Параболоидные координаты

Параболоидные координаты - это трехмерные ортогональные координаты. $(\mu ,\nu ,\lambda )$ которые обобщают двумерные параболические координаты . Они обладают эллиптическими параболоидами как однокоординатными поверхностями. По существу, их следует отличать от параболических цилиндрических координат и параболических координат вращения , которые также являются обобщениями двумерных параболических координат. Координатные поверхности первых представляют собой параболические цилиндры, а координатные поверхности вторых — круговые параболоиды.

В отличие от цилиндрических и вращательных параболических координат, но аналогично соответствующим эллипсоидным координатам , координатные поверхности параболоидальной системы координат не создаются путем вращения или проецирования какой-либо двумерной ортогональной системы координат.

Основные формулы

Декартовы координаты $(x,y,z)$ можно получить из эллипсоидных координат $(\mu ,\nu ,\lambda )$ по уравнениям

$x^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )$

$y^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)$

$z=\mu +\nu +\lambda -b-c$

с

$\mu >b>\lambda >c>\nu >0$

Следовательно, поверхности постоянной $\mu$ представляют собой эллиптические параболоиды, открывающиеся вниз:

${\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}}{\mu -c}}=-4(z-\mu )$

Аналогично поверхности постоянной $\nu$ представляют собой вверх эллиптические параболоиды, открывающиеся ,

${\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{c-\nu }}=4(z-\nu )$

тогда как поверхности постоянной $\lambda$ являются гиперболическими параболоидами:

${\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )$

Масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для параболоидных координат $(\mu ,\nu ,\lambda )$ являются

$h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}$

$h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}$

$h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

$dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu$

Дифференциальные операторы

Общие дифференциальные операторы могут быть выражены в координатах $(\mu ,\nu ,\lambda )$ путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы для этих операторов , применимые к любым трехмерным ортогональным координатам. Например, градиента оператор

$\nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}$

и лапласиан ​

${\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}$

Приложения

Параболоидальные координаты могут быть полезны для решения некоторых уравнений в частных производных . Например, Лапласа и уравнение Гельмгольца разделимы уравнение в параболоидальных координатах. Следовательно, координаты можно использовать для решения этих уравнений в геометриях с параболоидальной симметрией, т.е. с граничными условиями, заданными на сечениях параболоидов.

Уравнение Гельмгольца $(\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0$. принимая $\psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )$, разделенные уравнения имеют вид

${\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}$

где $\alpha _{2}$ и $\alpha _{3}$ две константы разделения. Аналогично, разделенные уравнения для уравнения Лапласа можно получить, полагая $k=0$ в вышеизложенном.

Каждое из разделенных уравнений можно представить в виде уравнения Бэра . Однако прямое решение уравнений затруднено, отчасти потому, что константы разделения $\alpha _{2}$ и $\alpha _{3}$ появляются одновременно во всех трех уравнениях.

Следуя описанному выше подходу, параболоидные координаты использовались для расчета электрического поля, окружающего проводящий параболоид.

Библиография

• Лью Ян Вун LC, Виллацен М (2011). Разделимые краевые задачи физики . Вайли-ВЧ. ISBN  978-3-527-41020-0 .
• Морс П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики . Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 664. ИСБН  0-07-043316-Х . LCCN   52011515 .
• Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 184–185 . LCCN   55010911 .
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 180 . LCCN   59014456 . АСИН B0000CKZX7.
• Арфкен Г (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. стр. 119–120.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Математический инструментарий инженера . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 98. LCCN   67025285 .
• Цвиллингер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ИСБН  0-86720-293-9 . что и Морс и Фешбах (1953), с заменой uk _{ξ k} на _{То же ,} .
• Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Параболоидные координаты (μ, ν, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 44–48 (табл. 1.11). ISBN  978-0-387-18430-2 .

Внешние ссылки

• Описание MathWorld конфокальных параболоидальных координат