фурье

Основная статья: Преобразование Фурье дискретного времени

DTFT является математическим двойником ряда Фурье во временной области. Таким образом, сходящаяся периодическая сумма в частотной области может быть представлена ​​рядом Фурье, коэффициенты которого являются выборками связанной функции непрерывного времени :

$S_{\tfrac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,$

который известен как DTFT. образом, DTFT Таким $s[n]$ последовательность также является преобразованием Фурье модулированной гребенчатой ​​функции Дирака .

Коэффициенты ряда Фурье (и обратное преобразование) определяются следующим образом :

$s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.$

Параметр $T$ соответствует интервалу дискретизации, и этот ряд Фурье теперь можно признать формой формулы суммирования Пуассона . Таким образом, мы получили важный результат: когда дискретная последовательность данных $s[n],$ пропорционален выборкам базовой непрерывной функции, $s(t),$ можно наблюдать периодическое суммирование непрерывного преобразования Фурье, $S(f).$ Обратите внимание, что любой $s(t)$ с одинаковыми значениями дискретных выборок дает одинаковое DTFT. Но при определенных идеализированных условиях теоретически можно восстановить $S(f)$ и $s(t)$ точно. Достаточным условием идеального восстановления является то, что ненулевая часть $S(f)$ ограничиваться известным частотным интервалом шириной ${\tfrac {1}{T}}.$ Когда этот интервал $\left[-{\tfrac {1}{2T}},{\tfrac {1}{2T}}\right],$ применимой формулой восстановления является интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона . Это краеугольный камень в основе цифровой обработки сигналов .

Еще одна причина заинтересоваться $S_{\tfrac {1}{T}}(f)$ заключается в том, что он часто дает представление о величине псевдонимов, вызванных процессом выборки.

Применение DTFT не ограничивается выборочными функциями. см. в разделе Преобразование Фурье с дискретным временем Дополнительную информацию по этой и другим темам , включая :

• нормированные единицы частоты
• оконное управление (последовательности конечной длины)
• трансформировать свойства
• табличные преобразования конкретных функций

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Основная статья: Дискретное преобразование Фурье

Подобно ряду Фурье, DTFT периодической последовательности, $s_{_{N}}[n],$ с периодом $N$, становится гребенчатой ​​функцией Дирака, модулированной последовательностью комплексных коэффициентов (см. DTFT § Периодические данные ) :

$S[k]=\sum _{n}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,$ (где $\sum _{n}$ представляет собой сумму по любой последовательности длины $N.$

The $S[k]$ последовательность — это то, что обычно называют ДПФ одного цикла $s_{_{N}}.$ Это также $N$-периодический, поэтому никогда не требуется вычислять более $N$ коэффициенты. Обратное преобразование, также известное как дискретный ряд Фурье , имеет вид :

$s_{_{N}}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},$ где $\sum _{k}$ представляет собой сумму по любой последовательности длины $N.$

Когда $s_{_{N}}[n]$ выражается как периодическое суммирование другой функции :

$s_{_{N}}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],$ и $s[n]\,\triangleq \,T\cdot s(nT),$

коэффициенты представляют собой образцы $S_{\tfrac {1}{T}}(f)$ через дискретные промежутки времени ${\tfrac {1}{P}}={\tfrac {1}{NT}}$:

$S[k]=S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).$

И наоборот, когда кто-то хочет вычислить произвольное число $(N)$ дискретных отсчетов одного цикла непрерывного DTFT, $S_{\tfrac {1}{T}}(f),$ это можно сделать, вычислив относительно простое ДПФ $s_{_{N}}[n],$ как определено выше. В большинстве случаев $N$ выбирается равной длине ненулевой части $s[n].$ Увеличение $N,$ известный как заполнение нулями или интерполяция , приводит к более близко расположенным выборкам одного цикла $S_{\tfrac {1}{T}}(f).$ Уменьшение $N,$ вызывает перекрытие (сложение) во временной области (аналог псевдонимов ), что соответствует прореживанию в частотной области. (см. раздел «Преобразование Фурье дискретного времени» L=N×I ). В большинстве случаев, представляющих практический интерес, $s[n]$ последовательность представляет собой более длинную последовательность, которая была усечена применением оконной функции конечной длины или массива КИХ-фильтров .

