Конические координаты

Координатные поверхности конических координат. Константы b и c были выбраны равными 1 и 2 соответственно. Красная сфера представляет r = 2 , синий эллиптический конус, совмещенный с вертикальной осью z , представляет собой µ=cosh(1), а желтый эллиптический конус, совмещенный с (зеленой) осью x , соответствует ν. ² = 2/3 . Три поверхности пересекаются в точке P (показана черной сферой) с декартовыми координатами примерно (1,26, -0,78, 1,34). Эллиптические конусы пересекают сферу в сферических кониках .

Конические координаты , иногда называемые сфероконическими или сфероконическими координатами, представляют собой трёхмерную ортогональную систему координат, состоящую из концентрические сферы (описываемые их радиусом r ) и два семейства перпендикулярных эллиптических конусов, ориентированных вдоль осей z и x соответственно. Пересечение одного из конусов со сферой образует сферический конус .

Основные определения

Конические координаты $(r,\mu ,\nu )$ определяются

$x={\frac {r\mu \nu }{bc}}$

$y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

$z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}$

со следующими ограничениями на координаты

$\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.$

Поверхности постоянного r представляют собой сферы этого радиуса с центром в начале координат.

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$

тогда как поверхности постоянной $\mu$ и $\nu$ являются взаимно перпендикулярными конусами

${\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0$

и

${\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0.$

В этой системе координат уравнение Лапласа и уравнение Гельмгольца разделимы.

Масштабные коэффициенты

Масштабный коэффициент для радиуса r равен единице ( h _r = 1 ), как и в сферических координатах . Масштабные коэффициенты для двух конических координат равны

$h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}$

и

$h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.$

Библиография

• Морс П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики . Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 659. ИСБН  0-07-043316-Х . LCCN   52011515 .
• Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 183–184 . LCCN   55010911 .
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 179. LCCN   59014456 . АСИН B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Математический инструментарий инженера . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 991–100. LCCN67025285   .
• Арфкен Г (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. стр. 118–119. ASIN B000MBRNX4.
• Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Конические координаты (r, θ, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 37–40 (табл. 1.09). ISBN  978-0-387-18430-2 .

Внешние ссылки

• MathWorld описание конических координат