Jump to content

Сферы одуванчика

(Перенаправлено со сферы Одуванчика )
Сферы одуванчика касаются бледно-желтой плоскости, пересекающей конус.
Эта конструкция показывает, как можно найти фокальные точки эллипса с помощью сфер Одуванчика. Биссектриса между линией , представляющей плоскость, и линией, представляющей поверхность конуса, ведет к центру соответствующей сферы.

В геометрии сферы Одуванчика — это одна или две сферы , которые касаются одновременно плоскости и конуса , пересекающего плоскость. Пересечение конуса и плоскости представляет собой коническое сечение , а точка, в которой любая сфера касается плоскости, является фокусом конического сечения, поэтому сферы Одуванчика также иногда называют фокальными сферами . [ 1 ]

Сферы Одуванчика были открыты в 1822 году. [ 1 ] [ 2 ] Они названы в честь французского математика Жерминаля Пьера Данделена , хотя Адольфу Кетле . иногда частично отдают должное и [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

Сферы Одуванчика можно использовать для изящных современных доказательств двух классических теорем, известных Аполлонию Пергскому . Первая теорема состоит в том, что замкнутое коническое сечение (т. е. эллипс ) является местом точек таких, что сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Вторая теорема состоит в том, что для любого конического сечения расстояние от фиксированной точки (фокуса) пропорционально расстоянию от фиксированной линии ( директрисы ), причем константа пропорциональности называется эксцентриситетом . [ 6 ]

Коническое сечение имеет по одной сфере Одуванчика для каждого фокуса. У эллипса две сферы Одуванчика касаются одной и той же оболочки конуса, а у гиперболы две сферы Одуванчика касаются противоположных оболочек. Парабола . имеет только одну сферу Одуванчика

Доказательство того, что кривая пересечения имеет постоянную сумму расстояний до фокусов.

[ редактировать ]

Рассмотрим иллюстрацию, изображающую конус с вершиной S вверху. Плоскость e пересекает конус по кривой C (с синей внутренней частью). Следующее доказательство покажет, что кривая С является эллипсом.

Две коричневые сферы Одуванчика, G 1 и G 2 , расположены по касательной как к плоскости, так и к конусу: G 1 над плоскостью, G 2 внизу. Каждая сфера касается конуса по окружности (белого цвета). и .

Обозначим точку касания плоскости с G 1 через F 1 , и аналогично для G 2 и F 2 . Пусть P типичная точка на кривой C.

Доказать: сумму расстояний остается постоянной при движении точки P вдоль кривой C. пересечения (Это одно из определений C как эллипса, где и являются его фокусами.)

  • Линия, проходящая через P и вершину S конуса, пересекает две окружности, касаясь G 1 и G 2 соответственно в точках P 1 и P 2 .
  • Когда P движется по кривой, P 1 и P 2 движутся вдоль двух окружностей, и их расстояние d ( P 1 , P 2 ) остается постоянным.
  • Расстояние от P до F 1 такое же, как расстояние от P до P 1 , поскольку отрезки PF 1 и PP 1 одной и касаются той же сферы G 1 .
  • Согласно симметричному рассуждению, расстояние от P до F 2 такое же, как расстояние от P до P 2 .
  • Следовательно, мы вычисляем сумму расстояний как которая является постоянной при движении P по кривой.

Это дает другое доказательство теоремы Аполлония Пергского . [ 6 ]

Если мы определим эллипс как геометрическое место точек P таких, что d ( F 1 , P ) + d ( F 2 , P ) = константа, то приведенный выше аргумент доказывает, что кривая пересечения C действительно является эллипсом. То, что пересечение плоскости с конусом симметрично относительно биссектрисы прямых, проходящих через F 1 и F 2, может показаться нелогичным, но этот аргумент проясняет ситуацию.

Корпус цилиндра

Адаптации этого аргумента работают для гипербол и парабол как пересечений плоскости с конусом. Другая адаптация работает для эллипса, реализованного как пересечение плоскости прямым круговым цилиндром .

