Интеграл Френеля

Сюжеты S ( х ) и С ( Икс ) . Максимум C ( x ) составляет 0,977451424 ​ . около Если бы подынтегральные выражения S и C были определены с использованием п / 2 т ² вместо т ² , то изображение будет масштабироваться по вертикали и горизонтали (см. ниже).

Интегралы Френеля S ( x ) и C ( x ) — две трансцендентные функции , названные в честь Огюстена-Жана Френеля, которые используются в оптике и тесно связаны с функцией ошибок ( erf ). Они возникают при описании в ближнем поле явлений дифракции Френеля и определяются посредством следующих интегральных представлений:

$$S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.$$

Параметрическая кривая ${\bigl (}S(t),C(t){\bigr )}$ — это спираль Эйлера или клотоида, кривая, кривизна которой линейно меняется в зависимости от длины дуги.

Определение

Интегралы Френеля с аргументами п / 2 т ² вместо т ² сходиться к 1/2 ​ ​ вместо 1 / 2 · √ π ⁄ 2 .

Интегралы Френеля допускают следующие разложения в степенные ряды , которые сходятся для всех x :

$${\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}$$

Некоторые широко используемые таблицы использовать п / 2 т ² вместо т ² для аргумента интегралов, определяющих S ( x ) и C ( x ) . Это меняет их пределы на бесконечности с 1 / 2 · √ п / 2 к 1 / 2 а длина дуги первого витка спирали от √ 2 π до 2 (при t = 2 ). Эти альтернативные функции обычно известны как нормированные интегралы Френеля .

Спираль Эйлера

Основная статья: спираль Эйлера

Спираль Эйлера ( Икс , y ) знак равно ( C ( т ), S ( т )) . Спираль сходится к центру отверстий на изображении, когда t стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

Анимация, изображающая эволюцию спирали Корню с касательной окружностью с тем же радиусом кривизны, что и на ее кончике, также известной как соприкасающаяся окружность .

Спираль Эйлера, также известная как спираль Корню или клотоида, представляет собой кривую, созданную параметрическим графиком зависимости S ( t ) от C ( t ) . Спираль Эйлера была впервые изучена в середине 18 века Леонардом Эйлером в контексте теории пучков Эйлера-Бернулли . Столетие спустя Мария Альфред Корню построила ту же спираль, что и номограмму для вычислений дифракции.

Из определений интегралов Френеля бесконечно малые dx и dy таковы:

$${\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}$$

Таким образом, длину спирали, измеренную от начала координат, можно выразить как

$$L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.$$

То есть параметр t — это длина кривой, отсчитываемая от начала координат (0, 0) , а спираль Эйлера имеет бесконечную длину. Вектор (cos( ​​t ² ), грех( т ² )) также выражает единичный касательный вектор вдоль спирали, давая θ = t ² . Поскольку t — длина кривой, кривизну κ можно выразить как

$$\kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.$$

Таким образом, скорость изменения кривизны по отношению к длине кривой равна

$${\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.$$

Спираль Эйлера обладает тем свойством, что ее кривизна в любой точке пропорциональна расстоянию вдоль спирали, измеренному от начала координат. Это свойство делает ее полезной в качестве переходной кривой в дорожном и железнодорожном строительстве: если транспортное средство следует по спирали с единичной скоростью, параметр t в приведенных выше производных также представляет время. Следовательно, транспортное средство, движущееся по спирали с постоянной скоростью, будет иметь постоянную скорость углового ускорения .

Секции спиралей Эйлера обычно включают в форму петель американских горок , образуя так называемые клотоидные петли .

Свойства

C ( x ) и S ( x ) — нечетные функции от x ,

$$C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x).$$

Асимптотика интегралов Френеля при x → ∞ задается формулами:

$${\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}$$

Комплексный интеграл Френеля S ( z )

Используя приведенные выше разложения в степенные ряды, интегралы Френеля можно распространить на область комплексных чисел , где они становятся целыми функциями комплексной переменной z .

