График функции Кельвина ber(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D В прикладной математике функции Кельвина ber ν x ) и bei ν x ) — это действительная и мнимая части соответственно
J ν ( x e 3 π i 4 ) , {\displaystyle J_{\nu }\left(xe^{\frac {3\pi i}{4}}\right),\,} где x вещественный, а J ν ( z ) ν й порядок функции Бесселя первого рода. Аналогично, функции ker ν ( x ) и kei ν ( x ) являются вещественной и мнимой частями соответственно
K ν ( x e π i 4 ) , {\displaystyle K_{\nu }\left(xe^{\frac {\pi i}{4}}\right),\,} где K ν ( z ) ν й порядок модифицированной функции Бесселя второго рода.
Эти функции названы в честь Уильяма Томсона, 1-го барона Кельвина .
Хотя функции Кельвина определяются как действительная и мнимая части функций Бесселя, где x считается действительным, функции можно аналитически продолжить для комплексных аргументов xe. iφ φ < 2 π . n x ) и bei n x ) для целого n , функции Кельвина имеют точку ветвления в x = 0.
Ниже Γ( z ) — гамма-функция , а ψ ( z ) дигамма-функция .
ber( x ) для x от 0 до 20. b e r ( x ) / e x / 2 {\displaystyle \mathrm {ber} (x)/e^{x/{\sqrt {2}}}} x от 0 до 50. Для целых чисел n ber n x ) имеет разложение в ряд
b e r n ( x ) = ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 cos [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k , {\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k},} где Γ( z ) — гамма-функция . Особый случай ber 0 ( x ), обычно обозначаемый просто ber( x ), имеет разложение в ряд
b e r ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k [ ( 2 k ) ! ] 2 ( x 2 ) 4 k {\displaystyle \mathrm {ber} (x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{4k}} и асимптотический ряд
b e r ( x ) ∼ e x 2 2 π x ( f 1 ( x ) cos α + g 1 ( x ) sin α ) − k e i ( x ) π {\displaystyle \mathrm {ber} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}\left(f_{1}(x)\cos \alpha +g_{1}(x)\sin \alpha \right)-{\frac {\mathrm {kei} (x)}{\pi }}} где
α = x 2 − π 8 , {\displaystyle \alpha ={\frac {x}{\sqrt {2}}}-{\frac {\pi }{8}},} f 1 ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 cos ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 {\displaystyle f_{1}(x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}} g 1 ( x ) = ∑ k ≥ 1 sin ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 . {\displaystyle g_{1}(x)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.} График функции Кельвина bei(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D bei( x ) для x от 0 до 20. b e i ( x ) / e x / 2 {\displaystyle \mathrm {bei} (x)/e^{x/{\sqrt {2}}}} x от 0 до 50. Для целых чисел n bei n x ) имеет разложение в ряд
b e i n ( x ) = ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 sin [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k . {\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.} Особый случай bei 0 ( x ), обычно обозначаемый просто bei( x ), имеет разложение в ряд
График функции Кельвина ker(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D b e i ( x ) = ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( x 2 ) 4 k + 2 {\displaystyle \mathrm {bei} (x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{4k+2}} и асимптотический ряд
b e i ( x ) ∼ e x 2 2 π x [ f 1 ( x ) sin α − g 1 ( x ) cos α ] − k e r ( x ) π , {\displaystyle \mathrm {bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\sin \alpha -g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {ker} (x)}{\pi }},} где α, f 1 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)} g 1 ( x ) {\displaystyle g_{1}(x)} x ).
