Неполная гамма-функция

Верхняя неполная гамма-функция для некоторых значений s: 0 (синий), 1 (красный), 2 (зеленый), 3 (оранжевый), 4 (фиолетовый).

График регуляризованной неполной гамма-функции Q(2,z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике верхняя определенные и нижняя неполные гамма-функции представляют собой типы специальных функций , которые возникают как решения различных математических задач, таких как интегралы .

Их соответствующие названия происходят от их интегральных определений, которые определяются аналогично гамма -функции , но с другими или «неполными» интегральными пределами. Гамма-функция определяется как интеграл от нуля до бесконечности. Это контрастирует с нижней неполной гамма-функцией, которая определяется как интеграл от нуля до переменного верхнего предела. Аналогично, верхняя неполная гамма-функция определяется как интеграл от нижнего предела переменной до бесконечности.

Определение

Верхняя неполная гамма-функция определяется как:

$$\Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,$$

тогда как нижняя неполная гамма-функция определяется как:

$$\gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.$$

В обоих случаях s является комплексным параметром, так что действительная часть s положительна.

Свойства

Интегрированием по частям находим рекуррентные соотношения

$$\Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}$$

и

$$\gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.$$

Поскольку обычная гамма-функция определяется как

$$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt$$

у нас есть

$$\Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)$$

и

$$\gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).$$

Продолжение сложных значений

Нижняя неполная гамма и верхняя неполная гамма-функция, определенные выше для вещественных положительных s и x , могут быть развиты в голоморфные функции как относительно x , так и s , определенные почти для всех комбинаций комплексных x и s . Комплексный анализ показывает, как свойства вещественных неполных гамма-функций распространяются на их голоморфные аналоги.

Нижняя неполная гамма-функция

Голоморфное расширение

Многократное применение рекуррентного соотношения для нижней неполной гамма- функции приводит к разложению в степенной ряд :

$$\gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.$$

Учитывая быстрый рост абсолютного значения Γ ( z + k ) при k → ∞ и тот факт, что обратная величина Γ( z ) является целой функцией , коэффициенты в самой правой сумме четко определены, и локально сумма сходится равномерно для всех комплексных s и x . По теореме Вейерштрасса предельная функция, иногда обозначаемая как $\gamma ^{*}$,

$$\gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}$$

является целым как по z (при фиксированном s ), так и по s (при фиксированном z ), и, таким образом, голоморфен на C × C по теореме Хартога . Следовательно, следующее разложение

$$\gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),$$

расширяет действительную нижнюю неполную гамма-функцию как голоморфную функцию как совместно, так и отдельно по z и s . Это следует из свойств $z^{s}$ и Γ-функция , что первые два множителя особенности улавливают $\gamma (s,z)$ (при z = 0 или s — неположительное целое число), тогда как последний множитель вносит свой вклад в его нули.

Многозначность

Комплексный логарифм log z = log | г | + i arg z определяется только до числа, кратного 2 πi , что делает его многозначным . Функции, включающие комплексный логарифм, обычно наследуют это свойство. Среди них комплексная степень и, поскольку z ^с при его разложении появляется и γ -функция.

Неопределенность многозначных функций вносит сложности, поскольку необходимо указать, как выбрать значение. Стратегии решения этой проблемы:

• (наиболее общий способ) заменить область C многозначных функций подходящим многообразием в C × C , называемым римановой поверхностью . Хотя это устраняет многозначность, необходимо знать теорию, лежащую в ее основе;
• ограничить область таким образом, чтобы многозначная функция разбивалась на отдельные однозначные ветви , которые можно обрабатывать индивидуально.

Следующий набор правил можно использовать для правильной интерпретации формул в этом разделе. Если не указано иное, предполагается следующее:

Секторы

Секторы в C , вершина которых находится в точке z = 0, часто оказываются подходящими областями для сложных выражений. Сектор D состоит из всех комплексных z, удовлетворяющих условиям z ≠ 0 и α − δ < arg z < α + δ с некоторыми α и 0 < δ ≤ π . Часто α может быть выбрано произвольно и тогда не указывается. Если δ не задано, предполагается, что оно равно π , а сектор фактически представляет собой всю плоскость C , за исключением полупрямой, начинающейся в точке z = 0 и указывающей в направлении − α , обычно служащей срез ветки . Примечание. Во многих приложениях и текстах α молча принимается равным 0, что центрирует сектор вокруг положительной действительной оси.

