Частотно-временное представление

Частотно -временное представление ( TFR ) — это представление сигнала ( считающегося функцией времени), представленного как по времени, так и по частоте . ^[1] Частотно-временной анализ означает анализ во частотно-временной области, обеспечиваемый СКР. Это достигается за счет использования формулировки, часто называемой «Распределение время-частота», сокращенно TFD.

СКР часто представляют собой комплексные поля во времени и частоте, где модуль поля представляет собой либо амплитуду, либо «плотность энергии» (концентрацию среднеквадратического значения по времени и частоте), а аргумент поля представляет фазу.

Предыстория и мотивация

Сигнал временным как функцию времени можно рассматривать как представление с идеальным разрешением .Напротив, величину ( преобразования Фурье FT) сигнала можно рассматривать как представление с идеальным спектральным разрешением , но без информации о времени, поскольку величина преобразования Фурье (FT) передает частотный контент, но не может передать, когда во времени разные события происходят в сигнале.

TFR обеспечивают мост между этими двумя представлениями, поскольку они одновременно предоставляют некоторую временную информацию и некоторую спектральную информацию. Таким образом, TFR полезны для представления и анализа сигналов, содержащих несколько изменяющихся во времени частот.

Формулирование СКР и ТФД

Одну форму TFR (или TFD) можно сформулировать путем мультипликативного сравнения сигнала с самим собой, расширенного в разных направлениях относительно каждого момента времени. Такие представления и формулировки известны как квадратичные или «билинейные» TFR или TFD (QTFR или QTFD), поскольку представление является квадратичным по сигналу (см. Билинейное частотно-временное распределение ). Эта формулировка была впервые описана Юджином Вигнером в 1932 году в контексте квантовой механики , а затем переформулирована Вилле в 1948 году как общий СКР, чтобы сформировать то, что сейчас известно как распределение Вигнера-Вилля , как это было показано в ^[2] что формула Вигнера должна использовать аналитический сигнал, определенный в статье Вилле, чтобы быть полезной в качестве представления и для практического анализа. Сегодня QTFR включают в себя спектрограмму (квадрат величины кратковременного преобразования Фурье ), масштабограмму (квадрат величины вейвлет-преобразования) и сглаженное псевдо-Вигнеровское распределение.

Хотя квадратичные TFR одновременно обеспечивают идеальное временное и спектральное разрешение, квадратичная природа преобразований создает перекрестные условия, также называемые «интерференциями». Перекрестные условия, вызванные билинейной структурой TFD и TFR, могут быть полезны в некоторых приложениях, таких как классификация, поскольку перекрестные условия предоставляют дополнительную информацию для алгоритма распознавания. Однако в некоторых других приложениях эти перекрестные условия могут мешать некоторым квадратичным СКР, и их необходимо будет уменьшить. Один из способов сделать это — сравнить сигнал с другой функцией. Такие результирующие представления известны как линейные СКР, поскольку представление является линейным по сигналу. Примером такого представления является оконное преобразование Фурье (также известное как кратковременное преобразование Фурье ), которое локализует сигнал, модулируя его с помощью оконной функции, перед выполнением преобразования Фурье для получения частотного содержания сигнала в области окна.

Вейвлет-преобразования

Вейвлет-преобразования, в частности непрерывное вейвлет-преобразование , расширяют сигнал с точки зрения вейвлет-функций, которые локализованы как по времени, так и по частоте. Таким образом, вейвлет-преобразование сигнала может быть представлено как по времени, так и по частоте. Анализ непрерывного вейвлет-преобразования очень полезен для выявления нестационарных сигналов во временных рядах. ^[3] например, связанные с климатом ^[4] или оползни. ^[5]

Понятия времени, частоты и амплитуды, используемые для генерации TFR из вейвлет-преобразования, изначально были разработаны интуитивно. В 1992 году был опубликован количественный вывод этих соотношений, основанный на приближении стационарной фазы . ^[6]

Линейное каноническое преобразование

Линейные канонические преобразования — это линейные преобразования частотно-временного представления, сохраняющие симплектическую форму . К ним относятся и обобщают преобразование Фурье , дробное преобразование Фурье и другие, обеспечивая тем самым единое представление об этих преобразованиях с точки зрения их действия в частотно-временной области.