Доказательство свойства focus-directrix

[ редактировать ]

Направляющую конического сечения можно найти с помощью конструкции Данделина. Каждая сфера Одуванчика пересекает конус по окружности; пусть оба этих круга определяют свои плоскости. Пересечения этих двух параллельных плоскостей с плоскостью конического сечения будут двумя параллельными линиями; эти линии являются директрисами конического сечения. Однако парабола имеет только одну сферу Одуванчика и, следовательно, имеет только одну направляющую.

С помощью сфер Одуванчика можно доказать, что любое коническое сечение является геометрическим местом точек, для которых расстояние от точки (фокуса) пропорционально расстоянию от направляющей. [ 7 ] Древнегреческие математики, такие как Папп Александрийский, знали об этом свойстве, но сферы одуванчика облегчают доказательство. [ 6 ]

Ни Данделен, ни Кетле не использовали сферы Одуванчика для доказательства свойства фокус-директориса. Первым, кто сделал это, возможно, был Пирс Мортон в 1829 году. [ 8 ] или, возможно, Хью Гамильтон, который заметил (в 1758 году), что сфера касается конуса в окружности, определяющей плоскость, пересечение которой с плоскостью конического сечения является направляющей. [ 1 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] Свойство focus-directrix можно использовать для доказательства того, что астрономические объекты движутся по коническим сечениям вокруг Солнца. [ 12 ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б с Тейлор, Чарльз. Введение в древнюю и современную геометрию коник , стр. 196 («фокальные сферы») , стр. 204–205 (история открытия) (Дейтон, Белл и компания, 1881).
  2. ^ Данделин, Г. (1822). «Мемуары о некоторых замечательных свойствах параболического фокуса [ т. е . косого строфоида ]». Новые мемуары Королевской академии наук и брюссельской беллетристики (на французском языке). 2 : 171–200.
  3. ^ Кендиг, Кейт. Коники , с. 86 (доказательство эллипса) и с. 141 (для гиперболы) (Издательство Кембриджского университета, 2005).
  4. ^ Кетле, Адольф (1819) «Первая математическая диссертация по некоторым геометрическим локусам, а также фокальным кривым» , докторская диссертация (Университет Гента («Ганд»), Бельгия). (на латыни)
  5. ^ Годо, Л. (1928). «Математик Адольф Кетле (1796-1874)» . Небо и Земля (на французском языке). 44 : 60–64.
  6. ^ Jump up to: а б с Хит, Томас. История греческой математики , стр. 119 (свойство focus-directrix) , стр. 542 (сумма расстояний до свойства фокусов) (Clarendon Press, 1921).
  7. ^ Браннан, А. и др. Геометрия , стр. 19 (Издательство Кембриджского университета, 1999).
  8. Биографии Нумериканы: Мортон, Пирс
  9. ^ Мортон, Пирс. Геометрия, плоскость, твердое тело и сфера, в шести книгах , стр. 228 (Болдуин и Крэдок, 1830).
  10. ^ Мортон, Пирс (1830). «О фокусе конического сечения» . Труды Кембриджского философского общества . 3 : 185–190.
  11. ^ Гамильтон, Хью (1758). О конических сечениях Геометрический трактат. В котором, исходя из Природы самого Конуса, легче всего вывести свойства Секций. Новым методом [ О конических сечениях. Геометрический трактат. В котором, исходя из природы самого конуса, легче всего выводятся отношения сечений. Новым методом. ] (на латыни). Лондон, Англия: Уильям Джонстон. стр. 122–125. Книга II, предложение 37 (37).
  12. ^ Хайман, Эндрю. «Простая декартова трактовка движения планет», Европейский журнал физики , Vol. 14, стр. 145 (1993).
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 74adef842d8aefbac3a9f3cba3351d39__1712355180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/74/39/74adef842d8aefbac3a9f3cba3351d39.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Dandelin spheres - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)