Геометрический род

В алгебраической геометрии геометрический род основной бирациональный инвариант $pg алгебраических$ многообразий — и комплексных многообразий .

Определение [ править ]

Геометрический род может быть определен для неособых комплексных проективных многообразий и, в более общем плане, для комплексных многообразий как число Ходжа $h. н, 0$ (равен $h 0, н$ по двойственности Серра ), то есть размерности канонической линейной системы плюс единица.

Другими словами, для многообразия $V$ комплексной размерности $n$ это число линейно независимых голоморфных $n$ - форм, которые можно найти на $V$ . ^[1] Это определение, как размерность

ЧАС 0 (В,Ом н)

затем переносится на любое базовое поле , когда $Ω$ считается пучком кэлеровых дифференциалов , а степень является (верхней) внешней степенью , каноническим линейным расслоением .

Геометрический род — это первый инвариант $p g = P 1$ последовательности инвариантов $P n,$ называемой плюриродами .

Случай кривых [ править ]

В случае комплексных многообразий неособые кривые (комплексные места) являются римановыми поверхностями . Алгебраическое определение рода согласуется с топологическим понятием . На неособой кривой каноническое линейное расслоение имеет степень $2 g - 2$ .

Понятие рода занимает видное место в формулировке теоремы Римана–Роха (см. также теорему Римана–Роха для алгебраических кривых ) и формулы Римана–Гурвица . По теореме Римана-Роха неприводимая плоская кривая степени d имеет геометрический род

g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,

где s — число особенностей.

Если $C$ — неприводимая (и гладкая) гиперповерхность в проективной плоскости, вырезанная полиномиальным уравнением степени $d$ , то ее нормальное линейное расслоение — это скручивающий пучок Серра ${\mathcal {O}}$ $(d)$ , поэтому по формуле присоединения каноническое линейное расслоение $C$ определяется выражением

{\mathcal {K}}_{C}=\left[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)\right]_{\vert C}={\mathcal {O}}(d-3)_{\vert C}

Род единичных разновидностей [ править ]

Определение геометрического рода классически переносится на сингулярные кривые $C$ , устанавливая, что

стр (С)

— геометрический род нормализации $C'$ . То есть, поскольку отображение

С' \to С

бирационален . , определение расширяется за счет бирациональной инвариантности

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Danilov & Shokurov (1998), p. 53

Ссылки [ править ]

П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. п. 494. ИСБН 0-471-05059-8 .
V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes . Springer. ISBN 978-3-540-63705-9 .

[1] Danilov & Shokurov (1998), p. 53

[1]