Параболические цилиндрические координаты

В математике параболические цилиндрические координаты представляют собой трехмерную ортогональную систему координат , возникающую в результате проецирования двумерной параболической системы координат вперпендикуляр $z$ -направление. Следовательно, координатные поверхности представляют собой софокусные параболические цилиндры. Параболические цилиндрические координаты нашли множество приложений, например, в потенциальной теории ребер.

Основное определение

Параболические цилиндрические координаты $(σ, τ, z)$ определяются в терминах декартовых координат $(x, y, z)$ следующим образом:

{\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}

Поверхности постоянного $σ$ образуют софокусные параболические цилиндры.

2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

которые открываются в сторону $+ y$ , тогда как поверхности постоянного $τ$ образуют софокусные параболические цилиндры

2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

которые открываются в противоположном направлении, т. е. в сторону $- y$ . Фокусы всех этих параболических цилиндров расположены вдоль линии, определяемой $x = y = 0$ . Радиус $r$ также имеет простую формулу

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)

это оказывается полезным при решении уравнения Гамильтона – Якоби в параболических координатах для обратных квадратов о центральной силе задачи механики ; дополнительную информацию см. в статье о векторах Лапласа – Рунге – Ленца .

Масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для параболических цилиндрических координат $σ$ и $τ$ :

{\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}

Дифференциальные элементы

Бесконечно малый элемент объема – это

dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz

Дифференциальное смещение определяется выражением:

d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}}

Дифференциальная нормальная площадь определяется как:

d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}}

Принадлежащий

Пусть $f$ — скалярное поле. Градиент выражением определяется

\nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}}

Лапласиан выражением определяется

\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}

Пусть $A$ — векторное поле вида:

\mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}

Расхождение выражением определяется

\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}

Локон задается

\nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}\right)\mathbf {\hat {z}}

Другие дифференциальные операторы можно выразить в координатах $(σ, τ),$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .

Связь с другими системами координат

Связь с цилиндрическими координатами $(ρ, φ, z)$ :

{\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}

Параболические единичные векторы, выраженные через декартовы единичные векторы:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}

Гармоники параболического цилиндра

Поскольку все поверхности постоянных $σ$ , $τ$ и $z$ являются коникоидами , уравнение Лапласа разделимо в параболических цилиндрических координатах. Используя технику разделения переменных , можно записать разделенное решение уравнения Лапласа:

V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)

и уравнение Лапласа, разделенное на $V$ , записывается:

{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0

Поскольку $уравнение Z$ отделено от остальных, мы можем написать

{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}

где $m$ постоянно. $Z (z)$ имеет решение:

Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}

Подстановка $- м 2$ для ${\ddot {Z}}/Z$ , уравнение Лапласа теперь можно записать:

\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})

Теперь мы можем разделить $функции S$ и $T$ и ввести еще одну константу $n 2$ чтобы получить:

{\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0

{\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0

Решениями этих уравнений являются функции параболического цилиндра

S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})

T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})

Гармоники параболического цилиндра для $(m, n)$ теперь являются продуктом решений. Комбинация уменьшит количество констант, и общее решение уравнения Лапласа можно записать:

V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}

Приложения

Классические применения параболических цилиндрических координат заключаются в решении уравнений в частных производных , например, уравнения Лапласа или уравнения Гельмгольца , для которых такие координаты допускают разделение переменных . Типичным примером может служить электрическое поле, окружающее плоскую полубесконечную проводящую пластину.

См. также

Библиография

Морс П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики . Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 658. ИСБН 0-07-043316-Х . LCCN 52011515 .
Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 186–187 . LCCN 55010911 .
Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 181. LCCN 59014456 . АСИН B0000CKZX7.
Зауэр Р., Сабо I (1967). Математический инструментарий инженера . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 96. LCCN 67025285 .
Цвиллингер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ИСБН 0-86720-293-9 . что и Морс и Фешбах (1953), с заменой uk _{ξ k} на _{То же ,} .
Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Координаты параболического цилиндра (μ, ν, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 21–24 (табл. 1.04). ISBN 978-0-387-18430-2 .

Внешние ссылки

Описание MathWorld параболических цилиндрических координат