Конфокальные конические срезы

Карандаши софокальных эллипсов и гипербол.

В геометрии два конических сечения называются софокусными, если они имеют одинаковые фокусы .

Поскольку эллипсы и гиперболы имеют два фокуса, существуют софокальные эллипсы , софокальные гиперболы и софокальные смеси эллипсов и гипербол. В смеси софокальных эллипсов и гипербол любой эллипс пересекает любую гиперболу ортогонально (под прямым углом).

Параболы имеют только один фокус, поэтому по соглашению конфокальные параболы имеют один и тот же фокус и одну и ту же ось симметрии. Следовательно, любая точка, не лежащая на оси симметрии, лежит на двух софокусных параболах, пересекающихся ортогонально (см. ниже ).

Круг представляет собой эллипс , оба фокуса которого совпадают в центре. Круги, имеющие один и тот же фокус, называются концентрическими кругами , и они ортогонально пересекают любую линию, проходящую через этот центр.

Формальное распространение понятия софокусных коник на поверхности приводит к софокусным квадрикам .

Конфокальные эллипсы и гиперболы

Любая гипербола или (некруглый) эллипс имеет два фокуса и любую пару различных точек. $F_{1},\,F_{2}$ в евклидовой плоскости и любой третьей точке $P$ не на линии, соединяющей их, однозначно определяют эллипс и гиперболу с общими фокусами $F_{1},\,F_{2}$ и пересекающийся ортогонально в точке $P.$ (См. § Определение эллипса как места точек и Гиперболы § как места точек .)

Очаги $F_{1},\,F_{2}$ таким образом определим два пучка софокусных эллипсов и гипербол.

По теореме о главной оси плоскость допускает декартову систему координат с началом в средней точке между фокусами и ее осями, совмещенными с осями софокусных эллипсов и гипербол. Если $c$ – линейный эксцентриситет (половина расстояния между $F_{1}$ и $F_{2}$ ), то в этой системе координат $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0).$

Каждый эллипс или гипербола на карандаше представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1

с большой полуосью $a$ в качестве параметра. Если большая полуось меньше линейного эксцентриситета ( $0<a<c$ ), уравнение определяет гиперболу, а если большая полуось больше линейного эксцентриситета ( $a>c$ ), он определяет эллипс.

Другое распространенное представление определяет пучок эллипсов и гипербол, конфокальных с данным эллипсом большой полуоси. $a$ и малая полуось $b$ (так что $0<b<a$ ), каждая коника, порожденная выбором параметра $\lambda \colon$

{\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1,

Если $-\infty <\lambda <b^{2},$ коника - это эллипс . Если $b^{2}<\lambda <a^{2},$ коника является гиперболой . Для $a^{2}<\lambda$ решений нет. Общими фокусами каждой коники на карандаше являются точки ${\textstyle {\bigl (}{\pm }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0{\bigr )}.}$ Это представление естественным образом обобщается на более высокие размерности (см. § Софокальные квадрики ).

Предельные кривые

В качестве параметра $\lambda$ приближается к значению $b^{2}$ снизу предел пучка софокусных эллипсов вырождается в отрезок между фокусами на $оси x$ (бесконечно плоский эллипс). Как $\lambda$ подходы $b^{2}$ сверху предел пучка софокальных гипербол вырождается до относительного дополнения этого отрезка относительно $оси x$ ; то есть к двум лучам с концами в фокусах, направленными наружу вдоль $оси x$ (бесконечно плоская гипербола). Эти две предельные кривые имеют два общих фокуса.

Это свойство проявляется аналогично в трехмерном случае, что приводит к определению фокальных кривых софокусных квадрик. См. § Конфокальные квадрики ниже.

Двойная ортогональная система

Наглядное доказательство того, что софокусные эллипсы и гиперболы пересекаются ортогонально, поскольку каждый из них обладает «свойством отражения».

Рассматривая пучки софокусных эллипсов и гипербол (см. свинцовую диаграмму), из геометрических свойств нормали и касательной в точке ( нормаль эллипса и тангенс гиперболы делят пополам угол между прямыми, ведущими к фокусам). Любой эллипс карандаша пересекает любую гиперболу ортогонально (см. схему).

Такое расположение, при котором каждая кривая в пучке непересекающихся кривых ортогонально пересекает каждую кривую в другом пучке непересекающихся кривых, иногда называют ортогональной сетью . Ортогональная сеть эллипсов и гипербол является основой эллиптической системы координат .

