Фокальная поверхность

Фокальные поверхности (синие, розовые) гиперболического параболоида (белые) $z=x^{2}-y^{2},\;0\leq x,y\leq 0.5$

Фокальные поверхности (зеленые и красные) седла обезьяны (синие). В центральной точке седла обезьяны кривизна Гаусса равна 0, в противном случае она отрицательна.

Для поверхности трехмерной фокальная поверхность , поверхность центров или эволюта формируется путем взятия центров сфер кривизны , которые представляют собой тангенциальные сферы , радиусы которых являются обратными величинами одной из главных кривизн в точке касания. Эквивалентно, это поверхность, образованная центрами кругов, соприкасающихся с кривизны линиями .

Поверхность с эллиптической пуповиной и ее фокальная поверхность.

Поверхность с гиперболической омбиликой и ее фокальной поверхностью.

Поскольку главные кривизны являются собственными значениями второй фундаментальной формы, их две в каждой точке, и они приводят к появлению двух точек фокальной поверхности в каждом направлении нормали к поверхности. Вдали от пупочных точек эти две точки фокальной поверхности различимы; в точках пуповины два листа сходятся вместе. Когда поверхность имеет гребень, фокальная поверхность имеет ребро возврата , три таких края проходят через эллиптический омбилик и только один — через гиперболический омбилик. В точках, где гауссова кривизна равна нулю, один лист фокальной поверхности будет иметь точку на бесконечности, соответствующую нулевой главной кривизне.

Если ${\vec {p}}$ – точка данной поверхности, ${\vec {n}}$ аппарат нормальный и $k_{1},k_{2}$ главные кривизны в ${\vec {p}}$, затем

${\vec {b}}_{1}({\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{1}}}\quad$ и $\quad {\vec {b}}_{2}({\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{2}}}\$

— соответствующие две точки фокальной поверхности.

Особые случаи

1. Фокальная поверхность сферы состоит из единственной точки — ее центра.
2. Одна часть фокальной поверхности поверхности вращения состоит из оси вращения.
3. Фокальная поверхность тора состоит из направляющей окружности и оси вращения.
4. Фокальная поверхность циклиды Дюпена состоит из пары фокальных коник . Циклиды Дюпена — единственные поверхности, фокальные поверхности которых вырождаются в две кривые.
5. Одна часть фокальной поверхности поверхности канала вырождается в его директрису.
6. Две софокусные квадрики (например, эллипсоид и однолистный гиперболоид) можно рассматривать как фокальные поверхности поверхности.

См. также

• Фокус (оптика)
• Развитый

Ссылки

• Чандру, В.; Датта, Д.; Хоффманн, CM (1988), О геометрии циклидов Дюпена , электронные издатели Университета Пердью .