Теорема Нагеля – Лутца

В математике теорема Нагеля -Лутца является результатом диофантовой геометрии эллиптических кривых , которая описывает рациональные точки кручения на эллиптических кривых над целыми числами. Он назван в честь Трюгве Нагеля и Элизабет Лутц .

Определение терминов

Предположим, что уравнение

$y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

определяет неособую кубическую кривую с целыми коэффициентами a , b , c , и пусть D будет дискриминантом кубического многочлена в правой части:

$D=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}.$

Формулировка теоремы

Если P = ( x , y ) — рациональная точка конечного порядка на C для закона группы эллиптических кривых , то:

• 1) x и y — целые числа
• 2) либо y = 0, и в этом случае P имеет второй порядок, либо y делит D , из чего сразу следует, что y ² делит Д. ​

Обобщения

Теорема Нагеля-Лутца обобщается на произвольные числовые поля и многое другое. общие кубические уравнения. Для кривых над рациональными числами обобщение гласит, что для неособой кубической кривой чья форма Вейерштрасса

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

имеет целые коэффициенты, любая рациональная точка P =( x , y ) конечного заказ должен иметь целочисленные координаты или иметь порядок 2 и координаты вида x = m /4, y = n /8, для m и n целых чисел.

История

Результат назван в честь двух независимых первооткрывателей: норвежки Трюгве Нагелля (1895–1988), опубликовавшей его в 1935 году, и Элизабет Лутц (1937).

См. также

• Теорема Морделла – Вейля

Ссылки

• Элизабет Лутц (1937). «По уравнению y ² = х ³ − Ax − B -адических телах в p ». Дж. Рейн Ангью. Математика 177 : 237–247.
• Джозеф Х. Сильверман , Джон Тейт (1994), «Рациональные точки на эллиптических кривых», Спрингер, ISBN   0-387-97825-9 .