Филиалы

В частности, на любом таком секторе D существует однозначный и голоморфный логарифм, мнимая часть которого привязана к диапазону ( α − δ , α + δ ) . На основе такого ограниченного логарифма z ^с а неполные гамма-функции, в свою очередь, схлопываются до однозначных голоморфных функций на D (или C × D ), называемых ветвями их многозначных аналогов на D. Добавление числа , кратного 2 π , к α дает другой набор коррелированных ветвей. на том же множестве D . Однако в любом данном контексте предполагается, что α фиксировано, и все задействованные ветви связаны с ним. Если | α | < δ ветви называются главными , поскольку они равны своим действительным аналогам на положительной вещественной оси. Примечание. Во многих приложениях и текстах формулы справедливы только для основных ветвей.

Связь между ветвями

Значения различных ветвей как комплексной степенной функции, так и нижней неполной гамма-функции можно получить друг из друга путем умножения $e^{2\pi iks}$, для k подходящее целое число.

Поведение вблизи точки ветвления

Приведенное выше разложение далее показывает, что γ ведет себя вблизи z = 0 асимптотически следующим образом:

$$\gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.$$

Для положительных действительных x , y и s , x ^и /y → 0 , когда ( x , y ) → (0, s ) . Кажется, это оправдывает установку γ ( s , 0) = 0 для реального s > 0 . Однако в сложной сфере дела обстоят несколько иначе. Только если (а) действительная часть s положительна и (б) значения u ^v берутся только из конечного набора ветвей, они гарантированно сходятся к нулю при ( u , v ) → (0, s ) , как и γ ( u , v ) . На одной ветви γ ( γ b ) естественно выполняется, поэтому ( s , 0 ) = 0 для s с положительной вещественной частью является непрерывным пределом . Заметим также, что такое продолжение ни в коем случае не является аналитическим .

Алгебраические отношения

Все алгебраические соотношения и дифференциальные уравнения, наблюдаемые действительным γ ( s , z ), справедливы и для его голоморфного аналога. Это следствие теоремы о тождестве, утверждающей, что уравнения между голоморфными функциями, действительные на вещественном интервале, выполняются повсюду. В частности, рекуррентное соотношение и ∂γ ( s , z )/ ∂z знак равно z ^{с −1} Это ^{- г} сохраняются на соответствующих ветках.

Интегральное представление

Последнее соотношение говорит нам, что при фиксированном γ s является примитивной или первообразной голоморфной функции z ^{с −1} Это ^{- г} . Следовательно, для любого комплексного u , v ≠ 0 ,

$$\int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)$$

выполняется до тех пор, пока путь интегрирования полностью содержится в области ветви подынтегральной функции. Если, кроме того, действительная часть s положительна, то применяется предел γ ( s , u ) → 0 при u → 0 , что в конечном итоге приводит к комплексному интегральному определению γ.

$$\gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.$$

Здесь справедлив любой путь интегрирования, содержащий 0 только в начале, иначе ограниченный областью ветви подынтегрального выражения, например прямая, соединяющая 0 и z .

Предел для z → +∞

Реальные значения

Учитывая интегральное представление главной ветви γ , следующее уравнение справедливо для всех положительных действительных s , x :

$$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)$$

сложный ​

Этот результат распространяется на комплексные s . Предположим сначала 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 и 1 < a < b . Затем

$$\left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt$$

где

$$\left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}$$

использовался в середине. Поскольку окончательный интеграл становится сколь угодно малым, если только a достаточно велико, γ ( s , x ) сходится равномерно при x → ∞ в полосе 1 ⩽ Re(s) ⩽ 2 к голоморфной функции, который должен быть Γ(s) в силу теоремы тождества. Переходя к пределу в рекуррентном соотношении γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x ^{с - 1} Это ^{− х} и отметив, что lim x ^н Это ^{− х} = 0 при x → ∞ и всех n , показывает, что γ ( s , x ) сходится и вне полосы к функции, подчиняющейся рекуррентному соотношению Γ-функции. Следует

$$\Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)$$

для всех комплексных s, не являющихся неположительными целыми числами, x вещественный и γ главный.