ДПФ можно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ), что делает его практичным и важным преобразованием на компьютерах.

См. раздел «Дискретное преобразование Фурье» для получения дополнительной информации, включая :

• трансформировать свойства
• приложения
• табличные преобразования конкретных функций

Резюме

Для периодических функций и преобразование Фурье, и DTFT содержат только дискретный набор частотных компонентов (ряд Фурье), и преобразования расходятся на этих частотах. Одной из распространенных практик (не обсуждавшихся выше) является обработка этого расхождения с помощью дельта-функций Дирака и гребенчатых функций Дирака . Но одну и ту же спектральную информацию можно различить только по одному циклу периодической функции, поскольку все остальные циклы идентичны. Точно так же функции конечной длительности могут быть представлены в виде ряда Фурье без фактической потери информации, за исключением того, что периодичность обратного преобразования является простым артефактом.

На практике обычно продолжительность s ограничивается периодом P или N. (• ) Но эти формулы не требуют этого условия.

$s(t)$ преобразует (непрерывное время)

	Непрерывная частота	Дискретные частоты
Трансформировать	$S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt$	$\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\,\triangleq \,{\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt$
Обратный	$s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df$	$\underbrace {s_{_{P}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}} _{\text{Poisson summation formula (Fourier series)}}\,$

$s(nT)$преобразует (дискретное время)

	Непрерывная частота	Дискретные частоты
Трансформировать	$\underbrace {S_{\tfrac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson summation formula (DTFT)}}$	${\begin{aligned}\underbrace {S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{DFT}}\,\end{aligned}}$
Обратный	$s[n]=T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df$ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{inverse Fourier transform}}\,$	$s_{_{N}}[n]=\underbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{inverse DFT}}$

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие :

${\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}$

Отсюда вытекают различные зависимости, например :

• Преобразование действительной функции $(s_{_{RE}}+s_{_{RO}})$ это четная симметричная функция $S_{RE}+i\ S_{IO}.$ И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
• Преобразование мнимой функции $(i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})$ нечетная симметричная функция $S_{RO}+i\ S_{IE},$ и обратное верно.
• Преобразование четно-симметричной функции $(s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})$ это действительная функция $S_{RE}+S_{RO},$ и обратное верно.
• Преобразование нечетно-симметричной функции $(s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})$ — мнимая функция $i\ S_{IE}+i\ S_{IO},$ и обратное верно.

История

Смотрите также: ряд Фурье § Историческое развитие

Ранняя форма гармонических рядов восходит к древней вавилонской математике , где они использовались для вычисления эфемерид (таблиц астрономических положений).

Классические греческие концепции деферента и эпицикла в Птолемея системе астрономии были связаны с рядами Фурье (см. Деферент и эпицикл § Математический формализм ).

В наше время варианты дискретного преобразования Фурье использовались Алексисом Клеро в 1754 году для вычисления орбиты. которая была описана как первая формула ДПФ, и в 1759 году Жозеф Луи Лагранж при вычислении коэффициентов тригонометрического ряда для колеблющейся струны. Технически работа Клеро представляла собой косинусный ряд (разновидность дискретного косинусного преобразования ), а работа Лагранжа представляла собой только синусоидальный ряд (разновидность дискретного синусоидального преобразования ); истинное косинус+синусное ДПФ было использовано Гауссом в 1805 году для тригонометрической интерполяции орбит астероидов . Эйлер и Лагранж дискретизировали проблему вибрирующей струны, используя то, что сегодня назвали бы выборками.

Ранним современным развитием анализа Фурье стала статья Лагранжа «Reflexions sur la resolution algébrique des équations» 1770 года , в которой в методе резольвент Лагранжа использовалось сложное разложение Фурье для изучения решения кубического уравнения : Лагранж преобразовал корни $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ на резольвенты :

${\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}$

где ζ — кубический корень из единицы , который является ДПФ порядка 3.

Ряд авторов, в частности Жан ле Рон д'Аламбер и Карл Фридрих Гаусс , использовали тригонометрические ряды для изучения уравнения теплопроводности . но прорывным достижением стала статья 1807 года « Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les Corps Solides» Жозефа Фурье , чья решающая идея заключалась в моделировании всех функций с помощью тригонометрических рядов, введя ряд Фурье.

