Эллиптическая система координат

Не путать с эклиптической системой координат .

Эллиптическая система координат

В геометрии эллиптическая система координат — это двумерная ортогональная система координат , в которой координатные линии представляют собой софокусные эллипсы и гиперболы . Два фокуса $F_{1}$ и $F_{2}$ обычно принимаются фиксированными на $-a$ и $+a$соответственно на $x$-ось декартовой системы координат .

Основное определение

Наиболее распространенное определение эллиптических координат. $(\mu ,\nu )$ является

${\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}$

где $\mu$ является неотрицательным действительным числом и $\nu \in [0,2\pi ].$

На комплексной плоскости эквивалентное соотношение имеет вид

$x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )$

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическое тождество

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

показывает, что кривые постоянной $\mu$ образуют эллипсы , тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

показывает, что кривые постоянной $\nu$ образуют гиперболы .

Масштабные коэффициенты

В ортогональной системе координат длины базисных векторов называются масштабными коэффициентами. Масштабные коэффициенты для эллиптических координат $(\mu ,\nu )$ равны

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.$

Используя тождества с двойным аргументом для гиперболических функций и тригонометрических функций , масштабные коэффициенты можно эквивалентно выразить как

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

${\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}$

и лапласиан читает

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \cdot \mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ можно выразить в координатах $(\mu ,\nu )$ путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .

Альтернативное определение

Альтернативный и геометрически интуитивно понятный набор эллиптических координат. $(\sigma ,\tau )$ иногда используются, где $\sigma =\cosh \mu$ и $\tau =\cos \nu$. Следовательно, кривые константы $\sigma$ представляют собой эллипсы, тогда как кривые постоянной $\tau$ являются гиперболами. Координата $\tau$ должен принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как $\sigma$ координата должна быть больше или равна единице.

Координаты $(\sigma ,\tau )$ имеют простую связь с расстояниями до фокусов $F_{1}$ и $F_{2}$. Для любой точки плоскости сумма $d_{1}+d_{2}$ его расстояний до фокусов равно $2a\sigma$, тогда как их разница $d_{1}-d_{2}$ равно $2a\tau$.Таким образом, расстояние до $F_{1}$ является $a(\sigma +\tau )$, тогда как расстояние до $F_{2}$ является $a(\sigma -\tau )$. (Напомним, что $F_{1}$ и $F_{2}$ расположены в $x=-a$ и $x=+a$, соответственно.)

Недостатком этих координат является то, что точки с декартовыми координатами (x,y) и (x,-y) имеют одинаковые координаты. $(\sigma ,\tau )$, поэтому преобразование в декартовы координаты — это не функция, а многофункциональная функция .

$x=a\left.\sigma \right.\tau$

$y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).$

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат $(\sigma ,\tau )$ являются

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади становится

$dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau$

а лапласиан равен

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \cdot \mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ можно выразить в координатах $(\sigma ,\tau )$ заменив масштабные коэффициенты в общие формулы находится в ортогональных координатах .

Экстраполяция в более высокие измерения

Эллиптические координаты составляют основу нескольких наборов трехмерных ортогональных координат :

1. Эллиптические цилиндрические координаты получаются путем проецирования в $z$-направление.
2. Вытянутые сфероидальные координаты получаются вращением эллиптических координат вокруг $x$-ось, т. е. ось, соединяющая фокусы, тогда как сплюснутые сфероидальные координаты получаются вращением эллиптических координат вокруг $y$-ось, т. е. ось, разделяющая фокусы.
3. Эллипсоидальные координаты представляют собой формальное расширение эллиптических координат в трехмерное измерение, основанное на софокусных эллипсоидах, одно- и двухлистных гиперболоидах.

Обратите внимание, что (эллипсоидальная) географическая система координат — это концепция, отличная от приведенной выше.

Приложения

Классические применения эллиптических координат заключаются в решении уравнений в частных производных . например, уравнение Лапласа или уравнение Гельмгольца , для которых эллиптические координаты являются естественным описанием системы, что позволяет разделить переменные в уравнениях с частными производными . Некоторыми традиционными примерами являются системы решения, такие как электроны, вращающиеся вокруг молекулы, или планетарные орбиты, имеющие эллиптическую форму.

Геометрические свойства эллиптических координат также могут быть полезны. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q}$ эта сумма равна фиксированному вектору $\mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q}$, где подынтегральная функция была функцией длин векторов $\left|\mathbf {p} \right|$ и $\left|\mathbf {q} \right|$. (В таком случае можно было бы расположить $\mathbf {r}$ между двумя фокусами и совмещены с $x$-ось, т.е. $\mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}}$.) Для конкретности, $\mathbf {r}$, $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q}$ может представлять импульсы частицы и продуктов ее распада соответственно, а подынтегральная функция может включать кинетические энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов).

См. также

• Криволинейные координаты
• Эллипсоидальные координаты
• Обобщенные координаты
• Биполярные координаты

Ссылки

• «Эллиптические координаты» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Корн ГА и Корн ТМ . (1961) Математический справочник для ученых и инженеров , МакГроу-Хилл.
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптические цилиндрические координаты». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html