конвергенция

Теперь пусть ты из сектора | аргумент z | < δ < π /2 с некоторым фиксированным δ ( α = 0 ), γ — главная ветвь в этом секторе, и посмотрим на

$$\Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).$$

Как было показано выше, первую разность можно сделать сколь угодно малой, если | ты | достаточно велик. Второе отличие позволяет сделать следующую оценку:

$$\left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,$$

где мы использовали интегральное представление γ и формулу о | я ^с | выше. Если интегрировать по дуге радиусом R = | ты | около 0, соединяющих тебя и | ты | , то последний интеграл равен

$$\leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }$$

где M = δ (cos δ ) ^{−Re с} Это ^{В sδ} является константой, не зависящей от u или R . Опять обращаясь к поведению x ^н Это ^{− х} для больших x мы видим, что последнее выражение приближается к 0 по мере увеличения R к ∞ . Итого у нас теперь есть:

$$\Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,$$

если s не является целым неотрицательным числом, 0 < ε < π /2 сколь угодно мало, но фиксировано, а γ обозначает главную ветвь в этой области.

Обзор

$\gamma (s,z)$ является:

• целое по z для фиксированного положительного целого числа s ;
• многозначный, голоморфный по z для фиксированного s , не целого числа, с точкой ветвления в z = 0 ;
• на каждой мероморфной по s ветви при фиксированном z ≠ 0 с простыми полюсами в неположительных целых числах s.

Верхняя неполная гамма-функция

Что касается верхней неполной гамма-функции , голоморфное расширение относительно z или s задается выражением

$$\Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)$$

в точках ( s , z ) , где существует правая часть. С $\gamma$ многозначен, то же самое справедливо и для $\Gamma$, но ограничение на основные значения дает только однозначную основную ветвь $\Gamma$.

Когда s является неположительным целым числом в приведенном выше уравнении, ни одна часть разности не определена, и предельный процесс , разработанный здесь для s → 0 , заполняет недостающие значения. Комплексный анализ гарантирует голоморфность , поскольку $\Gamma (s,z)$ оказывается ограниченным в окрестности этого предела при фиксированном z .

Для определения предела степенной ряд $\gamma ^{*}$при z = 0 полезно. При замене $e^{-x}$ своим степенным рядом в интегральном определении $\gamma$, получаем (предположим, что x , s положительные действительные числа на данный момент):

$$\gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}$$

или

$$\gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},$$

который, как последовательное представление всего $\gamma ^{*}$ функция сходится для всех комплексных x (и всех комплексных s , не являющихся неположительными целыми числами).

Поскольку ограничение на реальные значения снято, ряд допускает расширение:

$$\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.$$

Когда s → 0 :

$${\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,$$

( $\gamma$ здесь константа Эйлера –Машерони ), следовательно,

$$\Gamma (0,z)=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!)}}$$

— предельная функция верхней неполной гамма-функции при s → 0 , также известная как экспоненциальный интеграл $E_{1}(z)$.

С помощью рекуррентного соотношения значения $\Gamma (-n,z)$ для положительных целых чисел n можно получить из этого результата:

$$\Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)$$

таким образом, верхняя неполная гамма-функция оказывается существующей и голоморфной как по z , так и по s для всех s и z ≠ 0 .

$\Gamma (s,z)$ является:

• целое по z для фиксированного положительного целого s ;
• многозначный, голоморфный по z для фиксированного s, отличного от нуля и не положительного целого числа, с точкой ветвления в z = 0 ;
• равно $\Gamma (s)$ для s с положительной действительной частью и z = 0 (предел, когда $(s_{i},z_{i})\to (s,0)$), но это непрерывное расширение, а не аналитическое ( не выполняется для действительного s < 0 !);
• на каждой ветви, целой по s, для фиксированного z ≠ 0 .

Специальные значения

• $\Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}$ если s — положительное целое число ,
• $\Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}$ если s — положительное целое число ,
• $\Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0$,
• $\Gamma (1,x)=e^{-x}$,
• $\gamma (1,x)=1-e^{-x}$,
• $\Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)$ для $x>0$,
• $\Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)$,
• $\Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)$,
• $\gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)$.

Здесь, $\operatorname {Ei}$ – экспоненциальный интеграл , $\operatorname {E} _{n}$ — обобщенный экспоненциальный интеграл , $\operatorname {erf}$ — функция ошибок , а $\operatorname {erfc}$ — дополнительная функция ошибок , $\operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)$.