ker( x ) для x от 0 до 14. k e r ( x ) e x / 2 {\displaystyle \mathrm {ker} (x)e^{x/{\sqrt {2}}}} x от 0 до 50. Для целых чисел n ker n x ) имеет (сложное) разложение в ряд
k e r n ( x ) = − ln ( x 2 ) b e r n ( x ) + π 4 b e i n ( x ) + 1 2 ( x 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 cos [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k + 1 2 ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 cos [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {ker} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}} График функции Кельвина kei(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D Особый случай ker 0 ( x ), обычно обозначаемый просто ker( x ), имеет разложение в ряд
k e r ( x ) = − ln ( x 2 ) b e r ( x ) + π 4 b e i ( x ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 1 ) [ ( 2 k ) ! ] 2 ( x 2 4 ) 2 k {\displaystyle \mathrm {ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} (x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k}} и асимптотический ряд
k e r ( x ) ∼ π 2 x e − x 2 [ f 2 ( x ) cos β + g 2 ( x ) sin β ] , {\displaystyle \mathrm {ker} (x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\cos \beta +g_{2}(x)\sin \beta ],} где
β = x 2 + π 8 , {\displaystyle \beta ={\frac {x}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{8}},} f 2 ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k cos ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 {\displaystyle f_{2}(x)=1+\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}} g 2 ( x ) = ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k sin ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 . {\displaystyle g_{2}(x)=\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}
kei( x ) для x от 0 до 14. k e i ( x ) e x / 2 {\displaystyle \mathrm {kei} (x)e^{x/{\sqrt {2}}}} x от 0 до 50. Для целого числа n kei n x ) имеет разложение в ряд
k e i n ( x ) = − ln ( x 2 ) b e i n ( x ) − π 4 b e r n ( x ) − 1 2 ( x 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 sin [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k + 1 2 ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 sin [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {kei} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}} Особый случай kei 0 ( x ), обычно обозначаемый просто kei( x ), имеет разложение в ряд
k e i ( x ) = − ln ( x 2 ) b e i ( x ) − π 4 b e r ( x ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 2 ) [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( x 2 4 ) 2 k + 1 {\displaystyle \mathrm {kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} (x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k+1}} и асимптотический ряд
k e i ( x ) ∼ − π 2 x e − x 2 [ f 2 ( x ) sin β + g 2 ( x ) cos β ] , {\displaystyle \mathrm {kei} (x)\sim -{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\sin \beta +g_{2}(x)\cos \beta ],} где β , f 2 ( x ) и g 2 ( x ) определены как для ker( x ).
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 9» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами ИСБН 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 . Олвер, ФВЮ; Максимон, LC (2010), «Функции Бесселя» , Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МР 2723248 Вайсштейн, Эрик В. «Функции Кельвина». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1] Исходный код C/C++ для вычисления функций Кельвина под лицензией GPL на codecogs.com: [2] 
![{\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0cd93458b54421e6ad2cc1a1d7642427b33221)
![{\displaystyle \mathrm {ber} (x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k)!]^{2}}}\ left({\frac {x}{2}}\right)^{4k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0382d07ebb15b81d9f6d57b4a4c39d727bd7dd)
![{\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08343a9ce9fef41ac36a7add2de1ef813cc3ec3)
![{\displaystyle \mathrm {bei} (x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k+1)!]^{2}}}\ left({\frac {x}{2}}\right)^{4k+2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69dab8cb68e3d5e5a8dccfdf3f6c798775a0490)
![{\displaystyle \mathrm {bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1} (x)\sin \alpha -g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {ker} (x)}{\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ac7c7ceb46b3e4f8fe6307064ff05eeb980e04)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {ker} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n }(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x }{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac { k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right) ^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \ left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n +k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c861946c574b893b798807b4d330a08838a82c03)
![{\displaystyle \mathrm {ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} (x)+{\frac {\pi }{4} }\mathrm {bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!]^{2} }}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e620fcd5ca5f6cba6b4ba993439a8e6878b3505c)
![{\displaystyle \mathrm {ker} (x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{ 2}(x)\cos \beta +g_{2}(x)\sin \beta ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6156e93597225fc773d61fff4b8c7b9b2ddc16f2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {kei} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n }(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x }{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac { k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right) ^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \ left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n +k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32a3a0932238e7433d48965287b3ab97f0f245)
![{\displaystyle \mathrm {kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} (x)-{\frac {\pi }{4} }\mathrm {ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!]^{ 2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84894452aa4ac878be50e50a42b2a91bd3bce86)
![{\displaystyle \mathrm {kei} (x)\sim - {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{- {\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_ {2}(x)\sin \beta +g_{2}(x)\cos \beta ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb3fd63059e08690345a00b76f7425ba1bcc768)