Дискретный ряд Фурье

В цифровой обработке сигналов — дискретный ряд Фурье (DFS), ряд Фурье , синусоидальные компоненты которого являются функциями дискретного времени, а не непрерывного времени. Конкретным примером является обратное дискретное преобразование Фурье (обратное ДПФ).

Введение

Связь с рядом Фурье

Экспоненциальная форма ряда Фурье имеет вид :

$s(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t},$

который является периодическим с произвольным периодом, обозначаемым $P.$ Когда непрерывное время $t$ заменяется дискретным временем $nT,$ для целых значений $n$ и временной интервал $T,$ серия становится :

$s(nT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}nT},\quad n\in \mathbb {Z} .$

С $n$ ограничены целочисленными значениями, мы обычно ограничиваем соотношение $P/T=N$ к целочисленному значению, что приводит к $N$-периодическая функция :

Дискретный ряд Фурье

$s_{_{N}}[n]\triangleq s(nT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}$

которые являются гармониками основной цифровой частоты $1/N.$ $N$ нижний индекс напоминает нам о его периодичности. Заметим, что некоторые авторы будут ссылаться только на $S[k]$ сами коэффициенты в виде дискретного ряда Фурье.

Из-за $N$-периодичность $e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}$ ядре бесконечное суммирование можно «сложить» следующим образом :

${\begin{aligned}s_{_{N}}[n]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k-mN}{N}}n}\ S[k-mN]\right)\\&=\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\underbrace {\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }S[k-mN]\right)} _{\triangleq S_{N}[k]},\end{aligned}}$

что пропорционально (в разы $N$) к обратному ДПФ одного цикла периодического суммирования, $S_{N}.$