Асимптотическое

• ${\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}$ как $x\to 0$,
• ${\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}$ как $x\to 0$ и $\Re (s)<0$ (для реального s ошибка Γ( s , x ) ~ − x ^с / s имеет порядок O ( x ^{мин{ с + 1, 0}} ), если s ≠ −1 и O (ln( x )) если s = −1 ),
• $\Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}$ как асимптотический ряд , где $x\to 0^{+}$ и $s\neq 0,-1,-2,\dots$.
• $\Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}$ как асимптотический ряд , где $x\to 0^{+}$ и $N=1,2,\dots$, где ${\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Машерони .
• $\gamma (s,x)\to \Gamma (s)$ как $x\to \infty$,
• ${\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1$ как $x\to \infty$,
• $\Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}$ как асимптотический ряд , где $|z|\to \infty$ и $\left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi$.

Формулы оценки

Нижнюю гамма-функцию можно оценить с помощью разложения в степенной ряд:

$$\gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}$$

где $s^{\overline {k+1}}$является символом Поххаммера .

Альтернативное расширение —

$$\gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),$$

где M Куммера — вырожденная гипергеометрическая функция .

Куммера

Когда действительная часть z положительна,

$$\gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)$$

где

$$M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots$$

имеет бесконечный радиус сходимости.

Опять же, используя сливающиеся гипергеометрические функции и используя тождество Куммера,

$${\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}$$

Для фактического вычисления числовых значений непрерывная дробь Гаусса обеспечивает полезное расширение:

$$\gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$$

Эта непрерывная дробь сходится для всех комплексных z при условии, что s не является отрицательным целым числом.

Верхняя гамма-функция имеет непрерывную дробь

$$\Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}$$

и

$$\Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}$$

Теорема умножения

следующая теорема умножения Справедлива :

$$\Gamma (s,z)={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).$$

Программная реализация

Неполные гамма-функции доступны в различных системах компьютерной алгебры .

Однако, даже если они недоступны напрямую, неполные значения функций можно вычислить с использованием функций, обычно включенных в электронные таблицы (и пакеты компьютерной алгебры). в Excel Например, их можно рассчитать с помощью гамма-функции в сочетании с функцией гамма-распределения .

• Нижняя неполная функция: $\gamma (s,x)$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE).
• Верхняя неполная функция: $\Gamma (s,x)$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)).

Это следует из определения кумулятивной функции распределения гамма-распределения .

В Python библиотека Scipy предоставляет реализации неполных гамма-функций под scipy.special, однако он не поддерживает отрицательные значения для первого аргумента. Функция gammainc из библиотеки mpmath поддерживает все сложные аргументы.

Регуляризованные гамма-функции и

Две связанные функции — это регуляризованные гамма-функции:

$${\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}$$

$P(s,x)$ — кумулятивная функция распределения гамма -случайных величин с параметром формы $s$ и параметр масштабирования 1.

Когда $s$ целое число, $Q(s,\lambda )$ — кумулятивная функция распределения для случайных величин Пуассона : Если $X$ это $\mathrm {Poi} (\lambda )$ случайная величина тогда

$$\Pr(X<s)=\sum _{i<s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s,\lambda )}{\Gamma (s)}}=Q(s,\lambda ).$$

Эту формулу можно получить путем многократного интегрирования по частям.

В контексте количества стабильного распределения $s$ параметр можно рассматривать как обратный параметру устойчивости Леви. $\alpha$:

$$Q(s,x)=\int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu ,\quad (s>1)$$

где ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ представляет собой стандартное стабильное распределение чисел формы $\alpha =1/s<1$.

$P(s,x)$ и $Q(s,x)$ реализуются как gammainc и gammaincc в сципи .

