Формула Плюкера

В математике формула Плюкера , названная в честь Юлиуса Плюкера , является одной из семейства формул типа, впервые разработанного Плюкером в 1830-х годах, которые связывают определенные числовые инварианты алгебраических кривых с соответствующими инвариантами их двойственных кривых . Инвариант, называемый родом , общий как для кривой, так и для двойственной ей кривой, связан с другими инвариантами аналогичными формулами. Эти формулы, а также тот факт, что каждый из инвариантов должен быть целым положительным числом, накладывают довольно строгие ограничения на их возможные значения.

Инварианты Плюккера и основные уравнения

Кривая в этом контексте определяется невырожденным алгебраическим уравнением в комплексной проективной плоскости . Линии в этой плоскости соответствуют точкам двойственной проективной плоскости , а линии, касающиеся данной алгебраической кривой C, соответствуют точкам алгебраической кривой C. ^* называется двойной кривой . В соответствии между проективной плоскостью и двойственной ей точкой C соответствуют касательные линии C. ^* , поэтому двойственный C ^* можно отождествить C. с

Первые два инварианта, охватываемые формулами Плюкера, — это степень d кривой C и степень d ^* , классически классом C называемый . Геометрически d — это количество раз, когда данная прямая пересекает C с правильно подсчитанными кратностями. (Сюда входят комплексные точки и точки, находящиеся на бесконечности, поскольку кривые считаются подмножествами комплексной проективной плоскости.) Аналогично, d ^* - количество касательных к C , которые являются прямыми, проходящими через данную точку на плоскости; так, например, коническое сечение имеет степень и класс, равные 2. Если C не имеет особенностей , первое уравнение Плюкера утверждает, что

$d^{*}=d(d-1)\,$

но это необходимо исправить для особых кривых.

Из двойных точек C узлами пусть δ будет числом, которые являются обычными, т. е. имеют различные касательные (их также называют ) или являются изолированными точками , и пусть κ будет числом, которые являются точками возврата , т. е. имеют одну касательную (спинодии ). Если C имеет особенности более высокого порядка, то они считаются множественными двойными точками в соответствии с анализом природы особенности. Например, обычное тройное очко засчитывается как 3 двойных очка. Опять же, в эти подсчеты включены комплексные точки и точки на бесконечности. Исправленная форма первого уравнения Плюкера равна

$d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .\,$

Аналогично, пусть δ ^* — количество обычных двойных точек, а κ ^* количество точек возврата C ^* . Тогда второе уравнение Плюкера гласит:

$\kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .\,$

Геометрическая интерпретация обычной двойной точки C ^* это линия, которая касается кривой в двух точках ( двойная касательная ) и геометрическая интерпретация точки возврата C ^* является точкой перегиба (стационарной касательной).

Рассмотрим, например, случай гладкой кубики:

$d=3,\ \delta =\kappa =0$

Приведенная выше формула показывает, что она имеет

$\kappa ^{*}=9\,$

перегибы. Если кубика вырождается и получает двойную точку, то к особой точке сходятся 6 точек и вдоль особой кривой остается только 3 перегиба. Если кубика вырождается и получает точку возврата, то остается только один перегиб.

Обратите внимание, что первые два уравнения Плюкера имеют двойственные версии:

$d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},\,$

$\kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.\,$

Четыре уравнения, приведенные до сих пор, фактически являются зависимыми, поэтому любые три могут быть использованы для вывода оставшегося. Из них по любым трем из шести инвариантов d , d ^* , д, д ^* , г-н г-н ^* , остальные три можно вычислить.

Наконец, род C , классически известный как недостаток C , может быть определен как

$g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .$

Это равно двойственной величине

$g={1 \over 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-\delta ^{*}-\kappa ^{*}$

и является положительным целым числом.

Всего имеется четыре независимых уравнения с семью неизвестными, и с их помощью любые три из этих инвариантов можно использовать для вычисления оставшихся четырех.

Неособые кривые

Важным частным случаем является ситуация, когда кривая C неособа или, что то же самое, δ и κ равны 0, поэтому остальные инварианты можно вычислить только через d . В этом случае результаты следующие:

$d^{*}=d(d-1)\,$

$\delta ^{*}={1 \over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)$

$\kappa ^{*}=3d(d-2)\,$

$g={1 \over 2}(d-1)(d-2).$

Так, например, неособая плоская кривая четвертой степени имеет род 3 и имеет 28 бикасательных и 24 точки перегиба.

Типы кривых

Кривые классифицируются на типы в соответствии с их инвариантами Плюккера. Уравнения Плюккера вместе с ограничением на то, что все инварианты Плюккера должны быть натуральными числами, сильно ограничивают количество возможных типов кривых заданной степени. Кривые, которые проективно эквивалентны, имеют один и тот же тип, хотя кривые одного и того же типа, вообще говоря, не являются проективно эквивалентными. Кривые степени 2, конические сечения, имеют единственный тип, заданный d = d ^* =2, д=д ^* =к=к ^* = г =0.

Для кривых степени 3 существует три возможных типа:

Тип	д	д *	д	д *	Мистер	Мистер *	г
(я)	3	6	0	0	0	9	1
(ii)	3	4	1	0	0	3	0
(iii)	3	3	0	0	1	1	0

Кривые типов (ii) и (iii) являются рациональными кубиками и называются узловыми и каспидальными соответственно. Кривые типа (i) представляют собой неособые кубики ( эллиптические кривые ).

Для кривых степени 4 существует 10 возможных типов, определяемых следующим образом:

Тип	д	д *	д	д *	Мистер	Мистер *	г
(я)	4	12	0	28	0	24	3
(ii)	4	10	1	16	0	18	2
(iii)	4	9	0	10	1	16	2
(iv)	4	8	2	8	0	12	1
(v)	4	7	1	4	1	10	1
(мы)	4	6	0	1	2	8	1
(vii)	4	6	3	4	0	6	0
(viii)	4	5	2	2	1	4	0
(ix)	4	4	1	1	2	2	0
(х)	4	3	0	1	3	0	0

Ссылки

• Шокуров, В.В. (2001) [1994], «Формулы Плюкера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Салмон, Джордж (1879) Трактат о кривых высших плоскостей, стр. 64 и далее.