Куспид (сингулярность)

В математике точка возврата , иногда называемая спинодом в старых текстах, представляет собой точку на кривой , в которой движущаяся точка должна изменить направление. Типичный пример представлен на рисунке. Таким образом, точка возврата является разновидностью особой точки кривой .

Для плоской кривой, определяемой аналитическим параметрическим уравнением

{\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}

точка возврата — это точка, в которой обе производные f $производная$ и $g$ равны нулю, а по направлению в направлении касательной меняет знак (направление касательной — это направление наклона $\lim(g'(t)/f'(t))$ ). Каспы являются локальными особенностями в том смысле, что они включают только одно значение параметра $t$ , в отличие от точек самопересечения, которые включают более одного значения. В некоторых контекстах условие на производную по направлению может быть опущено, хотя в этом случае особенность может выглядеть как регулярная точка.

Для кривой, определяемой неявным уравнением

F(x,y)=0,

который является гладким , точки возврата - это точки, где члены самой низкой степени разложения Тейлора F $являются$ степенью линейного многочлена ; однако не все особые точки, обладающие этим свойством, являются точками возврата. Теория рядов Пюизо подразумевает, что, если $F$ является аналитической функцией (например, полиномом кривую ), линейное изменение координат позволяет параметризовать в окрестности точки возврата как

{\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}

где $a$ — действительное число , $m$ — положительное четное целое число , а $S (t)$ — ряд порядка степенной $k$ (степень ненулевого члена низшей степени), больший, чем $m$ . Число $m$ иногда называют порядком или кратностью точки возврата и равно степени ненулевой части наименьшей степени $F$ . В некоторых контекстах определение точки возврата ограничивается случаем точки возврата второго порядка, то есть случаем, когда $m = 2$ .

Определения плоских кривых и неявно определенных кривых были обобщены Рене Томом и Владимиром Арнольдом кривые, определяемые дифференцируемыми функциями : кривая имеет точку возврата в точке, если существует диффеоморфизм окрестности на точки в объемлющем пространстве, который отображает кривую на одну из определенных выше точек возврата.

Классификация в дифференциальной геометрии

Рассмотрим гладкую вещественную функцию двух переменных , скажем, $f (x, y)$ , где $x$ и $y$ — действительные числа . Итак, $f$ — это функция от плоскости к прямой. На пространство всех таких гладких функций действует группа диффеоморфизмов в , плоскости и диффеоморфизмов прямой, т. е. диффеоморфных изменений координат как в источнике так и цели . Это действие разбивает все функциональное пространство на классы эквивалентности , т.е. орбиты группы действия .

Одно такое семейство классов эквивалентности обозначается ⁠ $A_{k}^{\pm },$ ⁠ где $k$ — неотрицательное целое число. функция $f$ Говорят, что имеет тип ⁠ $A_{k}^{\pm }$ ⁠ если он лежит на орбите $x^{2}\pm y^{k+1},$ т.е. существует диффеоморфная замена координат источника и цели, которая переводит $f$ в одну из этих форм. Эти простые формы $x^{2}\pm y^{k+1}$ Говорят, что они дают нормальные формы для типа ⁠ $A_{k}^{\pm }$ ⁠ -особенности. Обратите внимание, что ⁠ $A_{2n}^{+}$ ⁠ такие же, как ⁠ $A_{2n}^{-}$ ⁠ поскольку диффеоморфная замена координаты ⁠ $(x,y)\to (x,-y)$ ⁠ в исходнике занимает $x^{2}+y^{k+1}$ к $x^{2}-y^{2n+1}.$ Итак, мы можем убрать ± из ⁠ $A_{2n}^{\pm }$ ⁠ обозначение.