Производные

Используя приведенное выше интегральное представление, производная верхней неполной гамма-функции $\Gamma (s,x)$ относительно x есть

$${\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}$$

Производная по первому аргументу $s$ дан кем-то

$${\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)$$

и вторая производная по

$${\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]$$

где функция $T(m,s,x)$ является частным случаем G-функции Мейера

$$T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).$$

Этот частный случай обладает замыкания собственными внутренними свойствами , поскольку его можно использовать для выражения всех последовательных производных. В общем,

$${\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)$$

где $P_{j}^{n}$ — это перестановка , определяемая символом Поххаммера :

$$P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.$$

Все такие производные могут быть получены последовательно из:

$${\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)$$

и

$${\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}$$

Эта функция $T(m,s,x)$ может быть вычислено из его серийного представления, действительного для $|z|<1$,

$$T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}$$

с пониманием того, что s не является отрицательным целым числом или нулем. В таком случае необходимо использовать лимит. Результаты для $|z|\geq 1$можно получить аналитическим продолжением . Некоторые частные случаи этой функции можно упростить. Например, $T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x$, $x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)$, где $\mathrm {E} _{1}(x)$является экспоненциальным интегралом . Эти производные и функция $T(m,s,x)$ обеспечить точные решения ряда интегралов путем многократного дифференцирования интегрального определения верхней неполной гамма-функции. Например,

$$\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)$$

Эту формулу можно далее расширить или обобщить на огромный класс преобразований Лапласа и преобразований Меллина . В сочетании с системой компьютерной алгебры использование специальных функций обеспечивает мощный метод решения определенных интегралов, особенно тех, которые встречаются в практических инженерных приложениях ( см. в разделе Символическое интегрирование более подробную информацию ).

Неопределенные и определенные интегралы

Следующие неопределенные интегралы легко получить с помощью интегрирования по частям ( константа интегрирования в обоих случаях опущена):

$${\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}$$

Нижняя и верхняя неполные гамма-функции связаны преобразованием Фурье :

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.$$

Это следует, например, за счет подходящей специализации ( Градштейн и др. 2015 , §7.642).

