Преобразование Габора

, Преобразование Габора названное в честь Денниса Габора , является частным случаем кратковременного преобразования Фурье . Он используется для определения синусоидальной частоты и фазового состава локальных участков сигнала по мере их изменения с течением времени. Функция, подлежащая преобразованию, сначала умножается на функцию Гаусса , которую можно рассматривать как оконную функцию , а полученная функция затем преобразуется с помощью преобразования Фурье для получения частотно-временного анализа . ^[1] Функция окна означает, что сигнал вблизи анализируемого момента будет иметь более высокий вес. Преобразование Габора сигнала x ( t ) определяется этой формулой:

G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt

Функция Гаусса имеет бесконечный диапазон и ее реализация нецелесообразна. Однако можно выбрать уровень значимости (например, 0,00001) для распределения функции Гаусса.

{\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a\right|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}

За этими пределами интеграции ( $\left|a\right|>1.9143$ ) функция Гаусса достаточно мала, чтобы ее можно было игнорировать. Таким образом, преобразование Габора можно удовлетворительно аппроксимировать как

G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt

Это упрощение делает преобразование Габора практичным и реализуемым.

Ширина оконной функции также может быть изменена для оптимизации соотношения частотно-временного разрешения для конкретного приложения путем замены ${-{\pi }(t-\tau )^{2}}$ с ${-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}$ для некоторых избранных $\alpha$ .

Обратное преобразование Габора

Преобразование Габора обратимо. Поскольку он является чрезмерно полным, исходный сигнал можно восстановить различными способами. Например, подход «открытия окон» можно использовать для любого $\tau _{0}\in (-\infty ,\infty )$ :

x(t)=e^{\pi (t-\tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega

Альтернативно, все временные компоненты могут быть объединены:

x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega \,d\tau

Свойства преобразования Габора

Преобразование Габора обладает многими свойствами, подобными свойствам преобразования Фурье. Эти свойства перечислены в следующих таблицах.

	Сигнал	Преобразование Габора	Примечания
	$x(t)\,$	$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$
1	$a\cdot x(t)+b\cdot y(t)\,$	$a\cdot G_{x}(\tau ,\omega )+b\cdot G_{y}(\tau ,\omega )\,$	Свойство линейности
2	$x(t-t_{0})\,$	$G_{x}(\tau -t_{0},\omega )e^{-j\omega t_{0}}\,$	Перенос имущества
3	$x(t)e^{j\omega _{0}t}\,$	$G_{x}(\tau ,\omega -\omega _{0})\,$	Свойство модуляции

		Примечания
1	$\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega )\right\|^{2}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left\|x(t)\right\|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt\approx \int _{\tau -1.9143}^{\tau +1.9143}\left\|x(t)\right\|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt$	Свойство интеграции мощности
2	$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )G_{y}^{}(\tau ,\omega )\,d\omega \,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y^{}(t)\,d\tau$	Свойство суммы энергии
3	${\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega )\right\|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right\|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega )\right\|^{2}\,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega _{0})\right\|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega )=FT[x(t)]=0{\text{ for }}\omega >\omega _{0}\end{cases}}$	Свойство затухания мощности
4	$\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =2\pi e^{-\pi \tau ^{2}}x(0)$	Восстановление имущества

Применение и пример

Основное применение преобразования Габора используется в частотно-временном анализе . В качестве примера возьмем следующую функцию. Входной сигнал имеет частотную составляющую 1 Гц, когда t ≤ 0, и частотную составляющую 2 Гц, когда t > 0.

x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0.\end{cases}}

Но если общая доступная полоса пропускания составляет 5 Гц, другие полосы частот, кроме x ( t ), будут потрачены впустую. Благодаря частотно-временному анализу с применением преобразования Габора можно узнать доступную полосу частот, и эти полосы частот можно использовать для других приложений, при этом полоса пропускания сохраняется. Изображение справа показывает входной сигнал x ( t ) и выходные данные преобразования Габора. Как мы и ожидали, частотное распределение можно разделить на две части. Один — t ≤ 0, а другой — t > 0. Белая часть — это полоса частот, занимаемая x ( t ), а черная часть не используется. Обратите внимание, что для каждого момента времени существует как отрицательная (верхняя белая часть), так и положительная (нижняя белая часть) частотная составляющая.

