Такнод

В классической геометрии такузел алгебраической (также называемый точкой соприкосновения или двойной точкой возврата ) ^[1] является своего рода точкой кривой . особой Она определяется как точка, в которой две (или более) окружности, соприкасающиеся с кривой в этой точке, касаются друг друга . Это означает, что две ветви кривой имеют обычное касание в двойной точке. ^[1]

Канонический пример:

y^{2}-x^{4}=0.

Такузел произвольной кривой может быть затем определен из этого примера как точка самокасания, локально диффеоморфная точке в начале этой кривой. Другой пример такнода представлен кривой связей, показанной на рисунке, с уравнением

(x^{2}+y^{2}-3x)^{2}-4x^{2}(2-x)=0.

Более общий фон

Рассмотрим гладкую вещественную функцию двух переменных , скажем, $f (x, y)$ , где $x$ и $y$ — действительные числа . Итак, $f$ — это функция от плоскости к прямой. На пространство всех таких гладких функций действует группа диффеоморфизмов в , плоскости и диффеоморфизмов прямой, т. е. диффеоморфных изменений координат как в источнике так и цели . Это действие разбивает все функциональное пространство на классы эквивалентности , т.е. орбиты группового действия.

Одно такое семейство классов эквивалентности обозначается ⁠ $A_{k}^{\pm },$ ⁠ где $k$ — целое неотрицательное число . Эти обозначения были введены В. И. Арнольдом . функция $f$ Говорят, что имеет тип ⁠ $A_{k}^{\pm }$ ⁠ если он лежит на орбите $x^{2}\pm y^{k+1},$ т.е. существует диффеоморфное изменение координат источника и цели, которое переводит $f$ в одну из этих форм. Эти простые формы $x^{2}\pm y^{k+1}$ Говорят, что они дают нормальные формы для типа ⁠ $A_{k}^{\pm }$ ⁠ -особенности.

Кривая с уравнением $f = 0$ будет иметь такнод, скажем, в начале координат, тогда и только тогда, когда $f$ имеет тип ⁠ $A_{3}^{-}$ ⁠ -особенность в начале координат.

Обратите внимание, что узел $(x^{2}-y^{2}=0)$ соответствует типу ⁠ $A_{1}^{-}$ ⁠ -необычность. Такнод соответствует типу ⁠ $A_{3}^{-}$ ⁠ -необычность. Фактически каждый тип ⁠ $A_{2n+1}^{-}$ ⁠ -особенность, где $n \geq 0$ — целое число, соответствует кривой с самопересечением. С $увеличением n$ увеличивается порядок самопересечения: поперечное пересечение, обыкновенное касание и т. д.

Тип ⁠ $A_{2n+1}^{+}$ ⁠ -особенности не представляют интереса по сравнению с действительными числами: все они дают изолированную точку. Над комплексными числами введите ⁠ $A_{2n+1}^{+}$ ⁠ -особенности и тип ⁠ $A_{2n+1}^{-}$ ⁠ -особенности эквивалентны: $(x, y) \to (x, iy)$ дает требуемый диффеоморфизм нормальных форм.