Бисферические координаты

Иллюстрация бисферических координат, полученных вращением двумерной биполярной системы координат вокруг оси, соединяющей два ее фокуса. Фокусы расположены на расстоянии 1 от вертикальной оси z . Красный самопересекающийся тор — это изоповерхность σ = 45 °, синяя сфера — изоповерхность τ = 0,5, а желтая полуплоскость — изоповерхность φ = 60 °. Зеленая полуплоскость отмечает плоскость x - z , от которой измеряется φ. Черная точка расположена на пересечении красной, синей и желтой изоповерхностей, примерно в декартовых координатах (0,841, -1,456, 1,239).

Бисферические координаты представляют собой трехмерную ортогональную систему координат , возникающую в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, соединяющей два фокуса. Таким образом, два фокуса $F_{1}$ и $F_{2}$ в биполярных координатах остаются точки (на $z$-ось, ось вращения) в бисферической системе координат.

Определение

Наиболее распространенное определение бисферических координат. $(\tau ,\sigma ,\phi )$ является

${\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}$

где $\sigma$ координата точки $P$ равен углу $F_{1}PF_{2}$ и $\tau$ координата равна натуральному логарифму отношения расстояний $d_{1}$ и $d_{2}$ в очаги

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

Диапазон координат: -∞ < $\tau$ < ∞, 0 ≤ $\sigma$ ≤ $\pi$ и 0 ≤ $\phi$ ≤ 2 $\pi$.

Координатные поверхности

Поверхности постоянной $\sigma$ соответствуют пересекающимся торам разных радиусов

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

все они проходят через фокусы, но не концентричны. Поверхности постоянных $\tau$ представляют собой непересекающиеся сферы разных радиусов

$\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

которые окружают очаги. Центры констант- $\tau$ сферы лежат вдоль $z$-ось, тогда как константа- $\sigma$ Торы сосредоточены в $xy$ самолет.

Обратные формулы

Формулы обратного преобразования:

${\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\dfrac {R^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsinh} \left({\dfrac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right),\end{aligned}}$

где ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ и ${\textstyle Q={\sqrt {\left(R^{2}+a^{2}\right)^{2}-\left(2az\right)^{2}}}.}$

Масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для бисферических координат $\sigma$ и $\tau$ равны

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

тогда как азимутальный масштабный коэффициент равен

$h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Таким образом, бесконечно малый элемент объема равен

$dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$

а лапласиан определяется выражением

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \cdot \mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ можно выразить в координатах $(\sigma ,\tau )$ путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .

Приложения

Классические применения бисферических координат заключаются в решении уравнений в частных производных . например, уравнение Лапласа , для которого бисферические координаты допускают разделение переменных . Однако уравнение Гельмгольца не разделимо в бисферических координатах. Типичным примером может служить электрическое поле, окружающее две проводящие сферы разных радиусов.

Библиография

• Морс ПМ, Фешбах Х (1953). Методы теоретической физики, части I и II . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 665–666, 1298–1301.
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 182. LCCN   59014456 .
• Цвиллингер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 113. ИСБН  0-86720-293-9 .
• Мун П.Х., Спенсер Д.Э. (1988). «Бисферические координаты (η, θ, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 110–112 (Раздел IV, E4Rx). ISBN  0-387-02732-7 .

Внешние ссылки

• MathWorld описание бисферических координат