См. также

Ссылки

^ Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing, vol. 19, нет. 1, стр. 153–183, январь 2009 г.
^ Б. Боашаш, «Примечание об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов», IEEE Trans. на Акусте. Речь. и обработка сигналов, вып. 36, выпуск 9, стр. 1518–1521, сентябрь 1988 г. дои : 10.1109/29.90380
^ Торренс, Кристофер; Компо, Гилберт П. (январь 1998 г.). «Практическое руководство по вейвлет-анализу» . Бюллетень Американского метеорологического общества . 79 (1): 61–78. doi : 10.1175/1520-0477(1998)079<0061:APGTWA>2.0.CO;2 . ISSN 0003-0007 .
^ Гринстед, А.; Мур, Дж. К.; Евреева, С. (18 ноября 2004 г.). «Применение перекрестного вейвлет-преобразования и вейвлет-когерентности к геофизическим временным рядам» . Нелинейные процессы в геофизике . 11 (5/6): 561–566. дои : 10.5194/npg-11-561-2004 . ISSN 1023-5809 .
^ Томас, Р.; Ли, З.; Лопес-Санчес, JM; Лю, П.; Синглтон, А. (01 июня 2016 г.). «Использование вейвлет-инструментов для анализа сезонных изменений данных временных рядов InSAR: пример оползня Хуангтупо» . Оползни . 13 (3): 437–450. дои : 10.1007/s10346-015-0589-y . ISSN 1612-5118 .
^ Дельпра Н., Эскуди Б., Гиймен П., Кронланд-Мартине Р., Чамитчян П. и Торрксани Б. (1992). «Асимптотический вейвлет и анализ Габора: извлечение мгновенных частот» . Транзакции IEEE по теории информации . 38 (2): 644–664. дои : 10.1109/18.119728 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Внешние ссылки

[1] Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing, vol. 19, нет. 1, стр. 153–183, январь 2009 г.

[2] Б. Боашаш, «Примечание об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов», IEEE Trans. на Акусте. Речь. и обработка сигналов, вып. 36, выпуск 9, стр. 1518–1521, сентябрь 1988 г. дои : 10.1109/29.90380

[3] Торренс, Кристофер; Компо, Гилберт П. (январь 1998 г.). «Практическое руководство по вейвлет-анализу» . Бюллетень Американского метеорологического общества . 79 (1): 61–78. doi : 10.1175/1520-0477(1998)079<0061:APGTWA>2.0.CO;2 . ISSN 0003-0007 .

[4] Гринстед, А.; Мур, Дж. К.; Евреева, С. (18 ноября 2004 г.). «Применение перекрестного вейвлет-преобразования и вейвлет-когерентности к геофизическим временным рядам» . Нелинейные процессы в геофизике . 11 (5/6): 561–566. дои : 10.5194/npg-11-561-2004 . ISSN 1023-5809 .

[5] Томас, Р.; Ли, З.; Лопес-Санчес, JM; Лю, П.; Синглтон, А. (01 июня 2016 г.). «Использование вейвлет-инструментов для анализа сезонных изменений данных временных рядов InSAR: пример оползня Хуангтупо» . Оползни . 13 (3): 437–450. дои : 10.1007/s10346-015-0589-y . ISSN 1612-5118 .

[6] Дельпра Н., Эскуди Б., Гиймен П., Кронланд-Мартине Р., Чамитчян П. и Торрксани Б. (1992). «Асимптотический вейвлет и анализ Габора: извлечение мгновенных частот» . Транзакции IEEE по теории информации . 38 (2): 644–664. дои : 10.1109/18.119728 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]