АК - сингулярность

и, в частности , в теории особенностей , , _{особенность Ak} — где k ≥ 0 целое число , описывает уровень вырождения функции В математике . Обозначения введены В. И. Арнольдом .

Позволять $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ быть гладкой функцией . Обозначим через $\Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ бесконечномерное пространство всех таких функций. Позволять $\operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})$ обозначим бесконечномерную Ли диффеоморфизмов группу $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},$ и $\operatorname {diff} (\mathbb {R} )$ бесконечномерная группа Ли диффеоморфизмов $\mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ Группа продуктов $\operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )$ действует на $\Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ следующим образом: пусть $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ и $\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ являются диффеоморфизмами и $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ любая гладкая функция. Определим групповое действие следующим образом:

$(\varphi ,\psi )\cdot f:=\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}$

Орбита f , f обозначаемая orb( выражением ) этого группового действия, определяется

${\mbox{orb}}(f)=\{\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}:\varphi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} ^{n}),\psi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} )\}\ .$

Члены данной орбиты этого действия имеют следующий общий факт: мы можем найти диффеоморфную замену координат в ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ и диффеоморфная замена координаты в ⁠ $\mathbb {R}$⁠ такой, что один член орбиты переносится на любой другой. функция f Говорят, что имеет особенность типа Ak _, если она лежит на орбите

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=1+\varepsilon _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\varepsilon _{n-1}x_{n-1}^{2}\pm x_{n}^{k+1}$

где $\varepsilon _{i}=\pm 1$ и k ≥ 0 — целое число.

Под нормальной формой мы понимаем особенно простой представитель любой данной орбиты. Приведенные выше выражения для f типа Ak _{дают нормальные формы для особенностей} . типа Ak _{Особенности} являются особыми, поскольку они относятся к числу простых особенностей. Это означает, что существует только конечное число других орбит в достаточно малой окрестности орбиты f .

Эта идея распространяется на комплексные числа , где нормальные формы намного проще; например: нет необходимости отличать ε _i = +1 от ε _i = −1 .

Ссылки

• Арнольд, VI; Варченко А.Н.; Гусейн-Заде, С.М. (1985), Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов: особенности дифференцируемых отображений, Том 1 , Биркхойзер, ISBN  0-8176-3187-9