Функция параболического цилиндра

Координатные поверхности параболических цилиндрических координат. Функции параболического цилиндра возникают, когда разделение переменных . используется в уравнении Лапласа в этих координатах

График функции параболического цилиндра D v(z) с v=5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике функции параболического цилиндра — это специальные функции, определяемые как решения дифференциального уравнения.

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left({\tilde {a}}z^{2}+{\tilde {b}}z+{\tilde {c}}\right)f=0.$ ( 1 )

Это уравнение получается, когда метод разделения переменных используется в уравнении Лапласа , выраженном в параболических цилиндрических координатах .

Вышеупомянутое уравнение можно привести к двум различным формам (A) и (B), заполнив квадрат и изменив масштаб z , которые называются уравнениями Х. Ф. Вебера :

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}-\left({\tfrac {1}{4}}z^{2}+a\right)f=0$ ( А )

и

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left({\tfrac {1}{4}}z^{2}-a\right)f=0.$ ( Б )

Если $$f(a,z)$$ это решение, то и оно $$f(a,-z),f(-a,iz){\text{ and }}f(-a,-iz).$$

Если $$f(a,z)\,$$ является решением уравнения ( A ), то $$f(-ia,ze^{(1/4)\pi i})$$ является решением ( B ) и по симметрии $$f(-ia,-ze^{(1/4)\pi i}),f(ia,-ze^{-(1/4)\pi i}){\text{ and }}f(ia,ze^{-(1/4)\pi i})$$также являются решениями ( B ).

Решения

Существуют независимые четные и нечетные решения вида ( A ). Они даны (следуя обозначениям Абрамовица и Стегуна (1965)): $$y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{4}};\;{\tfrac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {even} )$$и $$y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {3}{4}};\;{\tfrac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {odd} )$$где $\;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)$ – вырожденная гипергеометрическая функция .

Другие пары независимых решений могут быть образованы из линейных комбинаций приведенных выше решений. Одна из таких пар основана на их поведении на бесконечности: $$U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]$$$$V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]$$где $$\xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.$$

Функция U ( a , z ) приближается к нулю при больших значениях z и |arg( z )| < π /2 , а V ( a , z ) расходится при больших значениях положительных вещественных z . $$\lim _{z\to \infty }U(a,z)/\left(e^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}\right)=1\,\,\,\,({\text{for}}\,\left|\arg(z)\right|<\pi /2)$$и $$\lim _{z\to \infty }V(a,z)/\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{z^{2}/4}z^{a-1/2}\right)=1\,\,\,\,({\text{for}}\,\arg(z)=0).$$

Для полуцелых значений a они (то есть U и V ) могут быть перевыражены через полиномы Эрмита ; альтернативно, они также могут быть выражены через функции Бесселя .

Функции U и V также могут быть связаны с функциями D _p ( x ) (обозначение, восходящее к Уиттекеру (1902)) которые сами иногда называют функциями параболического цилиндра: $${\begin{aligned}U(a,x)&=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),\\V(a,x)&={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)].\end{aligned}}$$

Функция D _a ( z ) была введена Уиттекером и Ватсоном как решение уравнения ~( 1 ) с ${\textstyle {\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}}$ ограничено $+\infty$. Его можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции как

$D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}e^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left(\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right)}.$

Степенной ряд для этой функции был получен Абадиром (1993).