Jump to content

Вырожденная гипергеометрическая функция

График вырожденной гипергеометрической функции Куммера 1F1(a;b;z) с a=1 и b=2 и вводом z² с 1F1(1,2,z²) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами создано с помощью Mathematica 13.1
График вырожденной гипергеометрической функции Куммера 1F1(a;b;z) с a=1 и b=2 и вводом z² с 1F1(1,2,z²) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами создано с помощью Mathematica 13.1

В математике гипергеометрическая вырожденная функция является решением вырожденного гипергеометрического уравнения , которое представляет собой вырожденную форму гипергеометрического дифференциального уравнения, в котором две из трех регулярных особенностей сливаются в нерегулярную особенность . Термин «конфлюэнтный» относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; confluere в переводе с латыни означает «течь вместе». Существует несколько распространенных стандартных форм вырожденных гипергеометрических функций:

  • Функция Куммера (выливная гипергеометрическая) M ( a , b , z ) , введенная Куммером ( 1837 ), является решением дифференциального уравнения Куммера . Это также известно как вырожденная гипергеометрическая функция первого рода. Существует другая, несвязанная с ней функция Куммера с тем же именем.
  • Функция Трикоми (конфлюэнтная гипергеометрическая) U ( a , b , z ), введенная Франческо Трикоми ( 1947 ), иногда обозначаемая Ψ( a ; b ; z ) , является еще одним решением уравнения Куммера. Это также известно как вырожденная гипергеометрическая функция второго рода.
  • Функции Уиттекера (для Эдмунда Тейлора Уиттекера ) являются решениями уравнения Уиттекера .
  • Волновые функции Кулона являются решениями волнового уравнения Кулона .

Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по существу одинаковы и отличаются друг от друга лишь элементарными функциями и заменой переменных.

Уравнение Куммера

[ редактировать ]

Уравнение Куммера можно записать как:

с регулярной особой точкой в ​​точке z = 0 и нерегулярной особой точкой в ​​точке z = ∞ . Он имеет два (обычно) линейно независимых решения M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) .

Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд, введенный в ( Kummer 1837 ) и определяемый формулой:

где:

– это возрастающий факториал . Другое распространенное обозначение этого решения — Φ( a , b , z ) . Рассматриваемый как функция a , b или z с двумя другими постоянными, он определяет целую функцию a , или z за исключением случаев, когда b = 0, −1, −2, ... Как функция b это аналитический, за исключением полюсов в неположительных целых числах.

Некоторые значения a и b дают решения, которые можно выразить через другие известные функции. См. #Особые случаи . Когда a — неположительное целое число, то функция Куммера (если она определена) представляет собой обобщенный полином Лагерра .

Так же, как вырожденное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрического дифференциального уравнения , поскольку особая точка в точке 1 перемещается к особой точке в точке ∞, вырожденная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрической функции

и многие свойства вырожденной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.

Поскольку уравнение Куммера имеет второй порядок, должно быть другое независимое решение. Основное уравнение метода Фробениуса говорит нам, что наименьшая степень решения степенного ряда уравнения Куммера равна либо 0, либо 1 - b . Если мы позволим w ( z ) быть

тогда дифференциальное уравнение дает

которое после деления z 1- б и, упрощая, становится

Это означает, что з 1- б M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) является решением до тех пор, пока b не является целым числом, большим 1, точно так же, как M ( a , b , z ) является решением до тех пор, пока b не является целым числом меньше 1. Мы также можем использовать вырожденную гипергеометрическую функцию Трикоми U ( a , b , z ), введенную Франческо Трикоми ( 1947 ) и иногда обозначаемую Ψ( a ; b ; z ) . Это комбинация двух вышеупомянутых решений, определяемая

Хотя это выражение не определено для целого числа b , оно имеет то преимущество, что его можно расширить до любого целого числа b благодаря непрерывности. В отличие от функции Куммера, которая является целой функцией от z , U ( z ) обычно имеет особенность в нуле. Например, если b = 0 и a ≠ 0, то Γ( a +1) U ( a , b , z ) − 1 асимптотически соответствует az ln z, когда z стремится к нулю. Но см. #Особые случаи для некоторых примеров, когда это целая функция (полином).