Тогда точки возврата задаются множествами нулевого уровня представителей ⁠ $A_{2n}$ ⁠ классы эквивалентности, где $n \geq 1$ — целое число. ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры

Острие полукубической параболы $y^{2}=x^{3}$

Обычный касп определяется выражением $x^{2}-y^{3}=0,$ $x^{2}-y^{3}=0,$ т. е. множество нулевого уровня типа A ₂ -особенности. Пусть f ( x , y ) — гладкая функция x и y , и для простоты предположим, что f (0, 0) = 0 . Тогда особенность типа A ₂ функции f в (0, 0) может быть охарактеризована следующим образом:
1. Имея вырожденную квадратичную часть, то есть квадратичные члены в ряду Тейлора f $образуют$ идеальный квадрат, скажем, $L (x, y) 2$ , где $L (x, y)$ линейно по $x$ и $y$ , и
2. $L (x, y)$ не делит кубические члены в ряду Тейлора функции $f (x, y)$ .
Рамфоидный выступ (от греческого «клювовидный») первоначально обозначал выступ, в котором обе ветви находятся на одной стороне касательной, например, для кривой уравнения $x^{2}-x^{4}-y^{5}=0.$ Поскольку такая особенность находится в том же дифференциальном классе, что и точка возврата уравнения $x^{2}-y^{5}=0,$ которая является особенностью типа $A 4$ , этот термин был распространен на все такие особенности. Эти точки возврата не являются общими, как каустики и волновые фронты . Рамфоидное острие и обыкновенное острие недиффеоморфны. Параметрическая форма – это $x=t^{2},\,y=ax^{4}+x^{5}.$

Для особенности типа $A 4$ нам нужно, $чтобы f$ имел вырожденную квадратичную часть (это дает тип $A \geq2$ ), чтобы $L$ делил кубические члены (это дает тип $A \geq3$ ), еще одно условие делимости (что дает тип $A \geq4$ ) и окончательное условие неделимости (дающее тип ровно $A 4$ ).

Чтобы понять, откуда берутся эти дополнительные условия делимости, предположим, что $f$ имеет вырожденную квадратичную часть $L 2$ и что $L$ делит кубические члены. Отсюда следует, что ряд Тейлора третьего порядка функции $f$ определяется выражением $L^{2}\pm LQ,$ где $Q$ квадратичен по $x$ и $y$ . Мы можем дополнить квадрат, чтобы показать, что $L^{2}\pm LQ=(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4.$ Теперь мы можем сделать диффеоморфную замену переменной (в этом случае мы просто заменяем многочлены с линейно независимыми линейными частями) так, что $(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4\to x_{1}^{2}+P_{1}$ где $P 1$ является квартикой (четвёртого порядка) по $x 1$ и $y 1$ . Условие делимости для типа $A \geq4$ состоит в том, что $x 1$ делит $P 1$ . Если $x 1$ не делит $P 1$ , то мы имеем тип ровно $A 3$ (множество нулевого уровня здесь является такнодом ) . Если $x 1$ делит $P 1,$ мы завершаем квадрат на $x_{1}^{2}+P_{1}$ и изменим координаты так, чтобы мы имели $x_{2}^{2}+P_{2}$ где $P 2$ является пятой (пятой порядком) по $x 2$ и $y 2$ . Если $x 2$ не делит $P 2 ,$ то мы имеем в точности тип $A 4$ , т.е. множество нулевого уровня будет рамфоидным каспом.

Приложения

Обыкновенный выступ, возникающий как каустика световых лучей на дне чайной чашки.

Перегибы появляются естественным образом при проецировании на плоскость гладкой кривой в трехмерном евклидовом пространстве . В общем случае такая проекция представляет собой кривую, особенностями которой являются точки самопересечения и обычные точки возврата. Точки самопересечения появляются, когда две разные точки кривых имеют одинаковую проекцию. Обычные точки возврата появляются, когда касательная к кривой параллельна направлению проекции (то есть когда касательная проецируется в одну точку). Более сложные сингулярности возникают, когда несколько явлений происходят одновременно. Например, рамфоидные выступы возникают для точек перегиба (и для точек волнистости ), для которых касательная параллельна направлению проекции.

Во многих случаях, обычно в компьютерном зрении и компьютерной графике , проецируемая кривая представляет собой кривую критических точек ограничения (гладкого) пространственного объекта проекции. Таким образом, выступ выступает как особенность контура изображения предмета (зрение) или его тени (компьютерная графика).

Каустики и волновые фронты — это другие примеры кривых, имеющих точки возврата, видимые в реальном мире.

См. также

Ссылки

Брюс, JW; Гиблин, Питер (1984). Кривые и особенности . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-42999-3 .
Портеус, Ян (1994). Геометрическое дифференцирование . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-39063-7 .

Внешние ссылки

Физики увидели космос в чашке кофе