Конфокальные параболы

Парабола . имеет только один фокус и может рассматриваться как предельная кривая набора эллипсов (или набора гипербол), где один фокус и одна вершина остаются фиксированными, а второй фокус перемещается на бесконечность Если это преобразование выполняется на каждой конике в ортогональной сети софокусных эллипсов и гипербол, пределом является ортогональная сеть софокусных парабол, обращенных в противоположные стороны.

Каждая парабола с фокусом в начале координат и $осью x$ в качестве оси симметрии является геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению

y^{2}=2xp+p^{2},

для некоторого значения параметра $p,$ где $|p|$ это полурасширенная прямая кишка. Если $p>0$ то парабола открывается вправо , и если $p<0$ парабола открывается влево . Суть ${\bigl (}{-}{\tfrac {1}{2}}p,0{\bigr )}$ является вершиной параболы.

Из определения параболы для любой точки $P$ не на $оси x$ , существует уникальная парабола с фокусом в начале координат, открывающаяся вправо, и уникальная парабола с фокусом в начале координат, открывающаяся влево, пересекающаяся ортогонально в точке $P$ . (Параболы ортогональны по той же причине, что и софокальные эллипсы и гиперболы: параболы обладают отражающим свойством .)

Аналогично софокусным эллипсам и гиперболам, плоскость может быть покрыта ортогональной сетью парабол, которую можно использовать для параболической системы координат .

Сеть софокусных парабол можно рассматривать как изображение сети прямых, параллельных осям координат и содержащихся в правой половине комплексной плоскости конформным отображением $w=z^{2}$ (см. Внешние ссылки).

Концентрические круги и пересекающиеся линии

Круг – это эллипс с двумя совпадающими фокусами. Предел гипербол при сближении фокусов вырождается : пара пересекающихся прямых.

Если ортогональную сеть эллипсов и гипербол преобразовать путем объединения двух фокусов, результатом станет ортогональная сеть концентрических кругов и линий, проходящих через центр круга. Они являются основой полярной системы координат . ^[1]

Предел пучка эллипсов, имеющих один и тот же центр и оси и проходящих через данную точку, вырождается в пару линий, параллельных большой оси, поскольку два фокуса перемещаются в бесконечность в противоположных направлениях. Аналогично предел аналогичного пучка гипербол вырождается в пару прямых, перпендикулярных большой оси. Таким образом, прямоугольная сетка, состоящая из ортогональных пучков параллельных прямых, представляет собой своего рода сеть вырожденных софокусных коник. Такая ортогональная сеть является основой декартовой системы координат.

Теорема Грейвса

В 1850 году ирландский епископ Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью веревки: ^[2]

Если окружить данный эллипс E замкнутой нитью, длина которой превышает длину окружности данного эллипса, и нарисовать кривую, аналогичную конструкции эллипса садовником (см. диаграмму), то получится эллипс, конфокальный E.

Доказательство этой теоремы использует эллиптические интегралы и содержится в книге Клейна. Отто Штауде распространил этот метод на построение софокальных эллипсоидов (см. книгу Клейна).

Если эллипс E схлопывается в отрезок прямой $F_{1}F_{2}$ , получается небольшая вариация метода садовника, рисующего эллипс с фокусами $F_{1},F_{2}$ .

Конфокальные квадрики

Две квадратичные поверхности называются софокусными, если они имеют одни и те же оси и если их пересечения с каждой плоскостью симметрии являются софокусными кониками. Аналогично коникам, невырожденные пучки софокусных квадрик бывают двух типов: трехосные эллипсоиды , однолистные гиперболоиды и двухлистные гиперболоиды; и эллиптические параболоиды , гиперболические параболоиды и эллиптические параболоиды, открывающиеся в противоположном направлении.

Трехосный эллипсоид с полуосями $a,b,c$ где $a>b>c>0,$ определяет пучок софокальных квадрик. Каждая квадрика, порожденная параметром $\lambda ,$ – геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению:

{\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1.

Если $\lambda <c^{2}$ квадрика является эллипсоидом ; если $c^{2}<\lambda <b^{2}$ (на схеме: синий), это однолистный гиперболоид ; если $b^{2}<\lambda <a^{2}$ это гиперболоид из двух листов . Для $a^{2}<\lambda$ решений нет.

Фокальные кривые

Фокальные коники (эллипс, гипербола, черный)

$c^{2}=0.36,\ b^{2}=0.64,\quad$ вершина: $\lambda =$
$0.3575$ (эллипсоид, красный), $\ 0.3625$ (1с гиперб., синий),
$0.638$ (1с гиперб., синий), $\ 0.642$ (2с гиперб., фиолетовый)
внизу: Ограничительные поверхности между типами

Ограничьте поверхности для $\lambda \to c^{2}$ :

В качестве параметра $\lambda$ приближается к значению $c^{2}$ снизу предельный эллипсоид бесконечно плоский, или точнее — это площадь $плоскости x$ — $y$ , состоящая из эллипса

E:{\frac {x^{2}}{a^{2}-c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1

и его двустворчатый салон (на схеме: внизу слева, красный).