Заметим, что решение z 1- б U ( a + 1 - b , 2 - b , z ) уравнения Куммера совпадает с решением U ( a , b , z ) , см. #преобразование Куммера .

Для большинства комбинаций вещественных или комплексных a и b функции M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) независимы, и если b — неположительное целое число, то M ( a , b , z ) не существует, то мы сможем использовать z 1- б M ( a +1− b , 2− b , z ) в качестве второго решения. Но если a — целое неположительное число, а b не является неположительным целым числом, то U ( z ) кратно M ( z ) . И в этом случае z 1- б M ( a +1− b , 2− b , z ) можно использовать в качестве второго решения, если оно существует и отличается. Но когда b — целое число больше 1, этого решения не существует, а если b = 1 , то оно существует, но кратно U ( a , b , z ) и M ( a , b , z ) . случаях существует второе решение следующей формы и действительно для любого действительного или комплексного a и любого положительного целого числа b, за исключением случаев, когда a является положительным целым числом, меньшим, чем b :

Когда a = 0, мы можем альтернативно использовать:

Когда b = 1, это экспоненциальный интеграл E 1 ( −z ) .

Похожая проблема возникает, когда a b — отрицательное целое число, а b — целое число меньше 1. В этом случае M ( a , b , z ) не существует, а U ( a , b , z ) кратно я 1- б М ( а +1- б , 2- б , z ). Тогда второе решение имеет вид:

Другие уравнения

[ редактировать ]

Сливные гипергеометрические функции можно использовать для решения расширенного сливающегося гипергеометрического уравнения, общая форма которого задается следующим образом:

[1]

Обратите внимание, что при M = 0 или когда суммирование включает только один член, оно сводится к обычному сливающемуся гипергеометрическому уравнению.

Таким образом, слитные гипергеометрические функции можно использовать для решения «большинства» обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, все переменные коэффициенты которых являются линейными функциями от z , поскольку их можно преобразовать в расширенное сливающееся гипергеометрическое уравнение. Рассмотрим уравнение:

Сначала мы перемещаем обычную особую точку в 0, используя замену A + Bz z , которая преобразует уравнение к:

значениями C, D, E и F. с новыми Далее используем замену:

и умножим уравнение на тот же коэффициент, получив:

чье решение

где w ( z ) — решение уравнения Куммера с

Обратите внимание, что квадратный корень может давать мнимое или комплексное число. Если оно равно нулю, необходимо использовать другое решение, а именно

где w ( z ) вырожденная гипергеометрическая предельная функция, удовлетворяющая

Как отмечено ниже, даже уравнение Бесселя можно решить, используя вырожденные гипергеометрические функции.

Интегральные представления

[ редактировать ]

Если Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) можно представить в виде целого числа

таким образом, M ( a , a + b , it ) является характеристической функцией бета -распределения . Для a с положительной вещественной частью U можно получить с помощью интеграла Лапласа

Интеграл определяет решение в правой полуплоскости Re z > 0 .

Их также можно представить в виде интегралов Барнса.

где контур проходит по одну сторону от полюсов Γ(− s ) и по другую сторону от полюсов Γ( a + s ) .

Асимптотическое поведение

[ редактировать ]

Если решение уравнения Куммера асимптотично к степени z при z → ∞ , то степень должна быть a . На самом деле это относится к решению Трикоми U ( a , b , z ) . Его асимптотическое поведение при z → ∞ можно вывести из интегральных представлений. Если z = x R , то замена переменных в интеграле с последующим разложением биномиального ряда и его формальным почленным интегрированием приводит к разложению в асимптотический ряд , действительный при x → ∞ : [2]

где представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд с 1 в качестве главного члена, который обычно нигде не сходится, но существует как формальный степенной ряд относительно 1/ x . Это асимптотическое разложение также справедливо для комплексного z вместо действительного x , с | аргумент z | < 3 π /2.

Асимптотическое поведение решения Куммера при больших | г | является:

Степени z берутся по формуле −3 π /2 < arg z π /2 . [3] Первый член не нужен, когда Γ( b a ) конечен, то есть когда b a не является неположительным целым числом и действительная часть z стремится к отрицательной бесконечности, тогда как второй член не нужен, когда Γ( a ) конечно, то есть когда a не является неположительным целым числом и действительная часть z стремится к положительной бесконечности.

