Сферы одуванчика

Сферы одуванчика касаются бледно-желтой плоскости, пересекающей конус.

Эта конструкция показывает, как можно найти фокусы эллипса с помощью сфер Одуванчика. Биссектриса между линией , представляющей плоскость, и линией, представляющей поверхность конуса, ведет к центру соответствующей сферы.

В геометрии сферы Одуванчика — это одна или две сферы , которые касаются одновременно плоскости и конуса , пересекающего плоскость. Пересечение конуса и плоскости представляет собой коническое сечение , а точка, в которой любая сфера касается плоскости, является фокусом конического сечения, поэтому сферы Одуванчика также иногда называют фокальными сферами .

Сферы Одуванчика были открыты в 1822 году. Они названы в честь французского математика Жерминаля Пьера Данделена , хотя Адольфу Кетле . иногда частично отдают должное и

Сферы Одуванчика можно использовать для изящных современных доказательств двух классических теорем, известных Аполлонию Пергскому . Первая теорема состоит в том, что замкнутое коническое сечение (т. е. эллипс ) является местом точек таких, что сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Вторая теорема состоит в том, что для любого конического сечения расстояние от фиксированной точки (фокуса) пропорционально расстоянию от фиксированной линии ( директрисы ), причем константа пропорциональности называется эксцентриситетом .

Коническое сечение имеет по одной сфере Одуванчика для каждого фокуса. У эллипса две сферы Одуванчика касаются одной и той же оболочки конуса, а у гиперболы две сферы Одуванчика касаются противоположных оболочек. Парабола . имеет только одну сферу Одуванчика

Доказательство того, что кривая пересечения имеет постоянную сумму расстояний до фокусов.

Рассмотрим иллюстрацию, изображающую конус с вершиной S вверху. Плоскость e пересекает конус по кривой C (с синей внутренней частью). Следующее доказательство покажет, что кривая С является эллипсом.

Две коричневые сферы Одуванчика, G ₁ и G ₂ , расположены по касательной как к плоскости, так и к конусу: G ₁ над плоскостью, G ₂ внизу. Каждая сфера касается конуса по окружности (белого цвета). $k_{1}$ и $k_{2}$.

Обозначим точку касания плоскости с G ₁ через F ₁ ,и аналогично для G ₂ и F ₂ . Пусть P типичная точка на кривой C. —

Доказать: сумму расстояний $d(P,F_{1})+d(P,F_{2})$ остается постоянной при движении точки P вдоль кривой C. пересечения (Это одно из определений C как эллипса, где $F_{1}$ и $F_{2}$ являются его фокусами.)

• Линия, проходящая через P и вершину S конуса, пересекает две окружности, касаясь G ₁ и G ₂ соответственно в точках P ₁ и P ₂ .
• Когда P движется по кривой, P ₁ и P ₂ движутся вдоль двух окружностей, и их расстояние d ( P ₁ , P ₂ ) остается постоянным.
• Расстояние от P до F ₁ такое же, как расстояние от P до P ₁ , поскольку отрезки PF ₁ и PP ₁ одной и касаются той же сферы G ₁ .
• Согласно симметричному рассуждению, расстояние от P до F ₂ такое же, как расстояние от P до P ₂ .
• Следовательно, мы вычисляем сумму расстояний как $d(P,F_{1})+d(P,F_{2})\ =\ d(P,P_{1})+d(P,P_{2})\ =\ d(P_{1},P_{2}),$ которая является постоянной при движении P по кривой.

Это дает другое доказательство теоремы Аполлония Пергского .

Если мы определим эллипс как геометрическое место точек P таких, что d ( F ₁ , P ) + d ( F ₂ , P ) = константа, то приведенный выше аргумент доказывает, что кривая пересечения C действительно является эллипсом. То, что пересечение плоскости с конусом симметрично относительно биссектрисы прямых, проходящих через F ₁ и F _2, может показаться нелогичным, но этот аргумент проясняет ситуацию.

Корпус цилиндра

Адаптации этого аргумента работают для гипербол и парабол как пересечений плоскости с конусом. Другая адаптация работает для эллипса, реализованного как пересечение плоскости прямым круговым цилиндром .

Доказательство свойства focus-directrix

Направляющую конического сечения можно найти с помощью конструкции Данделина. Каждая сфера Одуванчика пересекает конус по окружности; пусть оба этих круга определяют свои плоскости. Пересечения этих двух параллельных плоскостей с плоскостью конического сечения будут двумя параллельными линиями; эти линии являются директрисами конического сечения. Однако парабола имеет только одну сферу Одуванчика и, следовательно, имеет только одну направляющую.

С помощью сфер Одуванчика можно доказать, что любое коническое сечение является геометрическим местом точек, для которых расстояние от точки (фокуса) пропорционально расстоянию от направляющей. Древнегреческие математики, такие как Папп Александрийский, знали об этом свойстве, но сферы одуванчика облегчают доказательство.

Ни Данделен, ни Кетле не использовали сферы Одуванчика для доказательства свойства фокус-директориса. Первым, кто сделал это, возможно, был Пирс Мортон в 1829 году. или, возможно, Хью Гамильтон, который заметил (в 1758 году), что сфера касается конуса в окружности, определяющей плоскость, пересечение которой с плоскостью конического сечения является направляющей. Свойство focus-directrix можно использовать для доказательства того, что астрономические объекты движутся по коническим сечениям вокруг Солнца.

Внешние ссылки

• Страница «Сферы одуванчиков» Хопа Дэвида
• Вайсштейн, Эрик В. «Сферы одуванчиков» . Математический мир .
• Страница Математической академии о сферах Данделина. Архивировано 11 апреля 2007 г. в Wayback Machine.
• Бельгийские теоремы Ксавье Юбо (на французском языке).
• Орбиты конического сечения - сферы одуванчика Грега Игана