Приближение стационарной фазы

В математике является приближение стационарной фазы основным принципом асимптотического анализа , применяемым к функциям, заданным интегрированием по быстро меняющейся комплексной экспоненте.

Этот метод берет свое начало в 19 веке и принадлежит Джорджу Габриэлю Стоксу и лорду Кельвину . Он тесно связан с методом Лапласа и методом наискорейшего спуска , но вклад Лапласа предшествует другим.

Основы

Основная идея методов стационарной фазы основана на подавлении синусоид с быстро меняющейся фазой. Если многие синусоиды имеют одинаковую фазу и складываются вместе, они складываются конструктивно. Однако если эти же синусоиды имеют фазы, которые быстро изменяются при изменении частоты, они будут складываться бессвязно, меняясь между конструктивным и деструктивным сложением в разное время. .

Формула

Сдача в аренду $\Sigma$ обозначим множество критических точек функции $f$ (т.е. точки, где $\nabla f=0$), в предположении, что $g$ либо имеет компактный носитель, либо имеет экспоненциальное затухание, и что все критические точки невырождены (т. е. $\det(\mathrm {Hess} (f(x_{0})))\neq 0$ для $x_{0}\in \Sigma$) имеем следующую асимптотическую формулу: $k\to \infty$:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_{0})}|\det({\mathrm {Hess} }(f(x_{0})))|^{-1/2}e^{{\frac {i\pi }{4}}\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f(x_{0})))}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o(k^{-n/2})$

Здесь $\mathrm {Hess} (f)$ обозначает гессиан ​ $f$, и $\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))$ обозначает сигнатуру гессиана, т.е. количество положительных собственных значений минус количество отрицательных собственных значений.

Для $n=1$, это сводится к:

$\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})$

В этом случае предположения о $f$ свести к тому, чтобы все критические точки были невырожденными.

Это всего лишь Вика версия формулы метода наискорейшего спуска с вращением .

Пример

Рассмотрим функцию

$f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega$.

Фазовый член в этой функции $\phi =k(\omega )x-\omega t$, является стационарным, когда

${\frac {d}{d\omega }}{\mathopen {}}\left(k(\omega )x-\omega t\right){\mathclose {}}=0$

или эквивалентно,

${\frac {dk(\omega )}{d\omega }}{\Big |}_{\omega =\omega _{0}}={\frac {t}{x}}$.

Решения этого уравнения дают доминирующие частоты. $\omega _{0}$ для некоторых $x$ и $t$. Если мы расширим $\phi$ как сериал Тейлора о $\omega _{0}$ и пренебрегать условиями порядка выше, чем $(\omega -\omega _{0})^{2}$, у нас есть

$\phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots$

где $k''$ обозначает вторую производную $k$. Когда $x$ относительно велика, даже небольшая разница $(\omega -\omega _{0})$ будет генерировать быстрые колебания внутри интеграла, приводящие к отмене. Поэтому мы можем расширить пределы интегрирования за пределы разложения Тейлора. Если мы воспользуемся формулой,

$\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{|c|}}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}$.

$f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega$.

Это интегрируется в

$f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]$.

Шаги сокращения

Первое основное общее утверждение используемого принципа состоит в том, что асимптотическое поведение ( k ) зависит только от критических точек f I . Если по выбору g интеграл локализовать в области пространства, где f не имеет критической точки, результирующий интеграл стремится к 0, поскольку частота колебаний стремится к бесконечности. См., например, лемму Римана – Лебега .

Второе утверждение состоит в том, что когда и изолированы , то вопрос можно f — функция Морса, так что особые точки f невырождены свести к случаю n = 1. Фактически, тогда выбор g может быть сделано для разбиения интеграла на случаи, имеется только одна критическая точка P. в каждом из которых В этот момент, поскольку определитель Гессе в точке P по предположению не равен 0, лемма Морса применяется . Заменой координат f можно заменить на

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{j}^{2})-(x_{j+1}^{2}+x_{j+2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})$.

Значение j задается сигнатурой матрицы Гессе f ​ в P . Что касается g , существенным случаем является то, что g является произведением функций неровностей от x _i . Предполагая теперь без ограничения общности, что P является началом координат, возьмем гладкую функцию рельефа h со значением 1 на интервале [−1, 1] и быстро стремящуюся к 0 вне его. Брать

$g(x)=\prod _{i}h(x_{i})$,

тогда теорема Фубини сводит I ( k ) к произведению интегралов по действительной прямой, например

$J(k)=\int h(x)e^{ikf(x)}\,dx$

с f ( x ) = ± x ² . Случай со знаком минус является комплексно сопряженным случаю со знаком плюс, поэтому необходимая асимптотическая оценка по существу одна.

Таким образом можно найти асимптотику осциллирующих интегралов для функций Морса. Вырожденный случай требует дополнительных методов (см., например, функцию Эйри ).

Одномерный случай

Главное утверждение следующее:

$\int _{-1}^{1}e^{ikx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{k}}}e^{i\pi /4}+{\mathcal {O}}{\mathopen {}}\left({\frac {1}{k}}\right){\mathclose {}}$.

Фактически, с помощью контурного интегрирования можно показать, что основным членом в правой части уравнения является значение интеграла в левой части, расширенное в диапазоне $[-\infty ,\infty ]$ (доказательство см. в «Интеграле Френеля» ). Поэтому речь идет об оценке интеграла, скажем, по $[1,\infty ]$.

Это модель всех одномерных интегралов. $I(k)$ с $f$ наличие единственной невырожденной критической точки, в которой $f$ имеет вторую производную $>0$. Фактически модельный случай имеет вторую производную 2 при 0. Для масштабирования с использованием $k$, обратите внимание, что замена $k$ к $ck$где $c$ является константой, то же самое, что масштабирование $x$ к ${\sqrt {c}}$. Отсюда следует, что для общих значений $f''(0)>0$, фактор ${\sqrt {\pi /k}}$ становится

${\sqrt {\frac {2\pi }{kf''(0)}}}$.

Для $f''(0)<0$ как упоминалось ранее, используется формула комплексного сопряжения.

Члены низшего порядка

Как видно из формулы, приближение стационарной фазы является приближением первого порядка асимптотического поведения интеграла. Члены низшего порядка можно понимать как сумму диаграмм Фейнмана с различными весовыми коэффициентами для хорошо себя ведущих. $f$.

См. также

• Общие интегралы в квантовой теории поля
• метод Лапласа
• Метод наискорейшего спуска

Ссылки

• Бляйстейн Н. и Хандельсман Р. (1975), Асимптотические разложения интегралов , Дувр, Нью-Йорк.
• Виктор Гиймен и Шломо Штернберг (1990), Геометрическая асимптотика (см. главу 1).
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные операторы с частными производными, Том 1 , Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-00662-6 .
• Аки, Кейти; И Ричардс, Пол Г. (2002). «Количественная сейсмология» (2-е изд.), стр. 255–256. Университетские научные книги, ISBN   0-935702-96-2
• Вонг, Р. (2001), Асимптотические аппроксимации интегралов , Классика прикладной математики, Vol. 34. Исправленная перепечатка оригинала 1989 года. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания. xviii+543 страницы, ISBN   0-89871-497-4 .
• Дьедонне, Ж. (1980), Исчисление бесконечно малых , Герман, Париж

Внешние ссылки

• «Стационарная фаза, метод» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]