Сферическая коническая

Сферические коники, нарисованные на сферической доске. Две конфокальные коники синего и желтого цвета имеют общие фокусы F ₁ и F ₂ . Углы, образованные красными дугами большого круга от фокусов через одно из пересечений коник, демонстрируют свойство отражения сферических коник. Три взаимно перпендикулярных конических центра и три линии симметрии зеленого цвета определяют сферический октаэдр, совмещенный с главными осями конуса.

В математике сферическая коника или сфероконика — это кривая на сфере , пересечение сферы с концентрическим эллиптическим конусом . Это сферический аналог конического сечения ( эллипса , параболы или гиперболы ) на плоскости, и, как и в плоском случае, сферический конус можно определить как геометрическое место точек, сумма или разность расстояний по большому кругу которых до них два фокуса постоянны. ^[1] Если перенести антиподальную точку в один фокус, каждый сферический эллипс также станет сферической гиперболой , и наоборот. Как пространственная кривая сферическая коника является квартикой , хотя ее ортогональные проекции на три главные оси являются плоскими кониками. Как и плоские коники, сферические коники также обладают «свойством отражения»: дуги большого круга, ведущие от двух фокусов к любой точке коники, имеют касательную и нормаль к конике в этой точке в качестве биссектрисы угла.

Многие теоремы о кониках на плоскости распространяются на сферические коники. Например, теорема Грейвса и теорема Айвори о софокусных кониках также могут быть доказаны на сфере; см. конфокальные конические разделы . о плоских версиях ^[2]

Подобно тому, как длина дуги эллипса задается неполным эллиптическим интегралом второго рода, длина дуги сферической коники задается неполным эллиптическим интегралом третьего рода. ^[3]

Ортогональная система координат в евклидовом пространстве, основанная на концентрических сферах и квадратичных конусах, называется конической или сфероконической системой координат. Если ограничиться поверхностью сферы, остальные координаты представляют собой софокусные сферические коники. Иногда ее называют эллиптической системой координат на сфере по аналогии с плоской эллиптической системой координат . Такие координаты можно использовать при вычислении конформных отображений сферы на плоскость. ^[4]

Приложения

Решением задачи Кеплера в пространстве равномерной положительной кривизны является сферическая коника с потенциалом, пропорциональным котангенсу геодезического расстояния. ^[5]

сохраняет расстояния до пары заданных точек, Поскольку двухточечная эквидистантная проекция она отображает семейство софокусных коник на сфере в два семейства софокусных эллипсов и гипербол на плоскости. ^[6]

Если часть Земли смоделирована сферической, например, с использованием соприкасающейся сферы в точке эллипсоида вращения, гиперболы, используемые в гиперболической навигации (которая определяет положение на основе разницы во времени приема сигнала от фиксированных радиопередатчиков), будут сферическими. коники. ^[7]

Примечания

^ Фусс, Николя (1788). «О некоторых свойствах эллипсов, описываемых на сферической поверхности» . Новые известия Императорской Петрополитанской академии наук (на латыни). 3 : 90–99.
^ Стачел, Хельмут ; Валлнер, Йоханнес (2004). «Теорема Айвори в гиперболических пространствах» (PDF) . Сибирский математический журнал . 45 (4): 785–794.
^ Гудерманн, Кристоф (1835). Более простой метод приведения эллиптических интегралов третьего рода, обеспечивающий простоту применения и удобство численного расчета : Квадратура и спрямление конусно-сферических сечений. Крелля Журнал 14 : 169–181.
Бут, Джеймс (1844). «IV. О спрямлении и квадратуре сферического эллипса». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 25 (163): 18–38. дои : 10.1080/147864444408644925 .
^ Гюйу, Эмиль (1887). «Новая сферная проекционная система: обобщение проекции Меркатора» . Гидрографический аннал . Сер. 2 (на французском языке). 9 :16–35.
Адамс, Оскар Шерман (1925). Эллиптические функции, примененные к конформным картам мира (PDF) . Типография правительства США. Специальная публикация № 112 береговой и геодезической службы США.
^ Хиггс, Питер В. (1979). «Динамические симметрии в сферической геометрии I». Журнал физики A: Математический и общий . 12 (3): 309–323. дои : 10.1088/0305-4470/12/3/006 .
Козлов Валерий Васильевич ; Харин, Александр О. (1992). «Проблема Кеплера в пространствах постоянной кривизны». Небесная механика и динамическая астрономия . 54 (4): 393–399. дои : 10.1007/BF00049149 .
Кариньена, Хосе Ф.; Раньяда, Мануэль Ф.; Сантандер, Мариано (2005). «Центральные потенциалы в пространствах постоянной кривизны: задача Кеплера на двумерной сфере $S 2$ и гиперболическая плоскость $H 2$ ". Журнал математической физики . 46 (5): 052702. arXiv : math-ph/0504016 . doi : 10.1063/1.1893214 .
Арнольд, Владимир ; Козлов Валерий Васильевич ; Нейштадт, Анатолий Иванович (2007). Математические аспекты классической и небесной механики . дои : 10.1007/978-3-540-48926-9 .
Диаку, Флорин (2013). «Задача изогнутых N тел: риски и выгоды» (PDF) . Математический интеллект . 35 (3): 24–33.
^ Кокс, Жак-Франсуа (1946). «Дважды равноотстоящая проекция». Геодезический вестник . 2 (1): 74–76. дои : 10.1007/bf02521618 .
^ Разин, Шелдон (1967). «Явное (неитеративное) решение Лорана». Навигация . 14 (3): 265–269. дои : 10.1002/j.2161-4296.1967.tb02208.x .
Фрейслебен, Ганс-Кристиан (1976). «Сферические гиперболы и эллипсы». Журнал навигации . 29 (2): 194–199. дои : 10.1017/S0373463300030186 .