Интегралы Френеля можно выразить с помощью функции ошибок следующим образом:

Комплексный интеграл Френеля C ( z )

$${\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}$$

или

$${\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}$$

Пределы при x приближении

Интегралы, определяющие C ( x ) и S ( x ), не могут быть вычислены в замкнутом виде через элементарные функции , за исключением особых случаев. Пределы стремлении этих функций при x к бесконечности известны:

$$\int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.$$

и, таким образом, мы имеем интеграл Гаусса $\int _{-\infty }^{\infty }e^{it^{2}}dt=e^{i\pi /4}{\sqrt {\pi }}$.

показывать Доказательство формулы

The sector contour used to calculate the limits of the Fresnel integrals This can be derived with any one of several methods. One of them uses a contour integral of the function $$e^{-z^{2}}$$ around the boundary of the sector-shaped region in the complex plane formed by the positive x-axis, the bisector of the first quadrant y = x with x ≥ 0, and a circular arc of radius R centered at the origin. As R goes to infinity, the integral along the circular arc γ2 tends to 0 $$\left|\int _{\gamma _{2}}e^{-z^{2}}\,dz\right|=\left|\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}(\cos t+i\sin t)^{2}}\,Re^{it}dt\right|\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\cos 2t}\,dt\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\left(1-{\frac {4}{\pi }}t\right)}\,dt={\frac {\pi }{4R}}\left(1-e^{-R^{2}}\right),$$ where polar coordinates z = Reit were used and Jordan's inequality was utilised for the second inequality. The integral along the real axis γ1 tends to the half Gaussian integral $$\int _{\gamma _{1}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.$$ Note too that because the integrand is an entire function on the complex plane, its integral along the whole contour is zero. Overall, we must have $$\int _{\gamma _{3}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{\gamma _{1}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt,$$ where γ3 denotes the bisector of the first quadrant, as in the diagram. To evaluate the left hand side, parametrize the bisector as $$z=te^{i{\frac {\pi }{4}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)t$$ where t ranges from 0 to +∞. Note that the square of this expression is just +it2. Therefore, substitution gives the left hand side as $$\int _{0}^{\infty }e^{-it^{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dt.$$ Using Euler's formula to take real and imaginary parts of e−it2 gives this as $${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left(\cos \left(t^{2}\right)-i\sin \left(t^{2}\right)\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {2}}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\cos \left(t^{2}\right)+\sin \left(t^{2}\right)+i\left(\cos \left(t^{2}\right)-\sin \left(t^{2}\right)\right)\right]\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+0i,\end{aligned}}$$ where we have written 0i to emphasize that the original Gaussian integral's value is completely real with zero imaginary part. Letting $$I_{C}=\int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\quad I_{S}=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt$$ and then equating real and imaginary parts produces the following system of two equations in the two unknowns IC and IS: $${\begin{aligned}I_{C}+I_{S}&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\\I_{C}-I_{S}&=0.\end{aligned}}$$ Solving this for IC and IS gives the desired result.

Обобщение

Интеграл

$$\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}$$

является вырожденной гипергеометрической функцией , а также неполной гамма-функцией.

$${\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}$$

который сводится к интегралам Френеля, если брать действительную или мнимую части:

$$\int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right).$$

Главный член асимптотического разложения равен

$$_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},$$

и поэтому

$$\int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.$$

Для m = 0 мнимая часть этого уравнения, в частности, равна

$$\int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),$$

причем левая часть сходится при a > 1 , а правая часть является ее аналитическим продолжением на всю плоскость за вычетом где лежат полюсы Γ ( a ⁻¹ ) .

Преобразование Куммера вырожденной гипергеометрической функции имеет вид

$$\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},$$

с

$$V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).$$

Численная аппроксимация

Для вычислений с произвольной точностью степенной ряд подходит для малого аргумента. При большом аргументе асимптотические разложения сходятся быстрее. Также можно использовать методы непрерывной дроби.

Для вычислений с определенной целевой точностью были разработаны другие приближения. Коди разработал набор эффективных приближений на основе рациональных функций, дающих относительные ошибки до 2 × 10 ⁻¹⁹ . Реализация аппроксимации Коди на FORTRAN , которая включает значения коэффициентов, необходимых для реализации на других языках, была опубликована Ван Снайдером. Боерсма разработал аппроксимацию с погрешностью менее 1,6 × 10. ⁻⁹ .