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 6.5». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 . «Неполная гамма-функция» . §6.5.
• Алласия, Джампьетро; Бесенги, Рената (1986). «Численный расчет неполных гамма-функций по правилу трапеций». Число. Математика . 50 (4): 419–428. дои : 10.1007/BF01396662 . S2CID   121964300 .
• Аморе, Паоло (2005). «Асимптотические и точные рядные представления неполной гамма-функции». Еврофиз. Летт . 71 (1): 1–7. arXiv : math-ph/0501019 . Бибкод : 2005EL.....71....1A . дои : 10.1209/epl/i2005-10066-6 . МР   2170316 . S2CID   1921569 .
• Г. Арфкен и Х. Вебер. Математические методы для физиков . Harcourt/Academic Press, 2000. (См. главу 10.)
• ДиДонато, Армидо Р.; Моррис-младший, Альфред Х. (декабрь 1986 г.). «Расчет неполных отношений гамма-функции и их обратных». Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 12 (4): 377–393. дои : 10.1145/22721.23109 . S2CID   14351930 .
• Баракат, Ричард (1961). «Оценка неполной гамма-функции мнимого аргумента полиномами Чебышева» . Математика. Комп . 15 (73): 7–11. дои : 10.1090/s0025-5718-1961-0128058-1 . МР   0128058 .
• Карский, Петр; Поласек, Мартин (1998). «Неполные функции Gamma F_m(x) для вещественных и комплексных аргументов». Дж. Компьютер. Физ . 143 (1): 259–265. Бибкод : 1998JCoPh.143..259C . дои : 10.1006/jcph.1998.5975 . МР   1624704 .
• Чаудри, М. Аслам; Зубаир, С.М. (1995). «О разложении обобщенных неполных гамма-функций с приложениями к преобразованиям Фурье» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 59 (101): 253–284. дои : 10.1016/0377-0427(94)00026-w . МР   1346414 .
• ДиДонато, Армидо Р.; Моррис-младший, Альфред Х. (сентябрь 1987 г.). «АЛГОРИТМ 654: Подпрограммы FORTRAN для вычисления неполных отношений гамма-функции и их обратных» . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 13 (3): 318–319. дои : 10.1145/29380.214348 . S2CID   19902932 . (См. также www.netlib.org/toms/654 ).
• Фрюхтль, Х.; Отто, П. (1994). «Новый алгоритм вычисления неполной гамма-функции на векторных компьютерах» . АКМ Транс. Математика. Программное обеспечение . 20 (4): 436–446. дои : 10.1145/198429.198432 . S2CID   16737306 .
• Гаучи, Уолтер (1998). «Неполная гамма-функция со времен трихомов». Материалы Линцианской конференции . 147 : 203–237. МР   1737497 .
• Гаучи, Уолтер (1999). «Заметка о рекурсивном вычислении неполных гамма-функций» . АКМ Транс. Математика. Программное обеспечение . 25 (1): 101–107. дои : 10.1145/305658.305717 . МР   1697463 . S2CID   36469885 .
• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «8.35.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc., стр. 908–911. ISBN  978-0-12-384933-5 . LCCN   2014010276 .
• Джонс, Уильям Б.; Трон, WJ (1985). «О вычислении неполных гамма-функций в комплексной области» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 12–13: 401–417. дои : 10.1016/0377-0427(85)90034-2 . МР   0793971 .
• «Неполная гамма-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Матар, Ричард Дж. (2004). «Численное представление неполной гамма-функции комплексного аргумента». Численные алгоритмы . 36 (3): 247–264. arXiv : math/0306184 . Бибкод : 2004NuAlg..36..247M . дои : 10.1023/B:NUMA.0000040063.91709.58 . МР   2091195 . S2CID   30860614 .
• Миллер, Аллен Р.; Московиц, Ира С. (1998). «О некоторых обобщенных неполных гамма-функциях» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 91 (2): 179–190. дои : 10.1016/s0377-0427(98)00031-4 .
• Пэрис, РБ (2010), «Неполная гамма-функция» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Париж, РБ (2002). «Равномерное асимптотическое разложение неполной гамма-функции» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 148 (2): 323–339. Бибкод : 2002JCoAM.148..323P . дои : 10.1016/S0377-0427(02)00553-8 . МР   1936142 .
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибки» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8 .
• Такенага, Рой (1966). «Об оценке неполной гамма-функции» . Математика. Комп . 20 (96): 606–610. дои : 10.1090/S0025-5718-1966-0203911-3 . МР   0203911 .
• Темме, Нико (1975). «Равномерные асимптотические разложения неполных гамма-функций и неполной бета-функции» . Математика. Комп . 29 (132): 1109–1114. дои : 10.1090/S0025-5718-1975-0387674-2 . МР   0387674 .
• Террас, Рихо (1979). «Определение неполных гамма-функций посредством аналитической интеграции». Дж. Компьютер. Физ . 31 (1): 146–151. Бибкод : 1979JCoPh..31..146T . дои : 10.1016/0021-9991(79)90066-4 . МР   0531128 .
• Трикоми, Франческо Г. (1950). «О неполной гамма-функции». Анна. Мэтт. Чистое приложение . 31 : 263–279. дои : 10.1007/BF02428264 . МР   0047834 . S2CID   120404791 .
• Трикоми, Ф.Г. (1950). «Асимптотические свойства неполной гамма-функции». Математика . 53 (2): 136–148. дои : 10.1007/bf01162409 . МР   0045253 . S2CID   121234109 .
• ван Деун, Йорис; Кулс, Рональд (2006). «Стабильная рекуррентность для неполной гамма-функции с мнимым вторым аргументом». Число. Математика . 104 (4): 445–456. дои : 10.1007/s00211-006-0026-1 . МР   2249673 . S2CID   43780150 .
• Виницкий, Серж (2003). «Вычисление неполной гамма-функции с произвольной точностью». В Випин Кумар; Марина Львовна Гаврилова ; Чи Дженг Кеннет Тан; Пьер Л'Экуйер (ред.). Вычислительная наука и ее приложения — ICSSA 2003 . Международная конференция по вычислительной науке и ее приложениям, Монреаль, Канада, 18–21 мая 2003 г., Материалы, Часть I. Конспекты лекций по информатике. Том. 2667. стр. 790–798. дои : 10.1007/3-540-44839-x_83 . ISBN  978-3-540-40155-1 . МР   2110953 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Неполная гамма-функция» . Математический мир .

Внешние ссылки

• $P(a,x)$ — Калькулятор регуляризованной нижней неполной гамма-функции
• $Q(a,x)$ — Калькулятор регуляризованной верхней неполной гамма-функции
• $\gamma (a,x)$ — Калькулятор нижней неполной гамма-функции
• $\Gamma (a,x)$ — Калькулятор верхней неполной гамма-функции
• формулы и тождества неполной гамма-функции function.wolfram.com