Неэлементарный интеграл

В математике неэлементарная первообразная данной элементарной функции — это первообразная (или неопределенный интеграл), которая сама по себе не является элементарной функцией (т. е. функцией, построенной из конечного числа частных констант , алгебраических , экспоненциальных , тригонометрических и логарифмических чисел). функции с использованием полевых операций). Теорема Лиувилля 1835 года предоставила первое доказательство существования неэлементарных первообразных. Эта теорема также дает основу для алгоритма Риша для определения (с трудом) того, какие элементарные функции имеют элементарные первообразные.

Примеры

Примеры функций с неэлементарными первообразными включают:

• ${\sqrt {1-x^{4}}}$ ( эллиптический интеграл )
• ${\frac {1}{\ln x}}$ ( логарифмический интеграл )
• $e^{-x^{2}}$ ( функция ошибки , интеграл Гаусса )
• $\sin(x^{2})$ и $\cos(x^{2})$ ( интеграл Френеля )
• ${\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$ ( синус интеграл , интеграл Дирихле )
• ${\frac {e^{-x}}{x}}$ ( экспоненциальный интеграл )
• $e^{e^{x}}\,$(в терминах экспоненциального интеграла)
• $\ln(\ln x)\,$(в терминах логарифмического интеграла)
• ${x^{c-1}}e^{-x}$ ( неполная гамма-функция ); для $c=0,$ первообразную можно записать через экспоненциальный интеграл; для $c={\tfrac {1}{2}},$ с точки зрения функции ошибки; для $c=$ любое положительное целое число, первообразная элементарна .

Некоторым общим неэлементарным первообразным функциям даны имена, определяющие так называемые специальные функции , а формулы, включающие эти новые функции, могут выражать более широкий класс неэлементарных первообразных. В приведенных выше примерах соответствующие специальные функции указаны в круглых скобках.

Характеристики

Неэлементарные первообразные часто можно оценить с помощью ряда Тейлора . Даже если функция не имеет элементарной первообразной, ее ряд Тейлора всегда можно проинтегрировать почленно, как многочлен , давая первообразную функцию как ряд Тейлора с тем же радиусом сходимости . Однако даже если подынтегральная функция имеет сходящийся ряд Тейлора, его последовательность коэффициентов часто не имеет элементарной формулы и должна вычисляться почленно, с тем же ограничением для целого ряда Тейлора.

Даже если невозможно вычислить неопределенный интеграл (первообразную) элементарно, всегда можно аппроксимировать соответствующий определенный интеграл путем численного интегрирования . Бывают также случаи, когда элементарной первообразной нет, но конкретные определенные интегралы (часто несобственные интегралы по неограниченным интервалам ) можно вычислить в элементарных терминах: наиболее известный интеграл Гаусса ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

Замыканием при интегрировании множества элементарных функций является множество функций Лиувилля .

См. также

• Алгебраическая функция – Математическая функция
• Выражение в закрытой форме - математическая формула, включающая заданный набор операций.
• Производная – мгновенная скорость изменения (математика)
• Дифференциальная алгебра - алгебраическое исследование дифференциальных уравнений.
• Списки интегралов
• Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра) - говорит, когда первообразные элементарных функций могут быть выражены как элементарные функции.
• Теорема Ричардсона - Неразрешимость равенства действительных чисел
• Символическое интегрирование . В математике вычисление первообразной в закрытой форме.
• Школьная задача по алгебре Тарского - Математическая задача
• Трансцендентная функция - аналитическая функция, не удовлетворяющая полиномиальному уравнению.

Ссылки

• Интеграция неэлементарных функций , SOS MATThematics.com; по состоянию на 7 декабря 2012 г.

Дальнейшее чтение

• Уильямс, Дана П., НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ , 1 декабря 1993 г. По состоянию на 24 января 2014 г.