Jump to content

Фокальные коники

Определение фокальных коник
A,C: вершины эллипса и фокусы гиперболы.
E,F: фокусы эллипса и вершины гиперболы.
Фокальные коники: две параболы
A: вершина красной параболы и фокус синей параболы.
F: фокус красной параболы и вершина синей параболы.

В геометрии из фокальные коники — это пара кривых, состоящих [1] [2] или

  • эллипс . и гипербола , где гипербола содержится в плоскости, ортогональной плоскости, содержащей эллипс Вершины гиперболы являются фокусами эллипса, а ее фокусы - вершинами эллипса (см. схему).

или

  • две параболы , которые содержатся в двух ортогональных плоскостях и вершина одной параболы является фокусом другой и наоборот.

Фокальные коники играют существенную роль, отвечая на вопрос: «Какие правые круговые конусы содержат данный эллипс, гиперболу или параболу (см. ниже)».

Фокальные коники используются в качестве направляющих для создания циклид Дюпена в качестве поверхностей каналов двумя способами. [3] [4]

Фокальные коники можно рассматривать как вырожденные фокальные поверхности : циклиды Дюпена - единственные поверхности, у которых фокальные поверхности схлопываются в пару кривых, а именно фокальные коники. [5]

В физической химии фокальные коники используются для описания геометрических свойств жидких кристаллов . [6]

Не следует смешивать фокальные коники с конфокальными кониками . Последние имеют все те же очаги.

Уравнения и параметрические представления

[ редактировать ]

Эллипс и гипербола

[ редактировать ]
Уравнения

Если описать эллипс в плоскости xy обычным способом уравнением

то соответствующая фокальная гипербола в плоскости xz имеет уравнение

где - линейный эксцентриситет эллипса с

Параметрические представления
эллипс: и
гипербола:

Две притчи

[ редактировать ]

Две параболы в плоскости xy и в плоскости xz:

1. парабола: и
2. парабола:

с полуправая часть обеих парабол.

Правый круглый конус (зеленый) через эллипс (синий)

Правильные круговые конусы через эллипс

[ редактировать ]
  • Вершины правых круговых конусов, проходящих через данный эллипс, лежат на фокальной гиперболе, принадлежащей эллипсу.
Правильные круговые конусы через эллипс
Доказательство

Дано : Эллипс с вершинами. и очаги и правильный круговой конус с вершиной содержащий эллипс (см. диаграмму).

Из-за симметрии ось конуса должна находиться в плоскости, проходящей через фокусы, ортогональной плоскости эллипса. Существует сфера Одуванчика , который касается плоскости эллипса в фокусе и конус в круге. Из диаграммы и того факта, что все касательные расстояния точки к сфере равны, получаем:

Следовательно:

константа

и множество всех возможных вершин лежит на гиперболе с вершинами и фокусы .

Аналогично доказываются случаи, когда конусы содержат гиперболу или параболу. [7]

  1. ^ Мюллер-Круппа, стр. 104.
  2. ^ Glaeser-Stachel-Odehnal, с. 137
  3. ^ Феликс Кляйн: Лекции по высшей геометрии , редакторы: В. Блашке, Рихард Курант, Springer-Verlag, 2013, ISBN   3642498485 , С. 58.
  4. ^ Глезер-Штахель-Оденаль: с. 147
  5. ^ Д. Гильберт, С. Кон-Воссен: Геометрия и воображение , Chelsea Publishing Company, 1952, стр. 218.
  6. ^ Томас Эндрю Вэй: Физика живых процессов , Verlag John Wiley & Sons, 2014, ISBN   1118698274 , с. 128.
  7. ^ Глезер-Штахель-Оденаль с. 139
  • Георг Глезер, Хельмут Шванц, Борис Оденал: Вселенная коников , Springer, 2016, ISBN   3662454505 .
  • Э. Мюллер, Э. Круппа : Учебник по выполнению геомелии , Springer-Verlag, Вена, 1961, ISBN   978-3-211-80589-3 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 534ed22fdbc06ea4b4269b27888f7478__1707078180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/53/78/534ed22fdbc06ea4b4269b27888f7478.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Focal conics - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)