Дискретное преобразование Габора

Дискретная версия представления Габора

y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)

с $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$

можно легко получить путем дискретизации базисной функции Габора в этих уравнениях. При этом непрерывный параметр t заменяется дискретным временем k . Кроме того, необходимо учитывать теперь конечный предел суммирования в представлении Габора. Таким образом, дискретизированный сигнал ( k ) разбивается на M временных фреймов длины N. y В соответствии с $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$ , коэффициент Ω для критической выборки равен $\Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}$ .

Подобно ДПФ (дискретному преобразованию Фурье), частотная область, разделенная на N получается дискретных частей. Обратное преобразование этих N спектральных разделов затем приводит к N значениям y ( k ) для временного окна, которое состоит из N выборочных значений. Для всех временных окон M с N выборочными значениями каждый сигнал y ( k ) содержит K = N $\cdot$ Выборочные значения M : (дискретное представление Габора)

y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)

с $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$

Согласно приведенному выше уравнению, N $\cdot$ М коэффициенты $C_{nm}$ соответствуют числу выборочных значений K сигнала.

Для избыточной выборки $\Omega$ установлено на $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}$ с N ′ > N , что приводит к N ′ > N коэффициентов суммирования во второй сумме дискретного представления Габора. В этом случае количество полученных коэффициентов Габора будет равно M $\cdot$ Н ′ > К . Следовательно, доступно больше коэффициентов, чем выборочных значений, и, следовательно, будет достигнуто избыточное представление.

Масштабированное преобразование Габора

Как и при кратковременном преобразовании Фурье, разрешение во временной и частотной области можно регулировать, выбирая различную ширину оконной функции. В случаях преобразования Габора путем добавления дисперсии $\sigma$ , как следующее уравнение:

Масштабированное (нормализованное) гауссово окно обозначается как:

W_{\text{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}

Таким образом, масштабированное преобразование Габора можно записать как:

G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad

С большим $\sigma$ , оконная функция будет узкой, что приведет к более высокому разрешению во временной области, но более низкому разрешению в частотной области. Аналогично, небольшой $\sigma$ приведет к широкому окну с более высоким разрешением в частотной области, но более низким разрешением во временной области.

Временно-каузальный аналог преобразования Габора

При обработке временных сигналов доступ к данным из будущего невозможен, что приводит к проблемам при попытке использовать функции Габора для обработки сигналов в реальном времени. Временно-причинный аналог фильтра Габора был разработан в ^[2] основан на замене ядра Гаусса в функции Габора на время-каузальное и время-рекурсивное ядро, называемое временем-каузальным предельным ядром. Таким образом, частотно-временной анализ, основанный на результирующем комплекснозначном расширении ядра причинно-временного предела, позволяет улавливать по существу такие же преобразования временного сигнала, как и функция Габора, и соответствующие группе Гейзенберга, см. ^[2] для получения более подробной информации.

См. также

Ссылки

^ Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153–183, январь 2009 г.
^ Jump up to: ^а ^б Линдеберг, Т. (23 января 2023 г.). «Причинное во времени и рекурсивное во времени масштабно-ковариантное масштабно-пространственное представление временных сигналов и прошлого времени» . Биологическая кибернетика : 1–39. arXiv : 2202.09209 . дои : 10.1007/s00422-022-00953-6 .

Д. Габор, Теория коммуникации, Часть 1, J. Inst. из избранных. англ. Часть III, Радио и связь, том 93, с. 429 1946 ( http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf )
Цзянь-Цзюнь Дин, Заметка о временно-частотном анализе и вейвлет-преобразовании, факультет электротехники, Национальный тайваньский университет, Тайбэй, Тайвань, 2007 г.

[1] Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153–183, январь 2009 г.

[Lin23-2] Jump up to: ^а ^б Линдеберг, Т. (23 января 2023 г.). «Причинное во времени и рекурсивное во времени масштабно-ковариантное масштабно-пространственное представление временных сигналов и прошлого времени» . Биологическая кибернетика : 1–39. arXiv : 2202.09209 . дои : 10.1007/s00422-022-00953-6 .

[1]

[2]