Ссылки

Шасль, Мишель (1831). Геометрические мемуары об общих свойствах сферических коник [ Геометрические мемуары об общих свойствах сферических коник ] (на французском языке). Брюссельская академия. Английское издание:
— (1841). Два геометрических мемуара об общих свойствах конусов второй степени и о сферических кониках . Перевод Грейвса, Чарльза . Грант и Болтон.
Шасль, Мишель (1860). «Краткое содержание теории софокусных сферических коник» . Труды Академии наук (на французском языке). 50 : 623–633. Переиздано в журнале «Чистая и прикладная математика» . Сер. 2.5 . :425-454 PDF с сайта mathdoc.fr .
Глезер, Георг; Стачел, Хельмут ; Оденал, Борис (2016). «10.1 Сферические коники». Вселенная коников: от древних греков до событий 21 века . Спрингер. стр. 436–467. дои : 10.1007/978-3-662-45450-3_10 .
Изместьев, Иван (2019). «Сферические и гиперболические коники» . Восемнадцать очерков по неевклидовой геометрии . Европейское математическое общество. стр. 262–320. дои : 10.4171/196-1/15 .
Салмон, Джордж (1927). «X. Конусы и сфероконики» . Трактат об аналитической геометрии трех измерений (7-е изд.). Челси. стр. 249–267.
Рассказ, Уильям Эдвард (1882). «О неевклидовых свойствах коник» (PDF) . Американский журнал математики . 5 (1): 358–381. дои : 10.2307/2369551 .
Сайкс, Геррит Смит (1877). «Сферические коники» . Труды Американской академии искусств и наук . 13 : 375–395. дои : 10.2307/25138501 .
Транахер, Харальд (2006). Сферические коники - дидактически подготовленные [ Сферические коники - дидактически подготовленные ] (PDF) (Диссертация) (на немецком языке). Венский технологический университет .

[fuss-1] Фусс, Николя (1788). «О некоторых свойствах эллипсов, описываемых на сферической поверхности» . Новые известия Императорской Петрополитанской академии наук (на латыни). 3 : 90–99.

[ivory-2] Стачел, Хельмут ; Валлнер, Йоханнес (2004). «Теорема Айвори в гиперболических пространствах» (PDF) . Сибирский математический журнал . 45 (4): 785–794.

[ellipticintegrals-3] Гудерманн, Кристоф (1835). Более простой метод приведения эллиптических интегралов третьего рода, обеспечивающий простоту применения и удобство численного расчета : Квадратура и спрямление конусно-сферических сечений. Крелля Журнал 14 : 169–181.
Бут, Джеймс (1844). «IV. О спрямлении и квадратуре сферического эллипса». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 25 (163): 18–38. дои : 10.1080/147864444408644925 .

[mapprojections-4] Гюйу, Эмиль (1887). «Новая сферная проекционная система: обобщение проекции Меркатора» . Гидрографический аннал . Сер. 2 (на французском языке). 9 :16–35.
Адамс, Оскар Шерман (1925). Эллиптические функции, примененные к конформным картам мира (PDF) . Типография правительства США. Специальная публикация № 112 береговой и геодезической службы США.

[keplerproblem-5] Хиггс, Питер В. (1979). «Динамические симметрии в сферической геометрии I». Журнал физики A: Математический и общий . 12 (3): 309–323. дои : 10.1088/0305-4470/12/3/006 .
Козлов Валерий Васильевич ; Харин, Александр О. (1992). «Проблема Кеплера в пространствах постоянной кривизны». Небесная механика и динамическая астрономия . 54 (4): 393–399. дои : 10.1007/BF00049149 .
Кариньена, Хосе Ф.; Раньяда, Мануэль Ф.; Сантандер, Мариано (2005). «Центральные потенциалы в пространствах постоянной кривизны: задача Кеплера на двумерной сфере $S 2$ и гиперболическая плоскость $H 2$ ". Журнал математической физики . 46 (5): 052702. arXiv : math-ph/0504016 . doi : 10.1063/1.1893214 .
Арнольд, Владимир ; Козлов Валерий Васильевич ; Нейштадт, Анатолий Иванович (2007). Математические аспекты классической и небесной механики . дои : 10.1007/978-3-540-48926-9 .
Диаку, Флорин (2013). «Задача изогнутых N тел: риски и выгоды» (PDF) . Математический интеллект . 35 (3): 24–33.

[twopointequidistant-6] Кокс, Жак-Франсуа (1946). «Дважды равноотстоящая проекция». Геодезический вестник . 2 (1): 74–76. дои : 10.1007/bf02521618 .

[hyperbolicnavigation-7] Разин, Шелдон (1967). «Явное (неитеративное) решение Лорана». Навигация . 14 (3): 265–269. дои : 10.1002/j.2161-4296.1967.tb02208.x .
Фрейслебен, Ганс-Кристиан (1976). «Сферические гиперболы и эллипсы». Журнал навигации . 29 (2): 194–199. дои : 10.1017/S0373463300030186 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]