Всегда существует какое-то решение уравнения Куммера, асимптотическое к e С С а - б при z → −∞ . Обычно это будет комбинация M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ), но также может быть выражена как e С (−1) а - б U ( б - а , б , - z ) .

Отношения

[ редактировать ]

Между функциями Куммера по различным аргументам и их производными существует множество соотношений. В этом разделе приведены несколько типичных примеров.

Непрерывные отношения

[ редактировать ]

Учитывая M ( a , b , z ) , четыре функции M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) называются смежными с M ( a , b , z ) . Функцию M ( a , b , z ) можно записать как линейную комбинацию любых двух смежных функций с рациональными коэффициентами через a, b и z . Это дает ( 4
2
) = 6
отношений, заданных путем идентификации любых двух линий в правой части

В обозначениях выше M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) и так далее.

Многократное применение этих соотношений дает линейную связь между любыми тремя функциями вида M ( a + m , b + n , z ) (и их высшими производными), где m , n — целые числа.

Аналогичные соотношения существуют и для U .

Трансформация печали

[ редактировать ]

Функции Куммера также связаны преобразованиями Куммера:

.

Теорема умножения

[ редактировать ]

следующие теоремы умножения Справедливы :

Связь с полиномами Лагерра и подобными представлениями.

[ редактировать ]

В терминах полиномов Лагерра функции Куммера имеют несколько разложений, например

( Эрдели и др. 1953 , 6.12)

или

[1]

Особые случаи

[ редактировать ]

Функции, которые могут быть выражены как частные случаи вырожденной гипергеометрической функции, включают:

  • Некоторые элементарные функции, у которых левая часть не определена, когда b является неположительным целым числом, но правая часть по-прежнему является решением соответствующего уравнения Куммера:
(многочлен, если a — целое неположительное число)
для неположительного целого числа n является обобщенным полиномом Лагерра .
для неположительного целого числа n кратно обобщенному многочлену Лагерра, равному когда последний существует.
когда n является положительным целым числом, является замкнутой формой со степенями z , равными когда последний существует.
для неотрицательного целого числа n является полиномом Бесселя (см. ниже).
и т. д.
Использование смежного отношения мы получаем, например,
Эту идентичность иногда также называют второй трансформацией Куммера . Сходным образом
Когда a является неположительным целым числом, оно равно 2 а θ a ( x /2) где θ полином Бесселя .
  • Общий p -й исходный момент ( p не обязательно целое число) можно выразить как [4]
функции Во второй формуле второй срез ветви можно выбрать путем умножения на (−1). п .

Приложение к цепным дробям

[ редактировать ]

Применяя ограничивающий аргумент к непрерывной дроби Гаусса, можно показать, что [5]

и что эта цепная дробь равномерно сходится к мероморфной функции от z в каждой ограниченной области, не содержащей полюса.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Кампос, LMBC (2001). «О некоторых решениях расширенного выливного гипергеометрического дифференциального уравнения». Журнал вычислительной и прикладной математики . 137 (1): 177–200. дои : 10.1016/s0377-0427(00)00706-8 . МР   1865885 .
  2. ^ Эндрюс, GE; Аски, Р.; Рой, Р. (2001). Специальные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521789882 . .
  3. ^ Это получено из работы Абрамовица и Стегуна (см. ссылку ниже), стр. 508 , где дан полный асимптотический ряд. Они меняют знак показателя экспоненты в exp( iπa ) в правой полуплоскости, но это несущественно, так как член там пренебрежимо мал, иначе a является целым числом, и знак не имеет значения.
  4. ^ «Аспекты многомерной статистической теории | Уайли» . Wiley.com . Проверено 23 января 2021 г.
  5. ^ Фрэнк, Эвелин (1956). «Новый класс разложений в цепные дроби для отношений гипергеометрических функций». Пер. Являюсь. Математика. Соц . 81 (2): 453–476. дои : 10.1090/S0002-9947-1956-0076937-0 . JSTOR   1992927 . МР   0076937 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 860a32ffffb5b2aa0f421cb31a3f2095__1722688560
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/86/95/860a32ffffb5b2aa0f421cb31a3f2095.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Confluent hypergeometric function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)