Как $\lambda$ подходы $c^{2}$ сверху -плоскости , , предельный гиперболоид одного листа бесконечно плоский, или точнее — это площадь $x$ — $y$ состоящая из того же эллипса $E$ и его двойная обшивка снаружи (на схеме: внизу слева, синего цвета).

Две предельные поверхности имеют точки эллипса. $E$ в общем.

Ограничьте поверхности для $\lambda \to b^{2}$ :

Аналогично, как $\lambda$ подходы $b^{2}$ сверху и снизу соответствующие предельные гиперболоиды (на схеме: нижний, правый, синий и фиолетовый) имеют гиперболу

H:\ {\frac {x^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1

в общем.

Фокальные кривые:

Фокусы эллипса $E$ являются вершинами гиперболы $H$ и наоборот. Так $E$ и $H$ представляют собой пару фокальных коник .

Реверс: поскольку любая квадрика пучка софокусных квадрик, определяемая $a,b,c$ можно построить методом булавок и ниток (см. эллипсоид ) фокальные коники $E,H$ играют роль бесконечного множества фокусов и называются фокальными кривыми пучка софокусных квадрик. ^[3]^[4]^[5]

Тройная ортогональная система

Аналогично случаю конфокальных эллипсов/гипербол,

Любая точка

(x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}

с

x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0

лежит ровно на одной поверхности любого из трёх типов софокусных квадрик.

Три квадрики, проходящие через точку

(x_{0},y_{0},z_{0})

пересекаются там ортогонально (см. внешнюю ссылку).

Доказательство существования и единственности трёх квадрик через точку:
Для точки $(x_{0},y_{0},z_{0})$ с $x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0$ пусть будет $f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1$ .Эта функция имеет три вертикальные асимптоты. $c^{2}<b^{2}<a^{2}$ и находится в любом из открытых интервалов $(-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )$ непрерывная функция и монотонно возрастающая . Из поведения функции вблизи ее вертикальных асимптот и из $\lambda \to \pm \infty$ обнаруживается (см. диаграмму):
Функция $f$ имеет ровно 3 нуля $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ с ${\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .$

Доказательство ортогональности : поверхностей
Использование карандашей функций $F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}$ с параметром $\lambda$ конфокальные квадрики можно описать формулой $F_{\lambda }(x,y,z)=1$ . Для любых двух пересекающихся квадрик с $F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1$ мы приходим к общей точке $(x,y,z)$

0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb

\ =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .

Из этого уравнения получаем скалярное произведение градиентов в общей точке

\operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,

что доказывает ортогональность.

Эллипсоид с линиями кривизны как кривыми пересечения с софокусными гиперболоидами
$a=1,\;b=0.8,\;c=0.6$

Приложения:
Согласно теореме Дюпена о тройных ортогональных системах поверхностей кривая пересечения любых двух софокусных квадрик представляет собой линию кривизны . Аналогично плоским эллиптическим координатам существуют эллипсоидные координаты .

В физике конфокальные эллипсоиды представляют собой эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида. ^[6]

Теорема Айвори

Теорема Айвори (или Айвори лемма ), ^[7] названный в честь шотландского математика и астронома Джеймса Айвори (1765–1842), представляет собой утверждение о диагоналях , чистого прямоугольника четырехугольника, образованного ортогональными кривыми:

Для любого сетчатого прямоугольника, образованного двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с одинаковыми фокусами, диагонали имеют одинаковую длину (см. схему).

Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы:
Позволять $E(a)$ быть эллипсом с фокусами $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$ и уравнение

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0\

и $H(u)$ софокальная гипербола с уравнением

{\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .

Вычисление пересечения точек $E(a)$ и $H(u)$ человек получает четыре балла:

\left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right)

Диагонали развертки-прямоугольника:
Для упрощения расчета пусть $c=1$ без ограничения общности (любая другая конфокальная сеть может быть получена путем равномерного масштабирования) и среди четырех пересечений эллипса и гиперболы выберите те, которые находятся в положительном квадранте (другие комбинации знаков дают тот же результат после аналогичного расчета).