Историки разделились во мнениях относительно того, насколько следует отдать должное Лагранжу и другим за разработку теории Фурье : Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер ввели тригонометрические представления функций, а Лагранж дал решение волнового уравнения в виде ряда Фурье, поэтому вклад Фурье заключался главным образом в смелое утверждение, что произвольная функция может быть представлена ​​рядом Фурье.

Последующее развитие этой области известно как гармонический анализ , а также является ранним примером теории представлений .

Первый алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) для ДПФ был открыт около 1805 года Карлом Фридрихом Гауссом при интерполяции измерений орбиты астероидов Юнона и Паллада , хотя именно этот конкретный алгоритм БПФ чаще приписывают его современным переоткрывателям Кули и Тьюки .

Преобразования время-частота

Дополнительная информация: Частотно-временной анализ.

С точки зрения обработки сигналов , функция (времени) представляет собой представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без информации о частоте, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное разрешение по частоте , но не имеет информации о времени.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования для представления сигналов в форме, содержащей некоторую информацию о времени и некоторую информацию о частоте - в соответствии с принципом неопределенности между ними существует компромисс. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье , преобразование Габора или дробное преобразование Фурье (FRFT), или могут использоваться различные функции для представления сигналов, как в вейвлет-преобразованиях и лирплетных преобразованиях , с аналоговым вейвлетом. (непрерывного) преобразования Фурье является непрерывным вейвлет-преобразованием .

локально компактных абелевых топологических группах

Варианты Фурье также могут быть обобщены на преобразования Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах , которые изучаются в гармоническом анализе ; там преобразование Фурье переводит функции группы в функции двойственной группы. Эта трактовка также позволяет сформулировать общую формулировку теоремы о свертке , которая связывает преобразования Фурье и свертки . См. также двойственность Понтрягина для получения обобщенной основы преобразования Фурье.

Более конкретно, анализ Фурье можно провести по смежным классам, даже дискретные смежные классы.

См. также

• Сопряженный ряд Фурье
• Обобщенный ряд Фурье
• Ряд Фурье – Бесселя
• Преобразования, связанные с Фурье
• Преобразование Лапласа (LT)
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Средняя трансформация
• Неравномерное дискретное преобразование Фурье (NDFT)
• Квантовое преобразование Фурье (QFT)
• Теоретико-числовое преобразование
• Базисные векторы
• Биспектр
• Характеристическая функция (теория вероятностей)
• Ортогональные функции
• Пространство Шварца
• Спектральная плотность
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная музыка
• функция Уолша
• Вейвлет

Дальнейшее чтение

• Хауэлл, Кеннет Б. (2001). Принципы анализа Фурье . ЦРК Пресс. ISBN  978-0-8493-8275-8 .
• Камен, EW; Черт возьми, BS (2 марта 2000 г.). Основы сигналов и систем с использованием Интернета и Matlab (2-е изд.). Прентисс-Холл. ISBN  978-0-13-017293-8 .
• Мюллер, Мейнард (2015). Коротко о преобразовании Фурье (PDF) . Спрингер. В «Основах обработки музыки» , раздел 2.1, стр. 40–56. дои : 10.1007/978-3-319-21945-5 . ISBN  978-3-319-21944-8 . S2CID   8691186 . Архивировано (PDF) из оригинала 8 апреля 2016 г.
• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998). Справочник интегральных уравнений . Бока-Ратон: CRC Press. ISBN  978-0-8493-2876-3 .
• Смит, Стивен В. (1999). Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов (второе изд.). Сан-Диего: Калифорнийское техническое издательство. ISBN  978-0-9660176-3-2 .
• Штейн, Э.М.; Вайс, Г. (1971). Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-08078-9 .

Внешние ссылки

• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
• Интуитивное объяснение теории Фурье Стивена Легара.
• Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекция 6 посвящена 1- и 2-D преобразованиям Фурье. В лекциях 7–15 он используется. , Алан Питерс
• Мориарти, Филип; Боули, Роджер (2009). «Σ-суммирование (и анализ Фурье)» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
• Введение в анализ Фурье временных рядов на Medium