Приложения

Интегралы Френеля первоначально использовались при расчете напряженности электромагнитного поля в среде, где свет огибает непрозрачные объекты. Совсем недавно они стали использоваться при проектировании автомобильных и железных дорог, в частности, их кривизны переходных зон, см. кривую перехода путей . Другое применение — американские горки. или расчет переходов на трассе велодрома , чтобы обеспечить быстрый вход в повороты и постепенный выход.

Галерея

• 
  График интегральной функции Френеля S(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График интегральной функции Френеля C(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График вспомогательной функции Френеля G(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График вспомогательной функции Френеля F(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

См. также

• Интеграл Бемера
• зона Френеля
• Отслеживать кривую перехода
• спираль Эйлера
• Зонная пластина
• Интеграл Дирихле

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Алазах, Мохаммед (2012). «Вычисление интегралов Френеля с помощью модифицированных правил трапеций». Нумерическая математика . 128 (4): 635–661. arXiv : 1209.3451 . Бибкод : 2012arXiv1209.3451A . дои : 10.1007/s00211-014-0627-z . S2CID   13934493 .
• Битти, Томас (2013). «Как оценить интегралы Френеля» (PDF) . ФГКУ Математика - Лето 2013 . Проверено 27 июля 2013 г.
• Боерсма, Дж. (1960). «Вычисление интегралов Френеля» . Математика. Комп . 14 (72): 380. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121973-3 . МР   0121973 .
• Булирш, Роланд (1967). «Численный расчет синуса, косинуса и интегралов Френеля». Число. Математика . 9 (5): 380–385. дои : 10.1007/BF02162153 . S2CID   121794086 .
• Коди, Уильям Дж. (1968). «Чебышёвские аппроксимации интегралов Френеля» (PDF) . Математика. Комп . 22 (102): 450–453. дои : 10.1090/S0025-5718-68-99871-2 .
• Хангельбрук, Р.Дж. (1967). «Численная аппроксимация интегралов Френеля полиномами Чебышева». Дж. Инж. Математика . 1 (1): 37–50. Бибкод : 1967JEnMa...1...37H . дои : 10.1007/BF01793638 . S2CID   122271446 .
• Матар, Р.Дж. (2012). «Разложение в ряд обобщенных интегралов Френеля». arXiv : 1211.3963 [ math.CA ].
• Нейв, Р. (2002). «Спираль Корню» . (Использует п / 2 т ² вместо т ² .)
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 6.8.1. Интегралы Френеля» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8 . Архивировано из оригинала 11 августа 2011 г. Проверено 9 августа 2011 г.
• ван Снайдер, В. (1993). «Алгоритм 723: Интегралы Френеля» . АКМ Транс. Математика. Программное обеспечение . 19 (4): 452–456. дои : 10.1145/168173.168193 . S2CID   12346795 .
• Стюарт, Джеймс (2008). Ранние трансцендентальные исчисления . Cengage Learning в регионе EMEA. ISBN  978-0-495-38273-7 .
• Темме, Нью-Мексико (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля» , в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• ван Вейнгаарден, А.; Шин, WL (1949). Таблица интегралов Френеля . Научный труд Королевский. Голландский Акад. наук. Полный. 19.
• Зайта, Аурел Дж.; Гоэл, Судхир К. (1989). «Методы параметрического интегрирования». Журнал «Математика» . 62 (5): 318–322. дои : 10.1080/0025570X.1989.11977462 .

Внешние ссылки

• Cephes — бесплатный код C++/C с открытым исходным кодом для вычисления интегралов Френеля, а также других специальных функций. Используется в SciPy и ALGLIB .
• Пакет Faddeeva — бесплатный код C++/C с открытым исходным кодом для вычисления сложных функций ошибок (из которых можно получить интегралы Френеля) с оболочками для Matlab, Python и других языков.
• «Интегралы Френеля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Формы петель американских горок» . Архивировано из оригинала 23 сентября 2008 года . Проверено 13 августа 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегралы Френеля» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Корню» . Математический мир .