Пусть будет $E(a_{1}),E(a_{2})$ два конфокальных эллипса и $H(u_{1}),H(u_{2})$ две конфокальные гиперболы с одинаковыми фокусами. Диагонали четырех точек сетчатого прямоугольника, состоящего из точек

{\begin{aligned}P_{11}&=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right),&P_{22}&=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),\\[5mu]P_{12}&=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),&P_{21}&=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\end{aligned}}

являются:

{\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}\\[5mu]&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}

Последнее выражение инвариантно относительно замены $u_{1}\leftrightarrow u_{2}$ . Именно этот обмен приводит к $|P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}$ . Следовательно $|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|$

Доказательство утверждения для конфокальных парабол представляет собой простой расчет.

Айвори даже доказал трёхмерную версию своей теоремы (с. Блашке, стр. 111):

Для трехмерного прямоугольного кубоида, образованного софокусными квадриками, диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют одинаковую длину.

См. также

Ссылки

^ Гильберт и Кон-Фоссен 1952 , с. 6 .
^ Феликс Кляйн: Лекции по высшей геометрии , Шрингер-Верлаг, Берлин, 1926, стр.32.
^ Стауде, О.: О нитевых конструкциях эллипсоида . Математика Энн. 20, 147–184 (1882)
^ Стауде, О.: О новых фокальных свойствах поверхностей 2-й степени. Математика Энн. 27, 253–271 (1886).
^ Стауде, О.: Алгебраические основы фокальных свойств поверхностей 2-го порядка Ann. 50, 398 – 428 (1898)
^ Д. Фукс , С. Табачников : Математическая диаграмма. Springer-Verlag, Берлин/Гейдельберг, 2011 г., ISBN 978-3-642-12959-9 , с. 480.
^ Айвори использовал это как лемму при доказательстве теоремы о том, что эквипотенциальные поверхности гравитационного поля, внешние по отношению к однородному трехосному эллипсоиду, являются софокусными эллипсоидами.

Блашке, Вильгельм (1954). «VI. Конфокальные квадрики» [Confocal Quadrics]. Analytische Geometry [ Аналитическая геометрия ] (на немецком языке). Базель: Спрингер. стр. 108–132.
Глезер, Георг; Стачел, Хельмут; Оденал, Борис (2016). «2. Евклидова плоскость». Вселенная Коникс . Спрингер. стр. 11–60. дои : 10.1007/978-3-662-45450-3_2 . ISBN 978-3-662-45449-7 . См. также «10. Другие геометрии». дои : 10.1007/978-3-662-45450-3_10 .
Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), «§1.4 Нитевая конструкция эллипсоида и конфокальные квадрики» , «Геометрия и воображение» , Челси, стр. 19–25.
Оденал, Борис; Стачел, Хельмут; Глезер, Георг (2020). «7. Конфокальные квадрики». Вселенная Квадрик . Спрингер. стр. 279–325. дои : 10.1007/978-3-662-61053-4_7 . ISBN 978-3-662-61052-7 . S2CID 242527367 .
Эрнесто Паскаль : Справочник по высшей математике. Тойбнер, Лейпциг/Берлин, 1910 г., с. 257.
А. Робсон: Введение в аналитическую геометрию. Vo. Я, Кембридж, University Press, 1940, с. 157.
Соммервилл, Дункан Макларен Янг (1934). «XII. Фокусы и фокальные свойства» . Аналитическая геометрия трех измерений . Издательство Кембриджского университета. стр. 224–250.

Внешние ссылки

Т. Хофманн: Минискрипт Дифференциальной геометрии I, с. 48
Б. Спрингборн: Кривые и поверхности , 12-я лекция: Конфокальные квадрики (с. 22 л.).
Х. Вальзер: Конформные изображения. п. 8.

[FOOTNOTEHilbertCohn-Vossen1952[httpsarchiveorgdetailsgeometryimaginat0000dhilpage6_6]-1] Гильберт и Кон-Фоссен 1952 , с. 6 .

[2] Феликс Кляйн: Лекции по высшей геометрии , Шрингер-Верлаг, Берлин, 1926, стр.32.

[3] Стауде, О.: О нитевых конструкциях эллипсоида . Математика Энн. 20, 147–184 (1882)

[4] Стауде, О.: О новых фокальных свойствах поверхностей 2-й степени. Математика Энн. 27, 253–271 (1886).

[5] Стауде, О.: Алгебраические основы фокальных свойств поверхностей 2-го порядка Ann. 50, 398 – 428 (1898)

[6] Д. Фукс , С. Табачников : Математическая диаграмма. Springer-Verlag, Берлин/Гейдельберг, 2011 г., ISBN 978-3-642-12959-9 , с. 480.

[7] Айвори использовал это как лемму при доказательстве теоремы о том, что эквипотенциальные поверхности гравитационного поля, внешние по отношению к однородному трехосному эллипсоиду, являются софокусными эллипсоидами.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]